связью, представленный на рис. 9.66. рис. 9.66. Перечислим состояния, через которые он

проходит, начиная с ПИ (с тем же успехом можно было выбрать , любое начальное состояние, за исключением 0000).

Состояния регистра записаны в виде 4-разрядных двоичных чисел QaQbQcQd- в данном случае имеют место 15 различных состояний (2*-1), пройдя через которые последовательность начинается сначала. Таким образом, регистр имеет максимальную длину.

Упражнение 9.4. Покажите, что 4-разрядный регистр, имеющий выходы для подключения обратной связи (ОС) со второй и четвертой ячеек, не является регистром максимальной длины. Каким в данном случае будет число различимых состояний? Сколько состояния имеется в пределах каждой последовательности.

Точка подключения обратной связи. Регистры сдвига максимальной длины можно строить, используя и более двух точек для подключения обратной связи через вентиль Исключающее ИЛИ. (В этих случаях можно применять несколько вентилей Исключающее ИЛИ, объединяя их в паритетное дерево по обычной схеме, т. е. (Гуммируя по модулю 2 несколько битов. При некоторых т для построения регистра максимальной длины требуетсл более двух точек подключения ОС. Ниже приводится таблица всех значений т, вплоть до 33, при которых для построения регистра максимальной длины достаточно двух точек подключения ОС, т. е. обратная связь, как и в предвдущем случае, берется с п-й и т-и (последней) ячейки. Значения п и циклической длины измеряются числом периодов тактовой частоты. Иногда п может иметь более одного значения; в любом случае вместо п можно взять т ~ п. Таким образом, для рассмотренного выше 4-разрядного регистра можно было бы использовать точки подключения ОС при п=\ и т=4.

которую можно сформировать с помощью данной схемы, равна 2 -1. Оказывается, что получать такие последовательности максимальной длины можно лишь в том случае, если тип выбраны правильно и результирующая последовательность битов -т.

является псевдослучайной. (Критерием i-<Г Г

для определения максимальной длины -

служит неприводимость полинома 1-Н H-x+a: * и его первичность на поле Га- п п п луа.) В качестве примера рассмотрим -Л-П П 4-разрядный регистр сдвига с обратной

Длина регистра сдвига обычно выбирается кратной 8. В этом случае

требуется более двух точек подключения ОС. Вот эти магические цифры:

т Точки подключения ОС Длина

8 4, 5, 6 255

16 4, 13, 15 65535

24 17, 22, 23 16777215

В ИМС генератора шума ММ5837 используется 17-разрядный регистр с выходом для подключения ОС на 14-й ячейке. Схема использует внутренний генератор тактовых импульсов, работающий с частотой 80 кГц, и вырабатывает на выходе белый шум в диапазоне до 35 кГц (затухание на частоте среза -3 дБ) с периодом повторения порядка 1,6 с. При использовании 33-разрядного регистра, работающего с тактовой частотой 1 МГц, период повторения может превышать 2 ч, а с помощью 100-разрядного регистра, тактируемого с частотой 10 МГц, можно было бы получить период повторения, в миллионы раз превышающий возраст Вселенной!

Свойства последовательностей максимальной длины*

Тактируя один из таких регистров, мы сформировали на его выходе псевдослучайную двоичную последовательность. Выход можно взять из любой точки регистра, но удобнее всего использовать последний, т-н разряд. Последовательности максимальной длины обладают следующими свойствами:

1. В одном полном цикле {К тактовых импульсов) число единиц на одну превышает число нулей . Дополнительная единица возникает благодаря исключению нулевого состояния регистра. Таким образом, при значениях длины регистра, которые обычно используются на практике, дополнительная единица не может оказать какого-либо влияния: 17-разрядный регистр вырабатывает за один период 65 536 единиц и 65 535 нулей.

2. В каждом цикле {К периодов тактовой частоты) половину всех единиц составляют одиночные , четвертую часть - двойные (то есть две следующие шдряд), восьмую часть - тройные и т. д. То же самое относится и к последовательно идущим нулям, разумеется, за исключением пропущенного. Это говорит о том, что вероятность появления на-.

чала и конца единичного состояния не зависит от результата последнего переброса и, следовательно, вероятность завершения цепочки последовательно возникших единиц или нулей для каждого переброса составляет одну вторую. (Это не совсем то, что понимают под законом усреднения в обыденном смысле.)

3. Если последовательность полного цикла {К периодов тактовой частоты) сравнить с последовательностью такой же длины, но сдвинутой на любое число п бит (где п не равно О и не кратно К.), то число несовпадений будет превышать число совпадений на единицу. Выражаясь научным языком, автокорреляционная функция такой последовательности при нулевой задержке представляет собой дельта-функцию Кронекера, а во всех остальных точках равна - Отсутствие боковых лепестков автокорреляционной функции делает ПСДП весьма удобными для радиолокационных систем определения дальности.

Упражнение 9.5, Покажите, что приведенная последовательность, сформиро-ваннаи с помощью 4-разрядного регистра сдвига (с выходами ОС, взятыми при п=3, т=4), удовлетворяет указанным свойствам. Считаем, что выход берется с разряда Q: 100010011010111.

9.36. Формирование аналогового шума с использованием последовательностей максимальной длины

Преимущества цифровой генерации шума. Как указывалось выше, цифровой сигнал, получаемый на выходе регистра сдвига максимальной длины с обратной связью, может быть преобразован в белый шум с ограниченным спектром с помощью НЧ-фильтра, частота среза которого существенно ниже тактовой частоты регистра. Перед тем как перейти к подробностям, рассмотрим, какие преимущества обеспечивает применение методов цифровой генерации аналогового шума. Помимо всего прочего, эти методы с помощью простой и надежной цифровой схемы позволяют генерировать шумовой сигнал с заданным спектром и амплитудой, полоса пропускания которого может регулироваться путем изменения тактовой частоты. Здесь отсутствуют нестабильность, присущая диодным генераторам шума, взаимные влияния, а также проблемы помех, которые свойственны чувствительным низкоуровневым аналоговым схемам, использующим диодные или ре-зисторные генераторы. Наконец, в этом случае генерируется периодический шум , который с помощью взвешенного цифрового фильтра (эти фильтры будут рассматриваться ниже) преобразуется в повторяющийся шумовой сигнал, рабочая полоса которого не зависит от тактовой частоты.

9.37. Энергетический спектр последовательностей, сформирован'-ных при помощи регистров сдвига

Спектр шума, полученного на выходе регистра максимальной длины, лежит в пределах от /( такт (частота повторения всей последовательности - нижняя граница) до /кт и даже выше. В начальной ча-

вых

4Д

W- \ период TawToeow S3CT0TW;

Рис. 9.67.

сти, до частоты 0,12 /.акт. спектр имеет плоскую часть с неравномерностью ±0,1 дБ, а затем достаточно быстро падает, достигая уровня -3 дБ на частоте 0,44 /акт- Таким образом, неотфильтрованный

сигнал на выходе регистра сдвига с помощью НЧ-фильтра с частотой среза (5-н10)% /такт преобразуется в аналоговое напряжение шума с ограниченной полосой. Здесь достаточно использовать простой /?С-фильтр, однако, если полосу шума нужно обеспечить с высокой точностью, могут потребоваться активные фильтры, имеющие крутую характеристику на частоте среза (см. гл. 4).

Для того чтобы эти утверждения звучали более убедительно, рассмотрим сигнал на выходе регистра сдвига и его энергетический спектр. Как правило, бывает нужно, ,

чтобы цифровые логические уров- t ш -

ни не содержали постоянную , * !

составляющую, т. е. 1 в выходном сигнале должна соответствовать -fa вольт, а О должен *J j-LP соответствовать -а вольт (рис. 9.67). о очень легко обеспечить с помоид>ю двухтактной транзисторной схемы, которая показана на рис. 9.68. Для этой цели можно также использовать МОП-транзисторы, схемы стабилизации напряжения с ограничителями на диодах и быстродейст- Рис. 9.68. вующие операционные усилители с регулировкой тока постоянной составляющей в точке суммирования.

Как мы уже говорили, автокорреляционная функция выходной двоичной последовательности содержит один пик. Если считать, что

выходные состояния представляют собой величины

mi

1 2.2 кОм N п

2,2 нОм

2,2 нОм

2,2 иОм

- as

I [

0 12 3 4 5 8 7.

Сдвиг в периодах шшщ ч!Гтйты

Рис. 9.69. Дискретная автокорреляционная функция для полного 1;икла ма,ксимальной последовательности

+ 1 и -1, то дискретная автокорреляционная функция (сумма произведений соответствующих битов двух сдвинутых относительно друг друга последовательностей) будет иметь вид, показанный на рис. 9.69.

К периодов такто2 т частоты

Эту функцию не следует путать с непрерывной автокорреляционной функцией, которая будет рассматриваться ниже. Приведенная на рисунке зависимость определена только для сдвигов, соответствующих целому числу периодов тактовой частоты. При сдвигах, не равных нулю или не кратных общему периоду повторения К, автокорреляционная функция имеет значение -1, которое обусловлено дополнительной единицей в последовательности и пренебрежимо мало по сравнению с ее значением при нулевом сдвиге, равном К- С другой стороны, если неотфильтрованный сигнал на выходе регистра сдвига рассматривать как аналоговый, принимающий только два значения (+ и -а), автокорреляционная функция будет являться непрерывной, как показано на рис. 9Д0. Так или иначе, при сдвигах более чем на один такт вправо или влево значения сигнала фактически между собой не коррелированы.

Энергетический спектр неотфильтрованного цифрового выхода можно определить по автокорреляционной функции с помощью известных математических методов. В результате будет получена совокупность групп спектральных линий, содержащих равноудаленные всплески (дельта-функции), которые будут начинаться на частоте повторений всей последовательности fjK и чередоваться с интервалами, равными flK. Тот факт, что этот спектр состоит из набора дискретных спектральных линий, отражает случайное (и периодическое) повторение последовательности на выходе регистра сдвига. Пусть

вас не смущает странный вид

Л

&i-

1 период тактовой частоты Рис. 9.70.

Д0.1дВ лри ПИшх -1,0 дБ при 26%/такт

sm л-

iti/i

огибающая

Спад спектра лрй /дц

Всплесни разделены йнтераацами

11гибаю)1\ая

Рйс. 9.71. Энергетический спектр неот-(Цщльтрованного сигнала на выходе регистра сдвига.

спектра; он будет выглядеть непрерывным при любом измерении или применении, проводящемся за время, меньшее периода регистра. Огибающая спектра неотфильтрованного выходного сигнала имеет вид, показанный на рис. 9.71. Эта огибающая пропорциональна квадрату функции sin xlx. Заметим, что спектр имеет нулевую мощность шума на основной тактовой частоте и ее высших гармониках.

Напряжение шума. Для

генерации аналогового шума естественно, используется лишь низкочастотная часть спектра. Удель-, ную мощность шума на герц нетрудно выразить чер^80Д9,рру а^пли-

туды {а) И тактовую частоту /га т- Выражение для среднеквадратичного значения напряжения шума будет иметь вид

Это выражение относится к нижней части спектра, т. е. к той части, которая обычно используется (с помощью огибающей можно определить энергетическую плотность мощности в любой части спектра). Предположим, что регистр сдвига максимальной длины работает

тамювыи генератор ) МГц

+ 10,0

преобразо-ватЕПь уровня

16 Ш

-С

d,ot мкф т=:

-10,0

Рис. 9.72. Простой источник псевдослучайного шума.

С частотой 1,0 МГц и его выходной сигнал принимает значения+10 и -10 В. Этот сигнал пропускается через простой низкочастотный /?С-фильтр, имеющий затухание 3 дБ на частоте 1 кГц (рис. 9.72). На выходе этого фильтра можно точно вычислить среднеквадратичное напряжение шума. Из предьщущего уравнения мы знаем, что среднеквадратичное значение напряжения шума на выходе преобразователя уровня равно 14,14 мВ/Гц/ . Из разд. 7.20 известно, что полоса пропускания НЧ-фильтра составляет (л;/2)-1,0 кГц или 1,57 кГц, и, следовательно, выходное напряжение шума будет равно Ug= =0,01414 (1570)=560 мВ, а его спектр соответствует однозвенному низкочастотному /?С-фильтру.

9.38. Низкочастотная фильтрация

Аналоговая фильтрация. Полезный спектр шума, сформированного при помощи псевдослучайной последовательности, лежит в пределах от f-aJK (величина, обратная периоду повторения) до высокочастотного значения, составляющего приблизительно 20% от /а„ (на этой частоте удельная мощность шума падает на 0,6 дБ). Как было показано в предыдущем примере, для формирования шума вполне подходит простой НЧ-фильтр на /?С-цепи при условии, что его уровень затухания 3 дБ лежит намного ниже тактовой частоты (например, менее 0,01 /акт)- Д-я того чтобы используемую часть спектра приблизить к тактовой частоте, желательно применять фильтры с крутой характеристикой на частоте среза, например фильтры Баттерворта или Чебышева. В этом случае плоская часть результирующего спектра будет определяться характеристиками фильтра, которые должны быть

измерены, поскольку отклонения в параметрах элементов могут вызывать колебания коэффициента передачи в полосе пропускания. С другой стороны, если требуется обеспечить точное значение напряжения шума на Гц /!, необходимо измерить фактическое значение коэффициента передачи фильтра по напряжению.

Цифровая фильтрация. Недостатком аналоговой фильтрации является необходимость подстраивать частоту среза фильтра, если тактовая частота изменяется в широких пределах. В подобных ситуациях хорошим решением является применение цифровой фильтрации, которая выполняется путем формирования взвешенных аналоговых сумм последовательных выходных битов (нерекурсивная цифровая фильтрация). Эффективная частота среза такого фильтра будет изменяться в соответствии с изменением тактовой частоты. Кроме того, цифровая фильтрация позволяет работать при предельно низких значениях частоты среза (доли герца), где аналоговая фильтрация оказывается неудобной.

Для того чтобы произвести взвешенное суммирование одновременно всех разрядов, достаточно выходы последовательных ячеек регистра соединить с точкой суммирования операционного усилителя через резисторы различных номиналов. Для НЧ-фильтра весовые коэффициенты должны быть пропорциональны (sin х)/х. Заметим, что часть сигналов в этом случае придется проинвертировать, поскольку весовые коэффициенты могут иметь любой знак. Так как в данной схеме конденсаторы не используются, выходной сигнал будет состоять из последовательности дискретных уровней напряжения.

Приближение к гауссову шуму можно сделать более близким, взяв с соответствующими весами большее число битов в последовательности. Кроме того, аналоговый выход в этом случае будет представлять собой фактически непрерывный сигнал. По этой причине желательно, чтобы регистр сдвига содержал как можно больше триггерных ячеек, которые при необходимости могут быть добавлены после обратной связи через вентиль Исключающее ИЛИ, Как и в предыдущих схемах, для задания стабильных цифровых уровней напряжения следует использовать ключи на МОП-транзисторах (элементы КМОП являются идеальными для данного применения, поскольку они дают на выходах точные потенциалы Uqc и земли).

Схема генерации псевдослучайного аналогового шума, показанная На рис. 9.73, использующая данный метод, позволяет выбирать полосу частот в очень широком диапазоне. Сигнал с кварцевого генератора 2,0 МГц поступает на 24-разрядный программируемый делитель частоты типа 14536, который формирует тактовые последовательности с частотами в диапазоне от 1,0 МГц до 0,12 Гц с коэффициентом деления 2. Регистр сдвига на 32 разряда использует обратную связь с 31-й и 18-й ячеек и формирует последовательность максимальной длины, содержащую миллиард состояний (при максимальной тактовой частоте регистр завершает полный цикл за полчаса). В данном случае исполь-

Глаеа 9

зуется сумма 32 последовательных значений, взвешенная по функции (sin х)1х. Инвертированное и неинвертированное значения этой суммы поступают соответственно на усилители Уг и Уг, выходы которых управляют дифференциальным усилителем Уз. Коэффициенты усиления

Все ргзиаорь! fio 10 кОм

Выбор полосы

. S г S = S

Двоичный щщтш --

Cherry R1BA-02A1 I ТТ Т 11

+1Z-C

10,0 пОм

.gpj В-разрядный регистр срига

\Шът частота) +tZ 170)

f,0 М1\Ф

Рис. 9.73. Лабораторный генератор шума с широким частотным диапазоном.

выбраны таким образом, чтобы при подключении нагрузки с полным сопротивлением 50 Ом на выходе действовал бы сигнал шума, имеющий среднеквадратичное значение напряжения 1 В и не содержащий постоянной составляющей (на разомкнутом выходе 2 В эфф.). Отметим, что это значение не зависит от тактовой частоты, то есть от полосы пропускания. Данный цифровой фильтр имеет частоту среза, равную приблизительно 0,05/такт, и позволяет получить выходной спектр Б пределах от нуля до 50 кГц (на максимальной тактовой частоте), сбесяечнвая 24 диапазона полосы частот. Эта схема позволяет также

0.0 В [ср1, 2.0 В [щщ), 8.68 Б (макс!

fit 0-50 кГц

диапазона

- знзтгйвыи

UIVM !В1,Э!Рф1прИ

мщж 6fj Ом

ьс -чг ч:г -гг ьо г--, ir£ ;-г rW to со г~-

CNJ СГ> tt> *ЧГ lhncCvj

4j- tCi 3- 4- CD CJ

CO -- r-T < Hi:* cro po О cvi

s s :s 1s

г- CO со ~~

Э lX-Э 1>ГЭ CNJ -тт- сО Cvi - т- ч- ч- N->

ш

im 111

mi ШХ

> 4015 В1газряяный

> , регистр едт

> 40,5 8-раЗ!1ЯДНЫЙ P регистр сдвш

> В-разрядный

> , регистр сдвига

ч>

69,1 См 1%

и. 356

Г +IB

150 \%

использовать неотфильтрованный выходной сигнал со значениями -f 1 -1 В.

. С рассмотренной схемой связано несколько интересных моментов. Так, например, в цепи обратной связи использован инвертирующий вентиль Исключающее ИЛИ, поэтому регистр сдвига может быть за-нущен путем простой установки в нуль. Инвертирование входного сиг- ала приводит к тому, что исключенным теперь будет состояние, при

104 . Глава 9

котором все разряды регистра содержат единицы , а не нули , как это имело место при подключении ОС через вентиль Исключающее ИЛИ без инверсии. Все остальные характеристики остаются без изменения.

Взвешенная сумма конечного числа битов не может обеспечить в точности гауссов шум, поскольку она имеет ограниченную амплитуду. Можно показать, что для данного случая максимальная амплитуда на нагрузке 50 Ом составляет ±4,34 В, что дает коэффициент формы кривой 4,34. Эти цифры имеют важное значение, поскольку для того, чтобы предотвратить эффект ограничения, коэффициент усиления необходимо с помощью Уз поддерживать достаточно низким. Внимательно рассмотрите методы, которые используются здесь для формирования выходных сигналов с нулевой постоянной составляющей из уровней КМОП, имеющих среднее значение +6,0 (НИЗКИЙ уровень -О В, ВЫСОКИЙ уровень--\-\2B),

Описанный метод цифровой низкочастотной фильтрации последовательностей максимальной длины использован в генераторе шума Hewlett - Packard 3722А.

9.39. Проблема повторяемости

Несколько замечаний по поводу использования ПСДП, сформированных с помощью регистров сдвига, в качестве источника аналогового шума. На основе перечисленных выше трех свойств, которыми обладают регистры максимальной длины, можно было прийти к выводу о том, что выходной шум оказывается недостаточно случайным в том смысле, что он имеет точно заданное число проходов определенной длины и т. п. Настоящий случайный шум, образованный по принципу подбрасывания монеты, не будет иметь в начале последовательности ровно на одну единицу больше, чем в конце, так же как и не будет при конечной длине последовательности иметь абсолютно плоскую автокорреляционную функцию. Иными словами, если нули и единицы , поступающие от регистра, использовать для управления случайным блужданием, перемещаясь на шаг вперед при Ь и на шаг назад при О , то после завершения полного цикла регистра вы окажетесь смещенными ровно на один шаг по отношению к начальной точке, что, казалось бы, не свидетельствует о случайном характере процесса.

Однако рассмотренные выше свойства последовательностей, сформированных с помощью регистров сдвига, имеют место лишь в том случае, когда берется целиком вся последовательность, содержащая 2 - 1 бит. Если же брать лишь часть этой последовательности, то она фактически будет иметь такие же статистические свойства, какими обладает процесс бросания монеты. В качестве аналогии представьте себе, что вы случайным образом извлекаете красные и синие шары из урны, в которую предварительно было помещено К шаров, из которых половина красных, а половина синих. Если это делать без возвращения вынутых шаров, то сначала их появление будет чисто случайным. По мере TorOj как число шаров в урне будет уменьшаться, статистика