Такой комплекс линейных пространств (или абелевых групп) называется точным в члене Xi, если Im = Кег /, (заметим, что в определении, комплекса условие fi о fi ] = О означает только, что Im/, i с Кег/,). Комплекс, точный во всех членах, называется точным, или ацикличным, или точной последовательностью. Вот три простейших примера:

а) Последовательность 0->L-Л/ всегда является комплексом; она точна в члене L тогда и только тогда, когда Кег г - образ нулевого пространства 0. Иными словами, точность здесь означает, что i - инъекция.

б) Последовательность Л/О всегда является комплексом; точность его в члене означает, что Im / = Л^, т. е. что / - сюръекция.

в) Комплекс 0->L->М->Л^- О точен, если i - инъекция, /-сюръекЦия и Imi = Ker/. Отождествив L с образом i - подпространством в М, мы можем поэтому отождествить N с фак-торпространством M/L, так что такие точные тройки являются категорными представителями троек {Lcz М, M/L).

4. Естественные конструкции и функторы. В математике весьма важны конструкции, которые можно применять к объектам некоторой категории так, что при этом снова получаются объекты категории (другой или той же самой). Если эти конструкции являются однозначными (не зависят от произвольных выборов) и универсально применимыми, то часто оказывается, что они переносятся и на морфизмы. Аксиоматизация ряда примеров привела к важному понятию функтора, впрочем, естественному и с чисто категорной точки зрения

5. Определение функтора. Пусть С, D - две категории. Функтором F из категории С в категорию D называется задание двух отображений (обычно обозначаемых также F): ОЪС-ОЪ D, Мог С -> Мог D, которые удовлетворяют следующим условиям:

а) если /еНотс(Х, У), то F(f)Homo(F(X), F(Y));

б) F{gf) - F(g) f if) всякий раз, когда композиция gf определена,и F{\dx) = idf(x) для всех X е Ob С.

Функторы, которые мы определили, часто называют ковариант-ными функторами. Определяют также контравариантные функторы, обращающие стрелки : для них условия а) и б) заменяются условиями

а') если /еНотс(Х, У), то F{f) Homo{F{Y), F{X));

б') F{gf)=F{f)F{g) и F(id.)=idp(.). Можно избежать этого различения, если ввести конструкцию, ставящую в соответствие каждой категории С дуальную категорию С° по правилу: ObC==ObC°, MorC = MorC° и Homc(A:, У) = =Homco {Y,X), причем композиция gf морфизмов в С отвечает композиции fg этих же морфизмов в С°, взятых в обратном порядке. Удобно обозначать через Х°, f° объекты и морфизмы в С°, отвечающие объектам и морфизмам X, f в С. Тогда коммутативная

диаграмма в С

X- -г

отвечает коммутативной диаграмме в С°

Z°

(Ковариантный) функтор F: C-D° можно отождествить с кон-травариантным функтором F: C-D в смысле данного выше определения.

6. Примеры, а) Пусть Ж - поле, З'шяг-категория линейных пространств над Ж, Set - категория множеств. В § 1 мы объяснили, как любому множеству S е Ob Set поставить в соответствие линейное пространство F(S)Ob 2:пг функций на S со значениями в Ж. Поскольку это естественная конструкция, следует ожидать, что она может быть продолжена до функтора. Так оно и есть. Функтор оказывается контравариантным: морфизму f: S-T он ставит в соответствие -линейное отображение F(f): F{T)-F{S), чаще обозначаемое f* и называемое подъемом, или обратным образом, на функциях:

Г(Ф) = Ф°/, где /: S-*T, ф: Т^Ж.

Иными словами, /*(ф)-это функция на 5, значения которой постоянны вдоль слоев f~(0 отображения / и равны ф(/) на таком слое. Хорошее упражнение для читателя - проверить, что мы действительно построили функтор.

б) Отображение двойственности: Sinx-2inx, на объектах задаваемое формулой Li->L* = 2(L,C), а на морфизмах - формулой ft-- f*, является контравариантным функтором из категории Sinx в себя. По существу, это доказано в § 7.

в) Операции комплексификации и овеществления, изученные в § 12, определяют функторы З'шк-*Sinc и 2inc->Sins соответственно. То же относится к более общим конструкциям подъема и спуска поля скаляров, кратко описанным в § 12.

г) Для любой категории С и любого объекта J е Ob С определены два функтора из С в категорию множеств: ковариантный Нх: C->Sei и контравариантный h: C-Set°.

Вот их определения: hx{Y)-Homc{X,Y), hrif: Y-Z) есть отображение hx{y)=nomc{X,Y)-hx(Z)=Homc{X,Z), которое ставит в соответствие морфизму X У его композицию с морфизмом f: Y-Z.

Аналогично, h {Y)=Homc{Y, X) и (f: Y->Z) есть отображение /j(Z)=HoiTic(Z, Х)-Л^(У)== Нотс(У,Х), которое ставит в соответствие морфизму Z-X его композицию с морфизмом \: Y-Z.

Проверьте, что hx и действительно являются функторами. Их называют функторами, представляющими объект X категории.

Заметим, что если С = 2тж, то и hx можно считать функторами со значениями также в Sinx, а не в Set.

7. Композиция функторов. Если С\ -* -> С3 - три категории и два функтора между ними, то композиция GF: С\-Сз определяется как теоретико-множественная композиция отображений на объектах и морфизмах. Тривиально проверяется, что она является функтором.

Можно ввести категорию категорий , объектами которой являются категории, а морфизмами - функторы!

Более важной, однако, является следующая ступень этой высокой лестницы абстракций: категория функторов. Мы ограничимся объяснением, что такое морфизмы функторов.

8. Естественные преобразования естественных конструкций, или функторные морфизмы. Пусть F, G: C-*D - два функтора с общими началом и концом. Функторным морфизмом (f>: F-G называется класс морфизмов объектов ф(Х): F{X)- G{X) в категории D, по одному для каладого объекта X категории С, обладающий тем свойством, что для каждого морфизма f: Х->У в категории С квадрат

G(X)

(p(Y)

F(Y) -- G(Y)

коммутативен. Функторный морфизм называется изоморфизмом, если все ф(Х) суть изоморфизмы.

9. Пример. Пусть : Sinyc-Sinx - функтор двойного сопряжения : L- L**, /**. в § 7 мы построили ДЛЯ каждого линейного пространства L каноническое линейное отображение гс. Li-L**. Оно определяет функторный морфизм ем: Id->* , где Id - тождественный функтор на Sinx, ставящий в соответствие каждому линейному пространству само это пространство и каждому линейному отображению - само это отображение. Действительно, согласно определению, мы должны проверить коммутативность всевозможных квадратов вида

Для конечномерных пространств L, М это устанавливается с помощью утверждения д) теоремы п. 5 § 7. Проверку в общем случае предоставляем читателю.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть Seto - категория, объектами которой являются множества, а морфизмами- такие отображения множеств f: S-*-T, что для любой точки te.T слой f~(0 конечен. Показать, что следующие данные определяют ковариантный функтор F. Setg-> Sin--

а) fo(S)= f (S): функции на S со значениями в Х\

б) для любого морфизма /: S-vT и функции ф: SJif функция fo(f)(ф) = = / (ф) F(T) определяется так:

/.(Ф)()= Е Ч'<*)

( интегрирование по слоям ).

2. Доказать, что спуск поля скаляров z К RO Ж (см. § 12) определяет функтор £1пу -> Siiiy.

§ 14. Категорные свойства линейных пространств

1. В этом параграфе собраны некоторые утверждения о категории всех линейных пространств 2inx или конечномерных линейных пространств Sinf над данным полем Ж. По большей части они являются переформулировкой на категорном языке утверждений, которые мы уже доказали раньше. Их выбор обусловлен следующим своеобразным критерием: это как раз те свойства категории Sitix, которые нарушаются для таких наиболее близких категорий, как категория модулей над общими кольцами (например, над Z, т. е. категория абелевых групп) или даже категория бесконечномерных топологических пространств. Детальное изучение этих нарушений для категории модулей составляет основной предмет гомологической алгебры, а в функциональном анализе часто приводит к поиску новы-х определений, которые позволяют восстановить хорошие свойства Sinfy (таково понятие ядерных топологических пространств).

2. Теорема о продолжении отображений.

а) Пусть Р, М, N - линейные пространства, Р конечномерно, j: M-N - сюръективное линейное отображение. Тогда любое линейное отображение g: P-N можно поднять до такого линейного отображения h: Р-М, что g = jh. Иными словами, диаграмму с точной строкой

м-iv-- о

можно вложить в коммутативную диаграмму

е

N--О

б) Пусть Р, L, М -линейные пространства, М конечномерно, i: L-M - инъективное линейное отображение. Тогда любое линейное отображение g: L--P можно продолжить до линейного отображения h: М-Р так, что g = hi. Иными словами, диаграмму с точной нижней строкой

можно влоэ1сить в коммутативную диаграмму

Доказательство. а) Выберем базис {ей е„} в Р, по-ложим e = g(e.)e Л/. В силу сюръективности / существуют векторы е е М такие, что ; [е'[) =е'., / = 1, .... п. По предложению п. 3 § 3, существует единственное линейное отображение h: Р-уМ такое, что h (е,) =е , t = 1, .., п. По конструкции jh (е^) = / (6 )== = ei = g [е^у Так как {е,} образуют базис Р, имеем jh - g.

б) Выберем базис {е[, ej пространства L и продолжим ekiiek), до базиса {ei, е, ; е, +и е } про-

странства М. Положим h (б;) = g (е^) при 1 t т, Л(е/) == О при m + 1 / п. Такое отображение существует по тому же предложению п. 3 § 3. Можно также прямо применить предложение п. 8 § 6. Теорема доказана.

В категории модулей объекты Р, удовлетворяющие условию а) теоремы (при всех М, N). называются проективными, а объекты, удовлетворяющие условию б), - инъективными. Мы доказали, что в категории конечномерных линейных пространств все объекты проективны и инъективны.

3. Теорема о точности функтора S. Пусть 0- L -> М -> N ->

-0-точная тройка конечномерных линейных пространств, Р - любое конечномерное пространство над тем же полем. Тогда S

как функтор отдельно по первому и второму аргументу индуцирует точные тройки линейных пространств:

а) 02{Р, L)-2{P, М)-2(Р, N)-*0,

б) 02{L, Р)2(М, P)2(N, Р)0.

Доказательство, а) Напомним (см. пример г) п. 6 § 13), что il ставит в соответствие морфизму P-L его композицию с i: L- -M, а /] ставит в соответствие морфизму Р-М его композицию с M-N. Отображение fj инъективно, потому что / - инъекция, так что если композиция РL-> М нулевая, то P->L - нулевой морфизм. Отображение j\ сюръективно в силу утверждения а) теоремы п. 2: любой морфизм g: P->N можно поднять до морфизма Р->М, композиция которого с / дает исходный морфизм. Композиция jiii нулевая: она переводит стрелку

P->Lb стрелку P-N, которая является композицией PL->

- М - N, но = 0.

Мы проверили, таким образом, что последовательность а) является комплексом, и остается установить ее точность в среднем члене, т. е. Ker/i = Im/i. Мы уже знаем, что Ker/i=)Imti. Для доказательства обратного включения заметим, что если стрелка Р-*-М лежит в ядре /ь то композиция этой стрелки с /: M-N равна нулю, а потому образ Р в М лежит в ядре /. Но ядро / совпадает с образом i{L)cz М в силу точности исходной тройки. Значит, Р отображается в подпространство i(L), и потому стрелку Р-М можно поднять до стрелки P-L, композиция которой с / даст исходную стрелку. Это и означает, что последняя лежит в образе il.

б) Здесь рассуждения совершенно аналогичны, или, точнее, двойственны. Отображение i сюръективно в силу утверждения б) теоремы п. 2. Отображение /г инъективно, потому что если композиция МN ~Р равна нулю, то и стрелка N-P нулевая, так как / сюръективно. Композиция £2/2 равна нулю, ибо композиция

L->M->NP нулевая для любой последней стрелки. Поэтому остается доказать, что Кег ii cz Im /2 (обратное включение

только что проверено). Но стрелка М -* Рлежит в ядре /2, если

композиция L ->М- Р нулевая. Значит, L=Ker / лежит в ядре f. Определим отображение f: N-P формулой f(n) = /(/ ( )). где /- (п)еМ - любой прообраз п. От выбора этого прообраза ничего не зависит, ибо Кег / с: Кег f. Легко проверить, что f линейно

и что h(l)f> в самом деле, [2(f) есть композициям N->Р, которая переводит-m е М в (т) = f (/-(/(/ ))) = Дт). Теорема доказана.

4. Категорная характеризация размерности. Пусть С - некоторая абелева группа, записываемая аддитивно, х: ОЬ 2 in fy-G -

произвольная функция, определенная на конечномерных линейных пространствах и удовлетворяющая двум условиям:

а) если L и М изоморфны, то {L) = у,(Щ>

б) для любой точной тройки пространств 0-L->M-yV->0 имеем %{М) = %(L)-\-x{N) (такие функции называются аддитивными) .

Имеет место

5. Теорема. Для любой аддитивной функции % имеем

где L - произвольное конечномерное пространство.

Доказательство. Проведем индукцию по размерности L. Если L одномерно, то L изоморфно Ж\ так что хШ = Х(.Ж^) = =d\mxL %(Ж ) Пусть теорема доказана для всех L размерности п. Если размерность L равна п + 1, выберем одномерное подпространство LoCzL и рассмотрим точную тройку

где i - вложение Lo, а /(/)=/ +Lo s L/Lo. В силу аддитивности X и индуктивного предположения

X (L) = X (Lo) + X (L/L,) = X (Jf ) + dimx (L/Lo) X (X) =

= X{Ж') +1%(Ж') = {n + l)%(Ж^) = dimL . X {Ж^).

Теорема доказана.

Этот результат является самым началом большой алгебраической теории, которая сейчас активно развивается, - так называемой Я-теории, лежащей на стыке топологии и алгебры.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть К: о

о , х , 2

- Ln -> О - комплекс конечномер-

ных линейных пространств. Факторпространство Я'(/С) = Кег dj/Im называется i-M пространством когомологин этого комплекса. Число х {1) - п

= (-l)dimLj называется эйлеровой характеристикой комплекса. Доказать, что

Х(/С)= X (-l)dimЯ' (К).

2. Лемма о змее . Пусть дана коммутативная диаграмма линейных пространств

L -/

-М

л

с Т0Ч1ГЫМИ строками Показать, что существует точная последовательность пространств

Кег / -> Кег g -> Кег h -> Coker f Coker g -> Coker A,

в которой все стрелки, кроме б, индуцированы d dg, d[, d2 соответствеиио, a связывающий гомоморфизм б (называемый также кограничиым оператором) оггределяется так: чтобы определить б (п) для п е Кег h, следует иайти те.М

с n = dz{m), построить g(m)eM, найти / ен L с d, (/ ) = g (т) и положить 6(п) =/-j-Im / е Coker f. В частности, следует проверить существование б(п) и его независимость от произвола в промежуточных выборах.

3. Пусть К: ...->Lj-> L,- , ,->... и К: ...->/.£--> /., ,. i->...-два комплекса. Морфизмом ]: К-*К' называется такой набор линейных отображений fi. ij -> if, что все квадраты

коммутативны. Показать, что комплексы и нх морфнзмы образуют категорию.

4. Показать, что отображение К-Н'(К) продолжается до функтора из категорий комплексов в категорию- линейных пространств.

f g

5. Пусть О -> К * К' * /С -> О - точная тройка комплексов и их морфнзмов. По определению, это означает, что для каждого i тройки лииейиых пространств

точны. Пусть Я' - соответствующие пространства когомологий. Пользуясь леммой о змее, построить последовательность пространств когомологий

...ННК)Н^ (К') -> H (К ) Я'+ (К)...

и показать, что она является точной.

Ч а с т ь 2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

§ 1. О геометрии

1. Эта и следующая части нашего курса посвящены теме, которую можно назвать линейные геометрии , и ей уместно предпослать краткое обсуждение современного смысла слов геометрия и геометрический . В течение многих столетий под геометрией понималась геометрия Евклида на плоскости и в пространстве. Она продолжает составлять основное содержание обычного школьного курса, и эволюцию геометрических понятий удобно проследить на примере характерных особенностей этой, ныне весьма частной, геометрической дисциплины.

2. Фигуры . Школьная геометрия начинается с изучения таких фигур на плоскости, как прямые, углы, треугольники, окружности и круги и т. п. Естественное обобщение этой ситуации состоит в выборе некоторого пространства М, объемлющего пространства нашей геометрии, и некоторого множества подмножеств в М - изучаемых в этом пространстве фигур .

3. Движения . Вторая существенная компонента школьной геометрии - это измерение длин и углов и выяснение соотношений между линейными и угловыми элементами различных фигур. Потребовалось длительное историческое развитие, прежде чем было осознано, что в основе этих измерений лежит существование отдельного математического объекта - группы движений евклидовой плоскости или евклидова пространства как целого, и что все метрические понятия могут быть определены в терминах этой группы. Например, расстояние между точками является единственной функцией от пары точек, инвариантной относительно группы евклидовых движений (если потребовать ее непрерывности и еще выбрать единицу длины - расстояние между выбранной парой точек). Эрлангенская программа Ф. Клейна (1872) зафиксировала понимание этого замечательного принципа, и геометрией надолго стало изучение пространств М, снабженных достаточно большой группой симметрии, и свойств фигур, инвариантных относительно действия этой группы, включая углы, расстояния и объемы.

4. Числа . Открытием столь же фундаментальной важности (и гораздо более ранним) был декартов метод координат и основанная на нем аналитическая геометрия плоскости и пространства.

с современной точки зрения координаты суть некоторые функции на пространстве М (или на его подмножествах) с вещественными, комплексными или еще более общими значениями. Задание конкретных значений этих функций позволяет зафиксировать точку пространства, а задание соотношений между этими значениями определяет множество точек. Описание класса рассматриваемых в данной геометрии фигур в М можно заменить описанием класса соотношений между координатами, которые описывают интересующие нас фигуры. Поразительная гибкость и сила метода Декарта связана с тем, что функции на пространстве можно складывать и умножать, интегрировать, дифференцировать и применять другие процессы предельного перехода и в конечном счете пользоваться всей мощью математического анализа. Все общие современные геометрические дисциплины - топология, дифференциальная и комплексно аналитическая геометрия, алгебраическая геометрия - выбирают в качестве исходного определения понятие геометрического объекта как совокупности пространства М и заданной на нем совокупности F (локальных) функций.

5. Отображения . Если {Mi,Fi) и (Мг, F2) - два геометрических объекта описанного выше типа, то можно рассматривать отображения Mi->M2, которые обладают тем свойством, что обратное отображение на функциях переводит элементы из F2 в элементы из Fi. В наиболее логически завершенных схемах среди таких отображений находятся как группы симметрии Ф. Клейна, так и сами координатные функции (как отображения М в R или С). Геометрические объекты образуют категорию, и ее морфизмы служат достаточно тонкой заменой симметрии даже в тех случаях, когда этих симметрии не слишком много (как у общих римановых пространств, где можно измерять длины, углы и объемы, но движений, вообще говоря, недостаточно).

6. Линейные геометрии. Теперь мы можем охарактеризовать место линейных геометрий в этой общей картине. В известном смысле слова линейные геометрии относятся к числу непосредственных потомков геометрии Евклида. Рассматриваемые в них пространства М суть либо линейные пространства (теперь уже над общими полями, хотя R или С по-прежнему остаются в центре внимания, особенно ввиду многочисленных приложений), либо пространства, производные от линейных: аффинные ( линейные пространства без отмеченного начала координат ) и проективные ( аффинные пространства, пополненные бесконечно удаленными точками ). Группы симметрии суть подгруппы линейной группы, которые сохраняют фиксированное скалярное произведение , а также их расширения сдвигами (аффинные группы) или факторгруппы по гомотетиям (проективные группы). Рассматриваемые функции линейны или близки к линейным, иногда квадратичны. Фигуры суть линейные подпространства и многообразия (обобщения прямых на евклидовой плоскости) и квадрики (обобщения окружностей). Можно представлять себе эти обобщения евклидовой геометрии как результат чисто логического анализа, и устано-