и переход к пределу при N-> оо дает требуемое. В частности, ecnw 11/11 < 1. то оператор id - / обратим.

в) Назовем экспонентой ограниченного оператора / оператор

Так как / / (см. теорему п. II § 10) и числовой ряд для экспоненты равномерно сходится на любом ограниченном множестве, функция ехр(/) определена для любого ограниченного оператора / и непрерывна по /.

Например, ряд Тейлора -(р<>(Одля значения €p{t-\-t)

можно формально записать в виде expAZ-qp. Чтобы эта

запись приобрела точный смысл, нужно, конечно, выбрать пространство бесконечно дифференцируемых функций ф с нормой и проверить сходимость в индуцированной норме.

Частный случай: ехр (а id) = е id {а - скаляр); ехр (diag (gi, ... G )) = diag(expGi, ехра ).

Основное свойство числовой экспоненты: е°е* = е°+*, вообще говоря, нарушается для экспоненты операторов. Однако есть важный частный случай, когда оно выполнено:

3. Теорема. Если операторы f,g: L-L коммутируют, т. е. fg = gf, то (ехр /) (ехрg) = ехр(f + g).

Доказательство. Применяя формулу бинома Ньютона и пользуясь возможностью переставлять члены абсолютно сходящегося ряда, получаем

(expm P.)=fIif)fZir *)= Z TiirfV-

\t>o / \ft>o / г. ft>o

= Z irf+er=ePif + g)-

Коммутативность f и g используется в том месте, где {f-\-g) разлагается по биному.

4. Следствие. Пусть /: L-L - ограниченный оператор. Тогда отображение R-2(L, L): t*-exp{tf) является гомоморфизмом группы R в подгруппу обратимых операторов SL, L) по умножению.

Множество операторов {ехр tf\t R} называется однопарамет-рической подгруппой операторов.

5. Спектр. Пусть / - некоторый оператор в конечномерном пространстве, Q(f) -такой степенной ряд, что Q(/) абсолютно схо-

дится. Нетрудно видеть, что если Q(t) - многочлен, то в жорда-новом базисе / матрица Q(/) является верхней треугольной, и на ее диагонали стоят числа Qih), где X,-- собственные значения f. Применив это соображение к частичным суммам Q и перейдя к пределу, получим, что это же верно для любого ряда Q(t). В частности, если S(/) -спектр /, то S(Q{f)):=Q{S(f)) = {Q(K)\K Более того, если учитывать характеристические корни Л,- с их кратностью, то Q{S{f)) будет спектром Q{f) с правильными кратностями. В частности,

det (ехр /) == П ехр = ехр ( Ц Л J = ехр Тг /.

Переходя на язык матриц, мы отметим еще два простых свойства, которые доказываются таким же образом:

а) Q{A) = Q{Ay;

б) Q{A) = Q{A), где черта означает комплексное сопряжение; здесь предполагается, что ряд Q имеет вещественные коэффициенты.

Пользуясь этими свойствами и обозначениями § 4, докажем следующую теорему, относящуюся к теории классических групп Ли {здесь J{f = R или С).

6. Теорема. Отображение ехр переводит ц1{п,Ж), sl{n,X), о{п,Ж), и(п), su(n) в GL{n,Ж), SL(n,Ж), 0(п,Ж), U{n), SU( ) соответственно.

Доказательство. Пространство ц\(п,Ж) переходит в СЦп,Ж), ибо согласно следствию п. 4 матрицы ехр Л обратимы. Если Тг Л == О, то det ехр Л = 1, как было доказано в предыдущем пункте. Из условия Л-f Л' = 0 следует, что (ехр Л) (ехр А)= 1, а из условия Л + Л' = О следует, что ехр Л (ехр Л) = 1. Это завершает доказательство.

7. Замечание. Во всех случаях образ ехр покрывает некоторую окрестность единицы соответствующей группы. Для доказательства можно определить логарифм операторов / с условием

II/ -id< 1 обычной формулой !og/= (- ifiLzi и по-

казать, что / = ехр (log /).

Однако в целом отображения ехр, вообще говоря, не сюръек-тивны. Например, не существует матрицы Лез! (2, С), для которой ехр Л = ( е SL (2, С). В самом деле, А не может быть

диагонализируемой, иначе ехр Л была бы диагонализируемой. Значит, собственные значения А совпадают, а так как след Л равен нулю, эти собственные значения должны быть нулевыми. Но тогда собственные значения ехр Л равны 1, тогда как собственные зна-

чения о-) Рзвны -1.

§ 12. Комплексификация и овеществление

1. В § 8 и 9 мы убедились, что работа над алгебраически замкнутым полем проясняет геометрическую структуру линейных операторов и дает удобную каноническую форму матриц. Поэтому, даже работая с вещественным полем, удобно иногда пользоваться комплексными числами. В этом параграфе будут изучены две основные операции: увеличения и уменьшения поля скаляров в применении к линейным пространствам и линейным отображениям. Мы уделим больше всего внимания переходу от R к С {комплексификация) и от С к R {овеществление) и кратко коснемся более общего случая.

2. Овеществление. Пусть L - линейное проетранство над С. Забудем про возможность умножать векторы из L на все комплексные числа и оставим лишь умножение на R. Очевидно, мы получим линейное пространство над R, которое будем обозначать Lr и называть овсиествлением L.

Пусть L, М -два линейных пространства над С, f: L-M - линейное отображение. Очевидно, рассмотренное как отображение Lr-> Л'1р, оно остается линейным. Мы будем обозначать его и называть овеществлением /. Ясно, что id = id, (fg) = /rr; (o/+ + bg\ = afp + bg, если a, Ь e R.

3. Теорема, a) Пусть {e\.....Cm} - базис пространства L над

С. Тогда (еь ..., вт, 1ви iem) является базисом пространства Lr над R. В частности, dimp Lv = 2 dime L.

б) Пусть Л = В + tC - матрица линейного отображения f: L-M в базисах {е ..., е^} и (е^, ..., е' над С, где В, С - вещественные матрицы. Тогда матрицей линейного отображения fr Rr в базисах {е е^, /е ..., /е^}, {е;, .... е;;, ie[, ie] будет

Доказательство, а) Для любого элемента lL имеем

mm mm

1= Z Gfteft= X ibk + iCk)ek = S Ms + E Ck{iek), где bk, Ck - вещественная и мнимая части а^. Поэтому (е^, /ед,} по-

m т

рождают Lr. Если S ftfe + Z (ге) = О, где bk, CfeSR, то

*= *=1

bk + iCk = О в силу линейной независимости {еь ..., е^} над С. откуда следует, что bk~Ck - 0 для всех k. б) Согласно определению А, имеем

f{e .... e,j = , .... e;)(S + /C),

откуда, в силу линейности f над С,

..........е;)(-С + Ш).

Поэтому

.....fK) .....fiO)-

что завершает доказательство.

Следствие. Пусть /: L-L - линейный оператор на конечномерном комплексном пространстве L. Тогда det f р = det / р.

Доказательство. Пусть f представлен матрицей В + iC {В, С вещественны) в базисе {ei, ещ). Тогда, применяя элементарные преобразования (прямо в блочной структуре) сначала к строкам, потом к столбцам, находим:

= det ( + д ) = det (fi + iC) det (В - /С) =

= det/d7 = detfp.

4. Спуск поля скаляров: общая ситуация. Довольно очевидно, как обобщаются определения п. 2. Пусть К - некоторое поле, Ж - его подполе, L - линейное пространство над К. Забыв про умножение векторов на все элементы поля К и оставив лишь умножение на элементы Ж, мы получим линейное пространство LjfHafl Ж. Аналогично, линейное отображение f: L-M над К превращается в линейное отображение f: .L--M. Одно из названий этих операций - спуск поля скаляров (от X до Ж). Ясно, что id = id, {fg)y = fgy, {af + bg)y = af + bg, если a, Ь^Ж. Само поле К можно также рассматривать как линейное пространство над Ж. Если оно конечномерно, то размерности dim L и dimxLx связаны формулой

dimx = dxmx К dimx L.

Для доказательства достаточно проверить, что если {ei, е„} - базис L над К, а {Ьь bm) -базис К над Ж, то {fciei, ... ..., bCn; bmei, bmCn} образуют базис Lx над Ж.

5. Комплексная структура на вещественном линейном пространстве. Пусть L - комплексное линейное пространство, Lr - его овеществление. Чтобы полностью восстановить умножение на комплексные числа в Lr, достаточно знать оператор /: Lr->Lr умножения на i: J{l) = il. Очевидно, этот оператор линеен над R и удовлетворяет условию Р = -id; если мы знаем его, то для любого комплексного числа а + bi, а, Ь е R, имеем

{a-\-bi)l = al-{-bJ{l).

Это соображение приводит к следующему важному понятию:

6. Определение. Пусть L ~ вещественное пространство. Комплексной структурой на L называется задание линейного оператора J: L->L, удовлетворяющего условию Р = -id.

Описанная выше комплексная структура на называется канонической. Это определение оправдывается следующей теоремой:

7. Теорема. Пусть {L,J) - вещественное линейное пространство с комплексной структурой. Введем на L операцию умножения на комплексные числа из С по формуле

{a + bi)l = at + bJ{l).

Тогда L превратится в комплексное линейное пространство L, для которого Ец~Ь.

Доказательство. Обе аксиомы дистрибутивности легко проверяются, исходя из линейности / и формул сложения комплексных чисел. Проверим аксиому ассоциативности умножения:

(а + bi) [{с + dl) 1] = {а-\г bi) [cl + dJ [1)] = a[cl + dJ (/)] +

-f bJ [cl + dl (I)] = acl + adi (l) + bcl {I) ~ bdl =

= {ac -bd)l + {ad + be) J (/) = [ac - bd-\- {ad + be) i] I =

= [{a + bi){c+di)]L

Bee остальные аксиомы выполнены по той причине, что L и L совпадают как аддитивные группы.

8. Следствие. Если {L,J) - конечномерное вещественное пространство с комплексной структурой, то diniL = 2n четна, и матрица J в подходящем базисе имеет вид

(О -Еп\ \Е„ О )

Доказательство. Действительно, dimRL = 2dirncL в силу теоремы п. 7 и утверждения а) теоремы п. 3 (конечномерность L следует из того, что любой базис L над R порождает L над С).

Далее, выберем базис {е^.....е„} пространства L над С. Матрица

умножения на i в этом базисе равна iEn. Поэтому матрица оператора / в базисе {ei, е„; ici.....ie } пространства L имеет

требуемый вид в силу утверждения б) теоремы п. 3.

9. Замечания, а) Пусть L - комплексное пространство, g: Lp Lr - вещественно линейное отображение. Поставим вопрос, когда существует такое комплексно линейное отображение /: L-L, что g = l. Очевидно, для этого необходимо, чтобы g коммутировал с оператором / естественной комплексной структуры на Lr, ибо g{il) = g{Il)==ig{l) = Jg{l) для всех / е L. Это условие является также достаточным, потому что из него автоматически следует линейность g над С:

g {{а + Ы) I) = ag {I) + bg {it) = ag (/) + bgJ (/) =

= ag (0 + big {I) = (G + bJ) g (0 = (G + bi) g {I).

6) Пусть теперь L - четномерное вещественное пространство, /: L-L - вещественно линейный оператор. Поставим вопрос, когда на L существует такая комплексная структура /, что / являет я

овеществлением комплексно линейного отображения g: L->L, где I. - комплексное пространство, построенное с помощью /. Вот частичный ответ, относящийся к случаю ditnuL -2: такая структура существует, если f не имеет собственных векторов в L.

В самом деле, тогда f имеет два комплексно сопряженных собственных значения Я ± t>. Я, ц е Р, цфО. Положим / = ц- {f --- Яid). По теореме Гамильтона -Кэли, р - 2Я/+ (Я2 + л^) id = О, откуда

Р = (f 2lf + Я^ id) = - id.

Кроме того, / коммутирует с f. Это завершает доказательство.

10. Комплекснфикация. Теперь мы фиксируем вещественное линейное пространство L и введем комплексную структуру / на внешней прямой сумме L® L, определив ее формулой

/(1. /2) =(-4. h)-

Ясно, что Я = -1. Назовем комплексификацией пространства L

комплексное пространство L ф L, связанное с этой структурой. Мы будем обозначать его L. Другие стандартные обозначения: C(g)L

или с ф L; их происхождение стгнет ясно после ознакомления с тензорными произведениями линейных пространств. Отождествив L с подмножеством векторов вида (/,0) в L®L и пользуясь тем, что i(Z, 0) =/(/, 0) = (0,/), мы можем записать любой вектор из в виде

(/>. y = (i. о) + (0,1,)=(1и о) + ц/2. о)=и + и,.

Иными словами, L= L Ф iL, последняя сумма является прямой над R, но не над С!

Любой базис L над R будет базисом над С, так что dimRL= = dimcL*.

Пусть теперь f: Z,-> - линейное отображение линейных пространств над R. Тогда отображение (или f <8i С): L->MS определенное формулой

/(1. /s)==(/ai). /(У).

линейно над R и перестановочно с /, ибо

fJUu Z2)=f(~/2. h){-f(k), f(Zl)) = /f(Z,. I2).

Следовательно, оно комплексно линейно. Оно называется комплексификацией отображения f. Очевидно, id*=id, (af-\-bgY = =af( -f bg; a,b R; и (fg)c = fcgc Рассматривая пару базисов L и М как базисы L9 и соответственно, убеждаемся, что матрица отображения f в исходной паре базисов совпадает с матрицей отображения в этой новой паре. В частности, (комплексные) собственные значения отображений / и и их жордановы формы совпадают.

Проследим теперь, что происходит при композиции операций овеществления и комплексификации в двух возможных порядках

п. Сначала комплексификация, затем овеществление. Пусть L - вещественное пространство. Мы утверждаем, что существует естественный изоморфизм

Действительно, по конструкции совпадает с L @ L как вещественное пространство. Аналогично, (fS->/©/ (в смысле этого отождествления) для любого вещественного линейного отображения f: L->M.

Композиция в обратном порядке приводит к несколько менее очевидному ответу. Введем следующее определение.

12. Определение. Пусть L - комплексное пространство. Сопряженным комплексным пространством L называется множество L с той же структурой аддитивной группы, но с новым умножением на скаляры из С, которое мы временно обозначим а*1:

a*l = al для любых а g С, / е L. Аксиомы проверяются без труда, если воспользоваться тем, что

ab = ab и a + b = a-fb.

Аналогично, если {L,J) - вещественное пространство с комплексной структурой, оператор -/ также определяет комплексную структуру, которая называется сопряженной с исходной. В обозначениях теоремы п. 7, если Г - комплексное пространство, отвечающее (L, J), то L - комплексное пространство, отвечающее

13. Сначала овеществление, потом комплексификация. Теперь мы можем для всякого комплексного линейного пространства L построить канонический комплексно линейный изоморфизм

С этой целью заметим, что на {L имеются два вещественно линейных оператора: оператор канонической комплексной структуры /(/i,/2) = (-kjx) и оператор умножения на i, отвечающий исходной комплексной структуре L: /2) = (i/i, г). Так как / коммутирует с /, он комплексно линеен в этой структуре. Поскольку Р = -id, его собственные значения равны ±t. Введем стандартные обозначения для двух подпространств, отвечающих этим собственным значениям:

L- = /2)e(LR)4/(/ l2) = i{tu k)}, L -1 = {(/ /2) e (Lr)c I / a k) = - i (Z /2)}.

Оба множества L- и L - являются комплексными подпространствами в (Lr): ясно, что они замкнуты относительно сложения и умножения на вещественные числа, а замкнутость относительно умножения на / следует из того, что / и i коммутируют. Покажем, что /. - L- ® L а также, что L-° естественно изоморфно L, тогда как LP естественно изоморфно L.

Из определений сразу же следует, что L-° состоит из векторов вида (/, - ), а L - из векторов вида (т, im). Для данных /ь kL уравнение (А,/2) = (/, -U)-\-{in,im) на 1, т имеет един-

ственное решение 1=-2-, т = -g-. Следовательно, L =

= 0°®L°\ Отображения L-L- : 1>->{1,-И) и L-LP-: И) являются вещественно линейными изоморфизмами. Кроме того, они перестановочны с действием / на L, L и действием / на L° в силу определений. Это завершает нашу конструкцию.

14. Полулинейные отображения комплексных пространств. Пусть L, М - комплексные линейные пространства. Полулинейным (или антилинейным) отображением /: L-M называется линейное отображение f: L-M. Иными словами, / - гомоморфизм аддитивных групп, и

f(al) = af{l)

для всех G е С, lL. Особая роль полулинейных отображений станет ясна во второй части, при изучении эрмитовых комплексных пространств.

15. Подъем поля скаляров: общая ситуация. Пусть, как в п. 4, /С -некоторое поле. Ж -его подполе. Тогда для любого линейного пространства L над Ж можно определить линейное пространство K®L, или L, над К, сохранив размерность. До введения

Ж

языка тензорных произведений дать общее определение U- затруднительно, но для практических целей достаточно следующего полуфабриката: если {ei.....е„} - базис L над Ж, то U- состоит

из всех формальных линейных комбинаций X г^/1 А^> т. е.

имеет тот же базис над К. В частности, {Ж ) - К . По Ж-лшеи-ному отображению /: L->M определяется /С-линейное отображение f: L-M: если f задано матрицей в некоторых базисах L и М, то задается той же матрицей.

В заключение укажем одно приложение комплексификации: 16. Предложение. Пусть f: L-L - линейный оператор в вещественном пространстве размерности 1. Тогда f имеет инвариантное подпространство размерности 1 или 2.

Доказательство. Если f имеет вещественное собственное значение, то подпространство, натянутое на соответствующий собственный вектор, инвариантно. В противном случае все собственные значения комплексны. Выберем одно из них Я + щ. Оно будет также собственным значением в LP. Возьмем соответствующий собственный вектор /1 + 1/2 в L, /1, kL. Согласно определениям

Г {.и + ih) = / (/1) + if ik) = (Я+г (/i+ 2) = (Я/i - l/2)+/ (ц/i -f Я/2).

Следовательно, Д/1) = Я/1 - [л/г, /(/2) = /i + Я/2, и линейная оболочка {/i, /2} в L /-инвариантна.

§ 13. Язык категорий

1. Определение категории. Категория С состоит из следующих данных:

а) Класс (или множество) Ob С, элементы которого называются объектами категории.

б) Класс (или множество) Мог С, элементы которого называются морфизмами категории, или стрелками.

в) Для каждой упорядоченной пары объектов X, УеОЬС задано множество Ношс (X, У) CZ Мог С, элементы которого называются морфизмами из X в Y н обозначаются X-Y или /: X-Y

или X-Y.

г) Для каждой упорядоченной тройки объектов X, У, Z е Ob С задано отображение

Ноте {X, У) X Ноте (У, Z) Ноте {Х, Z).

сопоставляющее паре морфизмов {/, g) морфизм gf, или g о f, называемый их композицией, или произведением.

Эти данные должны удовлетворять следующим условиям:

д) Мог С есть несвязное объединение (j Home (X, У) по всем упорядоченным парам X, УеОЬС. Иными словами, для каждого морфизма / однозначно определены объекты X, У такие, что / е Нот С (Х, У): начало X и конец У стрелки f.

е) Композиция морфизмов ассоциативна.

ж) Для каждого объекта X существует тождественный морфизм idx Иотпс{Х, X) такой, что 1с1д^ о / = / о id. = / всякий раз, когда эти композиции определены. Нетрудно видеть, что такой морфизм единствен: если idx- другой морфизм с тем же свойством, то id = ido idj = idf.

Морфизм f: X-Y называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g: У->Х, что gf = idx, fg - idy.

2. Примеры, a) Категория множеств Set. Ее объекты - множества, морфизмы - отображения множеств.

б) Категория Sinx линейных пространств над полем Ж. Ее объекты - линейные пространства, морфизмы - линейные отображения.

в) Категория групп.

г) Категория абелевых групп.

Различия между классом и множеством обсуждаются в аксиоматической теории множеств и связаны с необходимостью избежать знаменитого парадокса Рассела. Не всякое собирание объектов воедино образует множество, ибо понятие множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента , противоречиво. В аксиоматике Гёделя-Бернайса такие собрания множеств называются классами. Техника теорий категорий требует собираний объектов, лежащих в опасной близости к таким парадоксальным ситуациям. Мы, однако, будем пренебрегать этими тонкостями.

3. Диаграммы. Поскольку в аксиоматике категорий ничего не говорится о теоретико-множественной структуре объектов, мы не можем в общем случае работать с элементами этих объектов. Все основные общекатегорные конструкции и их приложения к конкретным категориям формулируются преимущественно в терминах морфнзмов и их композиции. Удобный язык для таких формулировок- это язык диаграмм. Например, вместо того чтобы говорить, что у нас имеются четыре объекта X, Y, U, V, четыре мор-физма fHomc(X,Y), gUomc(Y,V), hHomc{X,U) и deHornc(t/, V), причем gf = dh, говорят, что задан коммутативный квадрат

Коммутативность здесь - это равенство gf = dh, которое означает, что два пути вдоль стрелок от X к V приводят к одному и тому же результату. Более общо, диаграмма - это ориентированный граф, вершины которого являются объектами С, а ребра - морфизмами, например

V-

Диаграмма называется коммутативной, если любые пути вдоль стрелок в ней с общими началом и концом отвечают одинаковым морфизмам.

В категории линейных пространств, а также в категории абелевых групп особенно важен класс диаграмм, называемых комплексами. Комплекс имеет вид последовательности объектов и стрелок

... X->Y-U-V-

конечной или бесконечной, которая удовлетворяет следующему условию: композиция любых двух соседних стрелок является нулевым морфизмом. Заметим, что понятие нулевого морфизма не является общекатегорным: оно специфично для линейных пространств и абелевых групп и для специального класса категорий - так называемых аддитивных категорий. Часто объекты, входящие в комплекс, и морфизмы нумеруются некоторым отрезком целых чисел:

X i > Xq-