тами первой строки D по построению. Поэтому / можно представить в виде линейной комбинации элементов D.

Остается проверить линейную независимость элементов D. Прежде всего, элементы нижней строки D линейно независимы. Действительно, если некоторая их нетривиальная линейная комби-

т

нация равна нулю, то она должна иметь вид Z а,/ (е,) = О, ибо

остальные элементы нижней строки дополняют базис линейной оболочки {f (ei), .... tiej) до базиса Lo.Ho все Ы 1, поэтому

/(, / (в,)) = 0.

так что

Из последнего же соотношения следует, что все ш = О, потому что векторы составляют нижнюю строку диаграммы D и яв-

ляются частью базиса L/Lo-

Наконец, покажем, что если имеется любая нетривиальная линейная комбинация векторов D, равная нулю, то из нее можно получить нетривиальную линейную зависимость между векторами нижней строки D. В самом деле, отметим самую верхнюю строку D, в которой имеются ненулевые коэффициенты этой воображаемой линейной комбинации. Пусть номер этой строки (считая снизу) равен h. Применим к этой комбинации оператор f-K Очевидно, ее часть, отвечающая Л-й строке, перейдет в нетривиальную лийейную комбинацию элементов нижней строки, а остальные слагаемые обратятся в нуль. Это завершает доказательство предложения.

Теперь нам осталось проверить часть теоремы из п. 1, относящуюся к единственности.

8. Пусть фиксирова-н произвольный жорданов базис оператора/. Любой. диагональный элемент матрицы оператора / в этом базисе, очевидно, является одним из собственных значений Я этого оператора. Рассмотрим часть базиса, отвечающего всем блокам матрицы с этим значением Я, и обозначим через 1% его линейную оболочку. Поскольку (/,.(Я)-Я) = 0, имеем L).czL{l), где L{X) - корневое подпространство L. Кроме того,/,=ф£х^ по определению жорданова базиса и L = ф /.(Я,) по предложению п. 5, где в обоих случаях Я,- пробегает все собственные значения оператора / по одному разу. Следовательно, dimZ. = dimZ.(Я,) и L% = L{%l). Значит, сумма размеров жордановых клеток, отвечающих каждому Я(, не зависит от выбора жорданова' базиса, и, более того, от выбора базиса не зависят линейные оболочки Lг.. Поэтому достаточно проверить теорему единственности для случая L=L(X) или даже для L = L (О).

Построим диаграмму D, отвечающую данному жорданову базису L = L{0). Размеры жордановых клеток -это высоты ее столбцов; если, как на чертеже, расположить столбцы в порядке убывания, то эти высоты однозначно определятся, если известны длины строк в диаграмме, начиная с нижней, в порядке убывания. Покажем, что длина нижней строки равна размерности Lo == Кег f. Действительно, возьмем, любой собственный вектор / для f и представим его в виде линейной комбинации элементов D. В эту линейную комбинацию все векторы, находящиеся выше нижней строки, войдут с нулевыми коэффициентами. Действительно, если бы самые высокие векторы с ненулевыми коэффициентами лежали в строке с номером Л 2, то вектор /-(/) = О был бы нетривиальной линейной комбинацией элементов нижней строки D (ср. конец доказательства предложения п. 7), а это противоречит линейной независимости элементов D. Значит, нижняя строка D образует базис Lo, так что ее длина равна dim Lo, и потому эта длина одинакова для всех жордановых базисов. Точно так же длина второй строки не зависит от выбора базиса, так как она равна размерности Кег / в L/Lo в обозначениях предыдущего пункта. Это завершает доказательство единственности и теоремы п. 1.

9. Замечания, а) Пусть оператор / представлен матрицей А в некотором базисе, тогда задача приведения А к жордановой форме может быть решена с помощью следующих действий.

Вычислить характеристический многочлен А и его корни.

Вычислить размеры жордановых клеток, отвечающих корням Я. Для этого достаточно вычислить длины строк соответствующих диаграмм, т. е. dim Кег (Л - Я), dim Кег (Л - Я) - dim Кег (Л - Я), dimKer(Л - Я)3 -dimKer(Л - Я)2, ...

Построить жорданову форму / матрицы Л и решить матричное уравнение АХ - X] = 0. Пространство решений этой линейной системы уравнений будет, вообще говоря, многомерно, и среди решений будут и вырожденные матрицы. Но по теореме существования обязательно есть невырожденные решения; можно взять любое из них.

б) Одно из важных приложений жордановой формы - вычисление функций от матриц (пока мы знакомы лишь с полиномиальными функциями). Пусть, скажем, нам нужно знать большую степень А' матрицы Л. Так как степень жордановой матрицы вычислить легко (см. § 8, п. 13), экономный способ может состоять в использовании формулы А> = XJ X-\ где Л = XJX-: дело в том, что матрица X вычисляется раз навсегда и не зависит от Л^. Эту же формулу можно использовать для оценки роста элементов матрицы А'.

в) В терминах жордановой формы легко вычислить минимальный многочлен матрицы Л. В самом деле, ограничимся для простоты случаем поля нулевой характеристики. Тогда минимальный многочлен /г(Я) равен {t - Я) (см. п. 13 § 8), минимальный многочлен блочной матрицы (/rj (Я)) равен (/-Я) наконец, ми-

нимальный многочлен общей жордановой матрицы с диагональ-ными элементами ki, Ks (hФЯ-/ при iф j) равен П{/ - К.У',

где Г/ - наибольший размер жордановой клетки, отвечающей Kj.

10. Другие нормальные формы. В этом пункте мы вкратце опишем другие нормальные формы матриц, пригодные, в частности, для алгебраически незамкнутых полей.

а) Циклические пространства и циклические клетки. Пространство L называется циклическим относительно оператора f, если в L существует такой вектор /, также называемый циклическим, что векторы /, /(/),...,/ -(/) образуют базис L. Полагая e = f -(l), t =: 1, .... n = dimL, имеем

/ап-1 1 0... О \

f{e е„) = (е,.....е„) . :\°/;V

\ Оо о о ... о у

где UiX однозначно определяются из соотношения / (/) = = Z (/) Матрица оператора f в таком базисе называется цик-

лической клеткой. Наоборот, если матрица оператора / в базисе (еь ..., е„) является циклической клеткой, то вектор / = е„ цик-личен, и ег = f ~{en) (индукция вниз по i).

Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей f, не зависит от выбора исходного циклического вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов мини-

мального многочлена оператора /: M{f) = t - Z г^-

В самом деле, М(/) = 0, потому что M{f)[fi{l)] = p{M(,f)l] = Q, а векторы /(/) порождают L. С другой стороны, если N(t) - многочлен степени <: , то К{])ФО, потому что иначе, применив оператор N(f) = 0 к циклическому вектору /, мы получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса l,f(l), ...

.... f -4i)-

б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство L циклично относительно /, то его размерность п равна степени минимального многочлена оператора f и, стало быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы id, /, ..., линейно независимы, то существует такой вектор /, что векторы l,f{l), .... / (О линейно независимы, так что L циклично. Мы не будем доказывать это утверждение.

в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме. Вместо множителей {t - KY характеристического многочлена следует рассматривать множители Pi{tY где Pi{t) - неприводимые над полем Ж делители характеристического много-

члена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток неприводимы. Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть L - конечномерное пространство дифференцируемых функций комплексной переменной к, обладающее тем свойством, что если f е L, то е L.

Доказать, что существуют такие комплексные числа Ki, ..., и целые числа ri, rsl, что L = ®Lt, где Z.,---пространство функций вида eiPi(x) Р,(х)-произвольный многочлен степени п-1. {Указание. Рассмотреть жор-

данов базис для оператора на L и последовательно вычислить вид входящих в него функций, начиная с нижней строки его диаграммы.)

2. Пусть i/(x)-функция комплексной переменной х, удовлетворяющая дифференциальному уравнению вида

ii + ,il =.o.,.c.

Обозначим через L линейное пространство функций, натянутое на dyjdx для всех I 0. Доказать, что оно конечномерно и оператор djdx переводит его в себя.

3. Пользуясь результатами упражнений 1 и 2, вывести, что у(х) представляется в виде Е eiPi (х), Р,- - многочлены. Как связаны числа h с видом дифференциального уравнения?

4. Пусть /г (Я)-жорданова клетка над С. Доказать, что, как угодно мало изменив ее элементы, можно добиться того, что полученная матрица будет диа-гонализируемой. (Указание. Изменить элементы на диагонали, сделав их попарно разными.)

5. Перенести результат этого упражнения на произвольные матрицы над С, воспользовавщись тем, что коэффициенты характеристического многочлена непрерывно зависят от элементов матрицы, а условие отсутствия кратных корней многочлена равносильно тому, что его дискриминант не обращается в нуль.

6. Придать точный смысл следующим утверждениям и доказать их:

а) общая 2 X 2-матрица над С диагонализируема.

б) общая 2 X 2-матрица с одинаковыми собственными значениями недиаго-нализируема.

§ 10. Нормированные линейные пространства

В этом параграфе изучаются специальные свойства линейных пространств над вещественными и комплексными числами, связанные с возможностью определить в них понятие предельного перехода и построить начала анализа. Особую роль эти свойства играют в бесконечномерном случае, так что по существу излагаемый материал является элементарным введением в функциональный анализ.

1. Определение. Пара {E,d), где Е -множество, а d: ЕХЕ->-о- R - вещественнозначная функция, называется метрическим про-

странством, если выполнены следующие условия для всех х, у,

а) d {х, у)= d {у, х) {симметрия);

б) d{x,x)= Q\ d{x,y)> О, если хФу {положительность);

в) d{x,z)d{x,y)-\-d{y,z) {неравенство треугольника). Функция d с такими свойствами называется метрикой, а d{x,y) - расстоянием между точками х, у.

2. Примеры, а) Е = R шк С, d{x,y) = \x - у\.

б) £=R или С , d{x, y)={J\Xi - yif\ -Это так называемая естественная метрика. Во второй части мы рассмотрим ее систематически и изучим ее обобщения на произвольные основные поля в теории квадратичных форм. Другие метрики:

dl {х, у) = max (\xi - yi ), d2{x, у)= 2. U.- - У11-

в) E = C{a,b) - непрерывные функции на отрезке [а, Ь]. Вот три наиболее важные метрики:

d,{f, g)= max \f{t)-g{t)\,

b

d2{f. g)=\\f{t)-g(t)\dt,

з(ЛйГ) = (5 f{t)-g{i)?dj .

(Проверьте аксиомы. Для di в примере б) и da в примере в) неравенство треугольника будет доказано в следующей части.)

г) Е - любое множество, d{x,y) = 1 при хФу. Это - одна из дискретных метрик на Е.

(С каждой метрикой связана некоторая топология на Е, и последняя описанная метрика индуцирует дискретную топологию.)

3. Шары, ограниченность и полнота. В метрическом пространстве Е с метрикой d множества

В{хо, r) = {xE\d{xo, х)<г], В{хо, r) = {xE\d{xo, х)<г}, -S {хо, r) = {xE\d {хо, х) = г}

называются соответственно открытым шаром, замкнутым шаром и сферой с центром в точке хо и радиуса г. Не следует связывать с ними интуитивные представления, слишком близкие к трехмерным пространственным. Например, в примере г) п. 2 все сферы радиуса г Ф 1 пусты.

Подмножество Fa Е называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре (конечного радиуса).

Последовательность точек Хь хг, ., Хп, ... в Е сходится к точке а Е, если lim d (х„, а)=0. Последовательность называется фун-

даментальной (или последовательностью Коши), если для всякого е>0 существует N = N{e), такое, что d{Xm,Xn)<:e при т,п>

>N(E).

Метрическое пространство Е называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится. Из полноты R и С, доказываемой в анализе, следует, что пространства R и С с любой из метрик d, dl, di примера б) п. 2 полны.

4. Нормированные линейные пространства. Пусть теперь L - линейное пространство над R или С. Особо важную роль играют метрики на L, которые удовлетворяют двум условиям:

а) d(l\,h) = d{h-{-l,k-\-l) для любых /, /ь hL (инвариантность относительно сдвига);

б) d{alu at2) = \a\d(h,l2) (умножение на скаляр а увеличивает расстояния в \а\ раз).

Пусть d - такая метрика. Назовем нормой вектора / (относительно d) и будем обозначать через U число d{l,Q). Из аксиом метрики (п. 2) и условий а), б) вытекают следующие свойства нормы:

0 = 0, Л|>0, если 1Ф0; Л1 = 1 111Л1 для всех аеЖ, lL; l/i + /2ll<IUill + l/2ll для всех h, kL.

Первые два свойства очевидны, третье проверяется так: -f /2!! = = d(/i + I2, 0) = d{lu -I2) < d{lu 0)4- d(0, -/2) = IUill-flU2l.

Линейное пространство L, снабженное функцией нормы : L-R, удовлетворяющей перечисленным трем условиям, называется нормированным.

Наоборот, по норме восстанавливается метрика: положив d(li, /2)=IUi - гИ, легко проверить аксиомы метрики. Для нее d(l, 0) = 1Л|.

Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством. Пространства R и С с любыми нормами, отвечающими метрикам из п. 2, банаховы.

Общее понятие сходимости последовательности в метрическом пространстве, данное в п. 3, специализируется на случай нормированных линейных пространств и называется сходимостью по нор-ме. Линейная структура позволяет определить понятие сходимости ряда, более сильное, чем сходимость по норме его частичных сумм.

Именно, ряд li называется абсолютно сходящимся, если схо-

дится ряд Y> II h II- = 1

5. Норма и выпуклость. Нетрудно описать все нормы на одномерном пространстве L: любые две из них отличаются друг от друга умножением на положительную константу. В самом деле, пусть /eL - ненулевой вектор, i, Цг - две нормы. Если lUlli = с|1Л12, то Л1, =Glll/li = caIUIl2 = ck/l2 для всех еЖ

Будем называть кругами (соответственно окружностями) в одномерном пространстве L шары (соответственно сферы) ненулевого радиуса с центром в нуле относительно любой из норм. Как следует из предыдущего рассуждения, множества всех кругов и окружностей в L не зависят от выбора исходной нормы. Вместо задания любой нормы можно указать ее единичный круг В илн единичную окружность S: S восстанавливается по В как граница В, а В восстанавливается по 5как множество точек вида {al\lS, \а\ 1}. Заметим, что при J{f = R круги суть отрезки с центром в нуле, а окружности - пары точек, симметричные относительно нуля.

Чтобы перенести это описание на пространства любой размерности, нам понадобится понятие выпуклости. Подмножество £ с= L называется выпуклым, если для любых двух векторов /gef и для любого числа О а 1 вектор ali -{-{I - а)h лежит в Е. Это согласуется с обычным определением выпуклости в и R: вместе с любыми двумя точками ( концами векторов /] и /г ) множество Е должно содержать весь соединяющий их отрезок ( концы векторов a/i 4- (1 - а)/2 ).

Пусть II II-некоторая норма на L. Положим B = {/eLU 1}, S={lL\\\l\\= 1}. Ограничение на любое линейное подпространство LodL индуцирует норму на Lq. Отсюда следует, что для любого одномерного подпространства LoCiL множество Lo[]B является кругом в Lo, а множество Lo П 5 - окружностью в смысле данного выше определения. Кроме того, из неравенства треугольника следует, что если /ь /г е В, О с 1, то

/,-f (l-a)/2l<a/,-f (1-а)411<1.

т. е. all + {1 - а)В, так что В -выпуклое множество. Справедлива и обратная теорема:

6. Теорема. Пусть S с: L - множество, удовлетворяющее двум условиям:

а) Пересечение S П Lo с любым одномерным подпространством Lo является окружностью.

б) Множество В ={al\ а| 1, / е S} выпукло.

Тогда на L существует единственная норма \\ \\, для которой В является единичным шаром, а S - единичной сферой.

Доказательство. Обозначим через : L-R функцию, которая на каждом одномерном подпространстве Lo является нормой с единичной сферой SflLo- Ясно, что такая функция существует и единственна, и нуждается в проверке лишь неравенство треугольника для нее. Пусть U, hL, /,=гЛ Ц/гН -Л^2, NiQ. Применим условие выпуклости В к векторам N4i и NitiS.

Получим откуда

- м-Ч, л A/.7/9ll< 1

l/,+/2ll<l+2 = l/lll + l/2ll-

7. Теорема. Любые две нормы h и lb на конечномерном пространстве L эквивалентны в том смысле, что существуют положительные константы О <: с^с' с условием

с|Л12<11Л1.<с'ЛЬ

для всех 1 L. В частности, топологии, т. е. понятия сходимости, отвечающие любым двум нормам, совпадают, и все конечномерные нормированные пространства банаховы.

Доказательство. Выберем базис в L и рассмотрим есте-

ственную норму л: = I р I относительно координат в этом

базисе. Достаточно проверить, что любая норма i эквивалентна этой. Ее ограничение на единичную сферу нормы является

непрерывной функцией координат х, принимающей лишь положительные значения (непрерывность следует из неравенства треугольника). Следовательно, эта функция отграничена от нуля константой с>0 и ограничена константой с'>-0 по теореме Больцано - Вейерштрасса (единичная сфера S для замкнута и ограничена). Из неравенства с с' для всех ZeS следует неравенство cU/i:cU для всех /eL. Поскольку L полно в топологии, отвечающей норме , и понятия сходимости для эквивалентных норм совпадают, L полно в любой норме.

8. Норма линейного оператора. Пусть L, М - нормированные линейные пространства над одним и тем же полем R или С.

Рассмотрим линейное отображение f: L-M. Оно называется ограниченным, если существует такое вещественное число N 0, что для всех /е/. выполнено неравенство /(-/) Л^/ (левая норма - в М, правая-в L). Обозначим через S{L,M) множество ограниченных линейных операторов. Для каждого /е S(L,M) обозначим через / нижнюю грань всех N, для которых выполняются неравенства Д/) N\\l\\, lL.

9. Теорема, а) S(L,M) является нормированным линейным пространством относительно функции \\f\\, которая называется индуцированной нормой.

б) Если L конечномерно, то 2 (L, М) = 2(L, М), т. е. любое линейное отобраокение ограничено.

Доказательство, а) Пусть \, 2{L,M). Есш Д/)1К iVilUII и g(/)K Л/211Л1 для всех /, то

II(/ + g)(/)II<(Л^, + Л^2)II/II. IIafт<\а\N,\\I\\. Поэтому f-\-g и af ограничены и, более того, переходя к нижним 72

граням, имеем

+glKlini + llgll. Ia/ll = l limi-

Если f=0, то для любого е>0 1К е|/. Значит, /(/)=0, так что / = 0.

в) На единичной сфере в L отображение /-11/(011 является непрерывной функцией. Так как эта сфера ограничена и замкнута, эта функция ограничена и, более того, верхняя грань ее значений достигается. Поэтому на сфере Д/)Л^, так что 11 Л^/ для всех / е L.

Попутно мы обнаружили, что 11/11= iax{/(/), /е единичная сфера в L).

10. Примеры: а) В конечномерном нространстве L последовательность векторов /ь In, ... сходится к вектору I тогда и только тогда, когда в некотором (и потому в любом) базисе последовательность i-x координат векторов сходится к f-й координате вектора /, т. е. если /(/i), /(/л), ..- сходится для любого линейного функционала / е L*. Последнее условие можно перенести на бесконечномерные пространств^а, потребовав сходимость f{li) лишь для ограниченных функционалов /. Это приводит, вообще говоря, к новой топологии на L, называемой слабой топологией.

б) Пусть L - пространство вещественных дифференцируемых

/ Y

функций на [0,1] с нормой 11/11 = 1 \/(Odn . Тогда оператор

1 1

умножения на t ограничен, ибо ff {tf < / {tf dt, a оператор

о о

неограничен. В самом деле, для любого целого О функ-

dt

ция V2 + 1/ лежит на единичной сфере, а норма ее производной -у ->схз при П->схз.

11. Теорема. Пусть L-* М-N - ограниченные линейные отображения нормированных пространств. Тогда их композиция ограничена и

\\ё-п\<\\ё\т-

Доказательство. Если /(/) К iV,/ и \\g{m)\\ NWmW для всех / е Z., m е М, то

11°/а)11<Л^211(/)11<ад11Л1,

откуда, переходя к нижним граням, получаем требуемое утверждение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислить нормы на R, для которых единичными шарами являются множества:

а) х^ + у^ 1;

б) х^ + г2;

в) квадрат с вершинами (±1, ±1);

г) квадрат с вершинами (О, ±1), (±1, 0).

2. Пусть 1(х) О - дважды дифференцируемая вещественная функция на [а, 6]c:R и f (x)0. Доказать, что множество Цх,у)\а^х^Ь, 0yf(x)}<=. с R2 выпуклое.

3. Пользуясь результатом упражнения 2, доказать, что множество l-*! + li/l 1 для р>1 в Ю является единичным шаром для некоторой нормы. Вычислив эту норму, доказать неравенство Минковского:

(I х1 + у/ + \х, + у, 1 ) < (Ix, 1 +1 1 ) + (I г/, г +1 у. 1 ) .

4. Обобщить результаты упражнения 3 на случай R .

5. Пусть В - единичный шар некоторой нормы в L,B* - единичный шар индуцированной нормы в L* = S(L, X), Ж ~ А или С. Дать явное описание В* и вычислить В* для норм из упражнений 1 и 3.

§ 11. Функции линейных операторов

1. В § 8 и 9 мы определили операторы Q(f), где f: L-L - линейный оператор, а Q -любой многочлен с коэффициентами из основного поля Ж. Если J{f = R или С, пространство L нормировано, а оператор / ограничен, то Q(/) можно определить для более общего класса функций Q с помощью предельного перехода.

Мы ограничимся рассмотрением голоморфных функций Q, задаваемых степенными рядами с ненулевым радиусом сходимости:

Q(<)==a/. Положим Q{t)=Y4a\, если этот ряд из опера-

торов абсолютно сходится, т. е. если сходится ряд X II f II- (В случае dimL<oo, которым мы в основном будем заниматься здесь, S{L,L) = S{L,L), и пространство всех операторов конечномерно и банахово; см. § 10, утверждение б) теоремы п. 9.)

2. Примеры, а) Пусть f - нильпотентный оператор. Тогда ==0 для достаточно больших г, и ряд Q(f) всегда абсолютно сходится. На самом деле он совпадает с одной из своих частичных сумм.

б) Пусть Л1< 1- Ряд 1]/ абсолютно сходится и

-->,1.=(1)< - =--

Действительно,

(id - Л i =id - =(1 (id - /)