не связаны друг с другом: он дается теоремой из п. 2 этого параграфа. Гораздо интереснее и многообразнее получается картина, когда М = L (этот и следующий параграфы) и М = L* (следующая часть). На матричном языке речь идет о приведении матрицы / к возможно более простой форме с помощью подходящего, специально приспособленного к структуре /, базиса. В первом случае базисы в L и М можно выбирать независимо, во втором речь идет об одном базисе в L или о базисе в L и двойственном к нему базисе L*: меньшая свобода выбора приводит к большему разнообразию ответов.

На языке § 5 нашу задачу можно переформулировать следзто-щим образом. Построим внешнюю прямую сумму пространств L Ф М и поставим в соответствие отображению / его график Г/: множество всех векторов вида {l,f(l))LQM. Легко убедиться, что Tf есть линейное подпространство в LQ М. Нас интересуют инварианты расположения Г; в L Ф М. Для случая, когда базисы в L и М можно выбирать независимо, ответ дается следующей теоремой.

2. Теорема. Пусть f: L-M - линейное отображение конечномерных пространств. Справедливы следующие утверждения:

а) Существуют такие прямые разложения L=Lo®Li, М = = М] Ф Мг, что Кег f = Lo и f индуцирует изоморфизм L\ с М^.

б) Существуют такие базисы в L и М, что матрица f в этих базисах имеет вид (а,/), где ац= 1 для lir и ац=0 для остальных i, j.

в) Пусть А - некоторая матрица размера m X Тогда существуют такие невырожденные квадратные матрицы В и С размеров тУСт и Х и такое число г min(m, п), что матрица ВАС имеет вид, описанный в предыдущем пункте. Число г определено однозначно и равно рангу А.

Доказательство, а) Положим Lo = Кег/, а в качестве Li выберем прямое дополнение к Lo: это возможно в силу п. 10 § 5. Затем положим УИ; = Im а в качестве выберем прямое дополнение к М\. Нужно лишь проверить, что / определяет изоморфизм Li с М\. Отображение /: L\ Mj инъективно, потому что ядро /, т. е. Lo, пересекается с Li лишь по нулю. Оно сюръективно, потому что если / = /o + ieL, loLo. hLi, то f{l) = f{l\).

б) Положим г = dim Li = dim Mi и выберем в L базис {ей Сг, Cr+i, е„}, где первые г векторов образуют базис Lu а следующие-базис Lo. Далее, векторы = / (е,), 1 < г < г, образуют базис в Mi = Im/. Дополним его до базиса М векторами К-ьр т)- Очевидно,

/(е е/, е^ е^) = {е\, О, 0) =

= .... е/, ei.....т)(о'т)

так что матрица / в этих базисах имеет требуемый вид.

в) Построим по матрице А линейное отображение f координатных пространств Ж -Ж с этой матрицей, затем применим к нему утверждение б) В новых базисах матрица / будет иметь требуемый вид и выражаться через А в виде ВАС, где В, С - матрицы перехода: см. п. 8 § 4. Наконец, гк Л = гкВЛС' = гк / = = dim Im/. Это завершает доказательство.

Теперь перейдем к изучению линейных операторов. Начнем с введения простейшего класса: диагонализируемых операторов.

Назовем в общем случае подпространство LoCiL инвариантным относительно оператора /, если f{Lo)c:.Lo.

3. Определение. Линейный оператор f: L-L называется диаго-нализируемым, если выполнено любое из двух равносильных условий:

а) L разлагается в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств;

б) суи{ествует базис L, в котором матрица оператора f диаго-нальна.

Равносильность этих условий проверяется без труда. Если в базисе (Ci) матрица оператора / диагональна, то f{ei) - Xiei, так что одномерные подпространства, натянутые на е,-, инвариантны и L разлагается в их прямую сумму. Наоборот, если L = ф ~ такое разложение и Ci - любой ненулевой вектор из L,-, то {ei) образуют базис в L.

Диагонализируемые операторы образуют простейший и во многих отношениях самый важный класс. Например, над полем комплексных чисел, как мы убедимся, любой оператор можно делать диагональным, как угодно мало изменив его матрицу, так что оператор в общем положении диагонализируем.

Чтобы понять, что может помешать оператору быть диагонализируемым, введем два определения и докажем одну теорему.

4. Определение. 1) Одномерное подпространство LczL называется собственным для оператора /, если оно инвариантно, т. е. /(Li)c: L\. Если Li - такое подпространство, то f действует на нем как умножение на скаляр К^Ж. Этот скаляр называется собственным значением оператора / {на Li).

б) Вектор lL называется собственным для \, если линейная оболочка Ж1 является собственным подпространством. Иными словами, 1фО и f{l) = Kl для подходящего К^Ж.

Согласно определению п. 3, диагонализируемые операторы / допускают разложение L в прямую сумму своих собственных подпространств. Выясним, когда у / имеется хотя бы одно собственное подпространство.

5. Определение. Яусть L - конечномерное линейное пространство, /: L-L - линейный оператор, А - его матрица в каком-нибудь базисе. Обозначим через P{t) и назовем характеристическим многочленом оператора f, а также матрицы А, многочлен det(/£ - Л) с коэффициентами в поле Ж (det - определитель),

т

6. Теорема, а) Характеристический многочлен линейного оператора I не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

б) Любое собственное значение оператора является корнем P(i) и любой корень P(t), лежаи^ий в Ж, является собственным значением для f, отвечающим некоторому (не обязательно единственному) собственному подпространству в L.

Доказательство, а) Согласно п. 8 § 4 матрица оператора / в другом базисе имеет вид В-АВ. Поэтому, пользуясь мультипликативностью определителя, находим

det (/£ - В-ЛВ) = det (В (tE -А)В) =

= (det В)-1 det (tE - Л) det В = det (tE - А).

Заметим, что Р(/) = / -Тг/-/ --f ... -f (-l) det/ (обозначения из п. 9 § 4).

б) Пусть Х^Ж - корень P{t). Тогда отображение X-id -/ представлено вырожденной матрицей и, значит, имеет нетривиальное ядро. Пусть 1ф0 - элемент из ядра; тогда f(l) = Xl, так что к есть собственное значение для /, а / - соответствующий собственный вектор. Наоборот, если /(/)= kl, то I лежит в ядре k-M - f, так что det(,\-id -/)= Р(Л) = 0.

7. Теперь мы видим, что оператор / вообще не имеет собственных значений и тем более не диагонализируем, если его характеристический многочлен P(t) не имеет корней в поле Ж. Это вполне может случиться над алгебраически не замкнутыми полями такими, как R и конечные поля. Например, пусть Л = (° - матрица с вещественными элементами. Тогда

det {tE - Л) = /2 - (а -f d)/ -f (ad - be),

ll если (a-l-d) - 4(ad - bc) = {a - rf)2-f 46c<0, то A недиаго-нализируема.

Таким образом, мы впервые столкнулись здесь со случаем, когда свойства линейных отображений существенно зависят от свойств поля.

Чтобы не принимать последние во внимание как можно дольше, в следующем параграфе до п. 9 мы будем предполагать, что поле Ж является алгебраически замкнутым. Читатель, не знакомый с другими алгебраически замкнутыми полями, кроме С, можег всюду считать, что Ж = С. Алгебраическая замкнутость Ж равносильна любому из двух условий: а) любой многочлен от одной переменной P(t) с коэффициентами в Ж имеет корень к^Ж; б) лю-

п

бой такой многочлен P{t) может быть предотавлен в виде аШ -

=1

- A ), где а, к1Ж; кгфк, при 1ф\; это представление однозначно, если Р(/)0. В этом случае число о называется кратностью корня ki многочлена Р(/). Множество всех корней характе-

ристического многочлена называется спектром оператора f. Если все кратности равны 1, говорят, что f имеет простой спектр.

Если поле Ж алгебраически замкнуто, то согласно теореме п. 6 любой линейный оператор f: L-L имеет собственное подпространство. Однако он все равно может оказаться недиагонализируемым, ибо сумма всех собственных подпространств может оказаться меньше L, тогда как у диагонализируемого оператора она всегда равна L. Прежде чем переходить к общему случаю, разберемся с комплексными 2 X 2-матрицами.

8. Пример. Пусть L -двумерное комплексное пространство с базисом, оператор f: L-L представлен в этом базисе матрицей

с d ) Р^теристический многочлен для / равен t-{a-{-d)t-\-

+ (ad - bc), его корни суть Я,.2 = - - ± д/-- + Рассмотрим отдельно следующие случаи:

а) kiK2- Пусть - собственный вектор для К\, вг -для Хг. Они линейно независимы, потому что если ai -f- Ьег = О, то

f (ое, + Ье) = а?1,6, -f 6X22 == О,

откуда Я (aei + Ьег) - (aXiei + 6X262) = (Xi - Xj) e2 = О, т. е. О и аналогично а = 0. Следовательно, в базисе {еьег} матрица f диагональна.

б) Xi = Х2 = X. Здесь оператор / диагонализируем, только если он умножает на X все векторы из L: это значит, что (crf)(o°) т. е. a = d = X, b = c==0. Если же эти условия не выполнены, а выполнено только более слабое условие (а - d) + 4bc = О, гарантирующее, что Xi = Х2, то у оператора f может быть, с точностью до пропорциональности, только один собственный вектор и / заведомо не диагонализируем.

Пример такой матрицы: ( q Эта матрица называется жор-

дановой клеткой размера 2X2 {или ранга 2).

В § 9 мы покажем, что именно такие матрицы образуют строительные блоки для нормальной формы общего линейного оператора над алгебраически замкнутым полем. Дадим общее определение:

9. Определение, а) Жардановой клеткой /г(Х) размера гХг с собственным значением X называется матрица вида

рК I О ... О' OA, 1 ... О

/ЛЯ):

\0 О О ... Я.

б) Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из диагональных блоков Jr. (ki) и нулей вне этих блоков:

в) Жордановым базисом для оператора f: L--L называется такой базис пространства L, в котором матрица оператора f является жордановой, или, как говорят, имеет жорданову нормальную форму.

г) Приведением квадратной матрицы А к жордановой нормальной форме называется решение уравнения в матрицах вида Х-АХ = J, где X - {неизвестная) невырожденная матрица, а J - {неизвестная) жорданова матрица.

10. Пример. Пусть Ln{k) - линейное пространство комплексных функций вида ef{x), где ХеС, f{x) пробегает многочлены степени rt - 1. Поскольку {ef {х)) = е^ {kf (x)-f f (л;)), дифференцирование -J- является линейным оператором на этом про-

С1Х

странстве. Положим Ct+i - ~рс (напомним, что О! = 1), i = О, ... п - 1. Очевидно,

/Л 1 о ... 0\

о л 1 ... о

(первое слагаемое отсутствует при j = 0). Следовательно, (1.....en) = {ei, .... вп)

\ .... Л/

Таким образом, функции ( тре^) образуют жорданов базис для

оператора -j- в нашем пространстве.

Этот пример показывает особую роль жордановых матриц в теории линейных дифференциальных уравнений (см. упражнения 1-3 к §9).

11. Кроме уже рассмотренных геометрических соображений для нужд следующего параграфа нам понадобятся алгебраические сведения о полиномиальных функциях от оператора. Пусть /: L-L - фиксированный оператор.

п

а) Для любого многочлена Yjait = Q{f) С коэффициентами

п

из ПОЛЯ ж выражение JaJ имеет смысл в кольце S{L,L) эндо-

морфизмов пространства L; мы будем обозначать его Q{f).

б) Будем говорить, что многочлен Q{t) аннулирует оператор /, если Q{f) = 0. Ненулевые многочлены, аннулирующие /, существуют всегда, если L конечномерно. 3 самом деле, если dim L = n,

то A\mS {L,L) = п и операторы id, /.....линейно зависимы

над Ж. Это рассуждение показывает, что имеется аннулирующий / многочлен степени п^. На самом деле теорема Гамильтона - Кэли, которую мы докажем ниже, устанавливает существование аннулирующего многочлена степени п.

в) Рассмотрим многочлен M(t) со старшим коэффициентом единица, аннулирующий / и имею[ций наименьшую возможную степень. Он называется минимальным многочленом оператора /. Очевидно, он определен однозначно: если Mi(i), Л12(/)-два таких многочлена, то Mi(t)-M2{t) аннулирует / и имеет строго меньшую степень, так что Mi{t)-M2(/) = 0.

г) Покажем, что любой многочлен, аннулирующий /, делится на минимальный многочлен /. Действительно, пусть Q(/)==0. Разделим Q с остатком на М: Q{t) = X{t)M{t) +R{t), degR(t)< <degM(t). Тогда R(f) = Q{f)~X{f)M(f) = 0, так что R==0.

12. Теорема Гамильтона - Кэли. Характеристический многочлен P(t) оператора f аннулирует этот оператор.

Доказательство. Мы будем пользоваться этой теоремой и докажем ее только для случая алгебраически замкнутого поля Ж, хотя она верна и без этого ограничения.

Проведем индукцию по dimL. Если L одномерно, то f есть умножение на скаляр X, Р (/) = / - X и P{f) - 0.

Пусть dimL = n2 и теорема доказана для пространств размерности п-1. Выберем собственное значение X оператора / и одномерное собственное подпространство Li с: L, отвечающее X. Пусть (ei} - базис Li, дополним его до базиса {ci.....en} пространства L. Матрица оператора / в этом базисе имеет вид

Я* ... *

Поэтому Р(/) = (/ -X)det(/£ -Л). Оператор / определяет линейное отображение f: L/Li-*-L/Lu f(/-f Li) = /(/) +Li. Векторы ei = ei-\- L/Li, t2, образуют 6a3HC L/Li, и матрица оператора f в этом базисе равна А. Поэтому P(t) = det{tE - Л) есть характеристический многочлен оператора f, и по индуктивному предположению P(f)=0. Значит, P{f)lLi для любого вектора I е L. Следовательно,

P{f)l = {f-X)P{f)l = 0,

ибо f -X переводит в нуль любой вектор из Lj. Это завершает доказательство.

13. Примеры, а) Пусть / = idt, dim L = n. Тогда характеристический многочлен f равен (/-1) , а минимальный многочлен равен / - 1, так что они не совпадают при п > 1.

б) Пусть / представлен жордановой клеткой /,(Х). Характеристический многочлен оператора f равен (/ - X). Чтобы вычислить минимальный многочлен, заметим, что /г(Х) = Х£г + /г(0).

(о о ... I о ... О' 0 0 0 1...о о о...о 0...0.

где единицы стоят на к-и диагонали выше главной; /г(0)* = 0 при 60

к г. с другой стороны,

{JAX)--kErf = IriOf

при -1, а поскольку минимальный многочлен - дели-

тель характеристического, это доказывает, что они совпадают.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть f: L - диагонализируемый оператор с простым спектром.

а) Доказать, что любой оператор g: L-*-L такой, что gf = fg, может быть представлен в виде многочлена от /.

б) Доказать, что размерность пространства таких операторов g равна dim L. Верны ли эти утверждения, если спектр оператора / не прост?

2. Пусть f,g: L-L-линейные операторы в пространстве размерности п над полем нулевой характеристики. Предположим, что f = О, dim Кег f = 1, g/ - fg=f. Доказать, что собственные значения g имеют вид а, а- 1, а - 2, ...

а - (n-l) для некоторого а^Ж.

§ 9. Жорданова нормальная форма

Основная цель этого параграфа -доказательство следующей теоремы о существовании и единственности жордановой нормальной формы для матриц и линейных операторов.

1. Теорема. Пусгь Ж - алгебраически замкнутое поле, L -конечномерное линейное пространство над Ж, f: L-L - линейный оператор. Тогда:

а) Для оператора f существует жорданов базис, т. е. его матрица А в некотором базисе может быть приведена заменой базиса X к жордановой форме: Х-АХ = J.

б) Матрица J определена однозначно с точностью до перестановки входящих в нее жордановых клеток.

2. Доказательство теоремы разбивается на ряд промежуточных

п

шагов. Мы начнем с конструкции прямого разложения L = ®Lj,

где Li - инвариантные подпространства для f, которые впоследствии будут отвечать набору жордановых клеток для f с одним и тем же числом К на диагонали. Чтобы инвариантно охарактеризовать эти подпространства, вспомним, что (Л (X) - XL,) = 0. Оператор, некоторая степень которого равна нулю, принято называть нильпотентным. Итак, на подпространстве, отвечающем клетке /г(Х), оператор / - X нильпотентен; то же верно для его ограничения на сумму подпространств с фиксированным X. Это мотивирует следующее определение.

3. Определение. Вектор lL называется корневым вектором оператора f, отвечающим К^Ж, если существует такое г, что (/ - к)1 = О (здесь / - к обозначает оператор f - кid).

Очевидно, все собственные векторы корневые.

4. Предложение. Обозначим через L(k) множество корневых векторов оператора f в L, отвечающих к. Тогда L{k) - линейное подпространство в L и Е{к)фЩ тогда и только тогда, когда к - собственное значение для /.

Доказательство. Допустим, (/- = (f - Я)/2 = 0. Полагая r = max(/-, гг), находим (/- X)(Zi-j-/2) = О и if - КУ(ali)=0. Следовательно, L(X) является линейным подпространством.

Если Л - собственное значение для /, то имеется собственный вектор, отвечающий Я, так что Ь{Х)Ф{0}. Наоборот, пусть /eL(X), 1фО. Выберем наименьшее значение г, для которого {/ --К)П = 0. Очевидно, г 1. Вектор Г = (/ - Х)-Н является собственным для f с собственным значением X: 1фО по выбору гй (f -Я)Г = 0, откуда ДГ) = Я/.

5. Предложение. L= ®L{Xi), где Xi пробегает все собственные значения оператора f, т. е. различные корни характеристического многочлена f.

Доказательство. Пусть Р(/) = П(/ -Х^)- характеристический многочлен f,Xi=Xi при i=j. Положим Fi{t) = :p{f){f - XiTi, fi = Piif). L,= Imf.-. Проверим следующую серию утверждений.

а) (f-X,fLi={0},T. е. L, с= L(Я,). Действительно,(f - Х,)-f,= = {f - XiYFi(f) = P(f) = 0 по теореме Гамильтона - Кэли.

б) L = Li+ ... -fLs. Действительно, так как многочлены Fi{t) в совокупности взаимно простые, существуют такие многочлены

Xi{t), что YFt{t)Xiit)=l. Поэтому, подставляя вместо t оператор /, имеем

iPiinXi (n = id. Применяя это тождество к любому вектору / s L, находим

/*№(/) Оetl,.

в) L = Li Ф ... Ф Ls. Действительно, выберем 1 i s и

проверим, что L,n Г Z Пусть / - вектор из этого пе-

ifi )

ресечения. Тогда

(/ Xj)W = 0, ибо lLi, Fiiht-П {f-X,Yll = 0, ибо Е Li.

Так как (/ - XlY и Fi (t) - взаимно простые многочлены, существуют такие многочлены X{t) и Y(i), что X{t){t ~xp[ -\-Y {t)yi y.Fi{t)-\. Подставляя сюда / вместо / и применяя полученное операторное тождество к I, находим (0)-f- (0)= / = 0.

г) Li = L{Xi). В самом деле, мы уже проверили, что LiCzL{Xi). Для доказательства обратного включения выберем вектор /е

HKi) и прелотавим его в виде l = l-\-l , Г Li, Г'е ф

Существует такое число г', что (/ - KiYl = О, поскольку Г = I - - lL\ki). Кроме того, Fi{f)l = Q. Написав тождество -Яг) + У(/)£,(0= 1,подставив в него / вместо/ и применив к I , получим / = О, так что 1 = 1 Li.

6. Следствие. Если оператор f имеет простой спектр, то он диагонализируем.

Доказательство. В самом деле, число разных собственных значений / тогда равно = deg Я(/) = dim L. Поэтому в раз-

п

ложении L = L{Ki) все пространства одномерны, а так

как каждое из них содержит собственный вектор, в базисе из этих векторов матрица оператора / становится диагональной.

Теперь мы фиксируем одно собственное значение К и докажем, что ограничение / на L(X) обладает жордановым базисом, отвечающим этому К. Чтобы не вводить новых обозначений, мы будем до конца п. 7 считать, что f имеет единственное собственное значение К и L = L{k). Более того, мы можем считать даже, что Я, = О, потому что любой жорданов базис для оператора / является одновременно жордановым базисом для оператора f-{-\Ji, где \л - любая константа. Тогда оператор / нильпотентен по теореме Гамильтона - Кэли: P{t) = t , / = 0, и мы докажем следующий факт:

7. Предложение. Нильпотентный оператор f на конечномерном пространстве L имеет жорданов базис; матрица оператора f в этом базисе является объединением клеток вида /г(0).

Доказательство. Если у нас уже есть жорданов базис в пространстве L, удобно поставить ему в соответствие диаграмму

I I I

I I I

*

D, подобную изображенной здесь. В этой диаграмме точки изображают элементы базиса, а стрелки описывают действие / (в общем случае действие / - К). Элементы нижней строки оператор / переводит в нуль, т. е. в ней стоят собственные векторы оператора /, входящие в базис. Каждый столбец, таким образом, изображает базис инвариантного подпространства, Отвечающего одной жордановой клетке, размер которой равен высоте этого столбца (числу точек в нем): если

/ Ы = е„ 1, f (eft i) = eft 2, ..., / (е,) = О,

/(е .... e) = iei, .... е^)

40 О О ... о/

Наоборот, если мы найдем в L базис, элементы которого / переводит в другие его элементы или в нуль так, что элементы этого базиса вместе с действием / можно изобразить подобной диаграммой, то он будет жордановым базисом для L.

Проведем доказательство существования индукцией по размерности L. Если dimL=l, то нильпотентный оператор / является нулевым, и любой ненулевой вектор в /. образует его жорданов базис. Пусть теперь dimL==n>l, и пусть для размерностей, меньщ,их п, существование жорданова баинса уже доказано. Обозначим через Lci L подпространство собственных векторов для /, т. е. Kerf. Так как dim Lo > О, имеем di]nL/Lo<;n, а оператор /: L-L индуцирует оператор f: L/Lo-L/Lq: f(/-f Lo) =/(/)-f Lq. (Корректность определения оператора f и его линейность проверяются немедленно.)

По индуктивному предположению / имеет жорданов базис. Мы можем считать его непустым: иначе L = Lo, и любой базис Lo будет жордановым для /. Построим диаграмму D для элементов жорданова базиса оператора f, в каяадом ее столбце возьмем самый верхний вектор ei, i=\, ...,.т, и положим ё/ = е,-f-Lo, Ci е L. Теперь построим диаграмму D из векторов пространства L следующим образом. Для / = 1, т столбец с номером i диаграммы D будет состоять (сверху вниз) из векторов е,-, f(e,), ... ...,/ (е,), f4ei),rm-hi - высота t-ro столбца в диаграмме D. Так как f (e,) = 0, то f(ej)GLo и (е,) = 0. Выберем базис

линейной оболочки векторов f (i), , t (О в Lo, дополним его до базиса Lo и поставим дополняющие векторы в качестве дополнительных столбцов (высоты единица) в нижней строке диаграммы D; f переводит их в нуль.

Таким образом, диаграмма D из векторов пространства L вместе с дейстрием оператора f на ее элементы имеет в точности такой вид, как требуется для жорданова базиса. Нужно только проверить, что элементы D действительно образуют базис L.

Сначала покажем, что линейная оболочка векторов из D равна

L. Пусть ZeL, 7=Z-fLo. По предположению /=Х Z (ei). Так как Lo /-инвариантно, отсюда следует, что

m .-1

/-S Ea,/(e,-)eLo.

Но все векторы /(О. У Л -1. лежат в строках диаграммы D, начиная со второй снизу, а подпространство Lq порождено элемен-

/О 1 о... 0\ 0 0 1 ... о