11. Классические алгебры Ли. (Матричной) алгеброй Ли называется любая аддитивная подгруппа квадратных матриц Мп(Ж), замкнутая относительно операции коммутирования [Л,Б] = = АВ - ВА. (Общее определение см. в упражнении 14.) Следующие множества матриц составляют классические алгебры Ли; обычно они даже образуют линейные пространства над Ж (иногда над R, хотя Ж -С). Они не являются группами по умножению!

а) Алгебра ц1{п,Ж). Она состоит из всех матриц Мп(Ж)

б) Алгебра sl(n, Ж). Она состоит из всех матриц Мп(Ж) со следом нуль (иногда говорят бесследных ). Замкнутость относительно коммутатора следует из формулы Тг[Л,Б]=0, доказанной в п. 9. Заметим, что Тг является линейной функцией на пространствах квадратных матриц и линейных операторов, так что вЦп,Ж) является линейным пространством над Ж.

в) Алгебра о(п. Ж). Она состоит из всех матриц в М„{Ж), удовлетворяющих условию Л4-Л' = 0. Равносильное условие: А ={aik), где а = О (если характеристика Ж отлична от двух), О/А; = -Од.,-. Такие матрицы называются антисимметричными, илн кососимметричными. Заметим, что ТгЛ == О для всех Л о(п,Ж).

Если Л' = -Л, В' = -В, то [А,ВУ = [В',АЦ = [-В, -А] = = -[Л, В], так что [А, В] кососимметрична. Такие матрицы образуют линейное пространство над Ж.

Попутно заметим, что матрица Л называется симметричной, если Л' = Л. Множество таких матриц не замкнуто относительно коммутирования, но замкнуто относительно антикоммутирования

АВ + ВА или операции Йордана (АВ + ВА).

г) Алгебра u(n). Она состоит из комплексных матриц размера пХ , удовлетворяющих условию А-\-А' = 0, или а1к~--аы. В частности, на диагонали у них стоят чисто мнимые элементы. Такие матрицы называются эрмитово антисимметричными, или антиэрмитовыми, или косоэрмитовыми. Они образуют линейное пространство над Н, но не над С.

Если А*== - А, В* = -В, то

[Л. В] = [В', Л'1 = [- В. - Л] = - [Л. в],

так что u(n) является алгеброй Ли.

Попутно заметим, что матрица Л назьшается эрмитово симметричной, или просто эрмитовой, если Л == Л', т. е. а^ = uik. Очевидно, вещественные эрмитовы матрицы симметричны, а антиэрмитовы - антисимметричны. В частности,

о(п, R) = u(n)nsl(rt, R).

Матрица Л эрмитова, если матрица iA антиэрмитова, и наоборот.

д) Алгебра su(n) Это есть и(п)П sl(n. С)-алгебра бесследных антиэрмитовых матриц. Они образуют R-линейное пространство.

Во второй части книги, изучая линейные пространства, снабженные евклидовыми илн эрмитовыми метриками, мы выясним геометрический смысл операторов, которые представлены матрицами из описанных классов, а также пополним наши списки.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сформулировать точно и доказать утверждение о том, что матрицы над полем, разбитые на блоки, можно умножать поблочно, если размеры и количество блоков согласованы:

когда число столбцов в блоке Atj равно числу строк в блоке В/к и число блочных столбцов матрицы А равно числу блочных строк матрицы В.

2. Ввести понятие бесконечной матрицы (с бесконечным числом строк и/или столбцов). Найти условия, когда можно перемножать две такие матрицы над полем (примеры: финитные матрицы, т. е. матрицы только с конечным числом ненулевых элементов; матрицы, у которых в каждом столбце и/пли каждой строке конечно число ненулевых элементов). Найти условия существован-ия тройных произведений.

3. Доказать, что уравнение XY - YX = Е неразрешимо в конечных квадратных матрицах X, Y над полем нулевой характеристики. (Указание. Рассмотреть след обеих частей.) Найти решение этого уравнения в бесконечных матрицах. (Указание. Рассмотреть линейные операторы d/dx и умножения на х на про-

странстве всех многочленов от х и воспользоваться тем, что Ш) - dx

= {.)

4. Описать явно классические группы и классические алгебры Ли в случаях п = 1 и и = 2. Построить изоморфизм групп U(l) и S0(2, R).

5. Следующие матрицы над С называются матрицами Паули:

ао=(;°). cr,= (°J). сг.= (°-), аз=( ;).

(Их ввел известный физик В. Паули, один из создателей квантовой механики, в своей теории спииа электрона.) Проверить их свойства:

а) [Оа.Оь] = 21гаьсОс, где {а,Ь,с} -{1,2,3} и Еаьс - знак перестановки 1 2 3>

/1234 \ а b с)-

б) OaOb + ОьОа - 2боЮо (боб - СИМВОЛ Кроиексра).

в) Матрицы ia 102, 103 над R образуют базис su(2); над С -базис si (2); матрицы Оо, Шь id, iOi над R образуют базис и (2), над С -базис gl(2).

6. Следующие матрицы над С порядка 4 называются матрицами Дирака (здесь Оо -матрицы Паули):

(ov:). v,=( °/;), v.=( :.:)

(их ввел известный физик П. А. М. Дирак, один из создателей квантовой механики, в своей теории релятивистского электрона со спином). Пользуясь результатами упражнений 5 и 1, проверить их свойства:

а) YoYb 4- Уь\а = 2gabEt, где gat = 0 при аф Ь, gm = 1, gn = 22 ,= g33 = -1.

/О ао\

б) По определению, Vs = YiYaYaYo- Проверить, что Ys = - qJ-

в) VoYi = -Y5Yo ДЛЯ й = 0. 1, 2, 3; Y5 = 4-

7. Проверить следующую таблицу размерностей классических алгебр Ли (как линейных пространств над соответствующими полями):

8. Пусть Л -квадратная матрица порядка п, е - вещественная переменная, е 0. Показать, что матрица U = Е + еА унитарна с точностью до е*> тогда и только тогда, когда А аитиэрмитова:

ии* = Е + 0 {е ) Л + л' = 0.

Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для других пар классических групп и алгебр Ли.

9. Пусть и = Е + еЛ, V = Е + еВ, где е 0. Проверить, что

UVU-W=E + elA, В] + 0{е^)

(выражение слева называется групповым коммутатором элементов U, V).

10. Ранг гкЛ матрицы над полем - это максимальное число ее линейно независимых столбцов. Доказать, что гк Л/ = dim Ini f.

Доказать, что квадратная матрица ранга 1 представляется в виде произведения столбца на строку.

И. Пусть Л, В - матрицы над полем размеров m X и. 1 X i и пусть зафиксированы нумерации всех тп элементов Л и всех tnitii элементов fi (на-при.мер, последовательно по строкам). Тензорное произведение, или произведение Кронекера, Л ® fi - это матрица размера тп X с элементом aitbim на месте аР, где а - номер Од, р - номер Ьш. Проверить следующие утверждения:

а) Л ® fi линейно по каждому из аргументов, когда другой фиксирован.

б) Если т = п, 1Щ = /? то det (Л ® fi) = (det Л) (det fi) -

12. Сколько нужно операций, чтобы перемножить две большие матрицы? В следующей серии утверждений излагается метод Штрассена, позволяющий значительно сократить их число, если матрицы действительно большие.

a) Умножение двух матриц порядка обычным методом требует Л^ умножений и N{N - 1) сложений.

б) Имеет место следующая формула умножения при N = 2, обходящаяся 7 умножениями (вместо 8) за счет 18 сложений (вместо 4), коммутативность элементов не предполагается:

f(a + d){A+D) - {b + d)(C+D) - d{A-C)-(a-b) D,(a-b) D-a(D-B)-\ ~y(d-c)A-d (Л-С), {a + d)(A + D) - (a + c) (A + B)-a(D-B)-(d-c)a)-

b) Применяя этот метод к матрицам порядка 2 , разбитым на четыре 2 - X 2 ~-блока, показать, что их можно перемножить, применив 7 умножений и 6(7 -4 ) сложений.

г) Дополнив матрицы порядка Л' до ближайшего порядка 2 нулями, показать, что для их умножения достаточно О {N°e) = 0(Л?2-*) операций. Не удастся ли вам придумать что-нибудь лучшее?

13. Пусть L = M (X) - пространство квадратных матриц порядка п. Доказать, что для любого функционала / е Z,* существует единственная матрица А е М„<Ж) со свойством

МХ) = Тг (АХ)

для всех ХеМп(Ж). Вывести отсюда существование канонического изоморфизма

(L. L) -> 15 (L, DY

для любого конечномерного пространства L.

14. Л^-алгеброй Ли называется линейное пространство L над X вместе с бинарной операцией (коммутатор): L L-t- L, обозначаемой [ , ] и удовлетворяющей условиям:

а) коммутатор [1, т] линеен по каждому из аргументов /, m е L при фиксированном другом аргументе;

б) [I, т] = -[т, [\ при всех /, т;

в) U\, IkM] + Us, Ui, k]] + [h, [k li]] = 0 (тождество Якоби) при всех

Проверить, что описанные в п. 11 классические алгебры Ли являются алгебрами Ли в смысле этого определения.

Более общо, проверить, что коммутатор [X, Y] = ХУ - YX в любом ассоциативном кольце удовлетворяет тождеству Якоби.

§ 5. Подпространства и прямые суммы

1. В этом параграфе мы изучим некоторые геометрические свойства взаимного расположения подпространств конечномерного пространства L. Поясним первую задачу на простейшем примере. Пусть Li, L\c±L - два подпространства. Естественно считать, что они одинаково расположены внутри L, если существует такой линейный автоморфизм /: L-L, который переводит Z,i в Lf. Для этого, конечно, необходимо, чтобы dim L\ dim Lu потому что / сохраняет все линейные соотношения и, значит, переводит базис Z-i в базис L\. Но этого и достаточно. В самом деле, выберем базисы {е .... в L, и {е\, .... е'} в1[. По теореме п. 12

§ 2 их можно дополнить до базисов {е\, ... , вт, вт+Ь вп) и

{g\, е', е^..,.....е^} пространства L. По предложению п. 3

§ 3 существует линейное отображение /: LL, переводящее е,-в е'. для всех i. Это отображение обратимо и переводит L, в L[.

Таким образом, все линейные подпространства одинаковой размерности одинаково расположены внутри L.

Дальше естественно рассмотреть возможные расположения (упорядоченных) пар подпространств Lu L2 а L. Как выше, будем говорить, что napbi(L L) и [L\, Ц) одинаково расположены, если существует такой линейный автоморфизм /: L->-L, что f [L = L[ fLL. Снова равенства dimL, = dimL и dimL2 = dimL2 являются необходимыми для одинаковой расположенности. Однако, вообще говоря, этих условий уже недостаточно. Действительно, если (Li, Z-2) и (Li, /-2) одинаково расположены, то / переводит подпространство L, f) Z-2 в Z,i П L2, и потому необходимо также условие dim (Li П Li) = dim (Z-r П г)- Если dim Li и dim L2 фиксированы, но Z-1 и Z.2 в остальном произвольны, то dim(Z,in2) может принимать, вообще говоря, целый ряд значений.

Чтобы выяснить, какими они могут быть, введем понятие суммы линейных подпространств.

2. Определение. Пусть Li, Ln<- L - линейные подпространства в L. Их суммой называется множество

t L, + ...+/. = 11 /i Mi е Li I.

Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы Li + + £п состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержаиее все Ц.

Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:

3. Теорема. Если L\, LczL конечномерны, то L1OL2 и Ь\-\-Ц конечномерны и

dim (Ll П Е2) + dim (Lj + £2) = clim + dim L-

Доказательство. Li-f-L2 является линейной оболочкой объединения базисов Li и L2 и потому конечномерно; Ц П L2 содержится в конечномерных пространствах Lx и L-

Положим т = dim L\ П Z-2, n = dim L\, p = dim Li- Выберем базис {e\, вт} пространства LxLt- По теореме п. 12 § 2 его можно дополнить до базисов пространств Lx и L2. пусть это будет

К. т' .<} т. т-НР q- НаЗОВеМ

такую пару базисов в Li и L2 согласованной.

Мы докажем сейчас, что семейство \е^, е^, е^,.....е',

е^ составляет базис пространства Li-\-L2. Отсюда бу-

дет следовать утверждение теоремы:

dim (Ll -- Lj) = р + п -- m = dim Lx + dim - dim Lx П £2-

Поскольку каждый вектор из Lx + L2 есть сумма векторов из Z-1 и Z-2. т. е. сумма линейных комбинаций {е,.....е^, ...

-п} {1> т m+i> > р}> объединение этих семейств порождает 2-1 -- Li. Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.

Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость

т п р

i-l l-m+l k-m+\

Тогда обязательно должны существовать индексы / и k, для которых tji Ф q vl гкф 0: иначе мы получили бы нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L\ или Li.

Следовательно, ненулевой вектор Z 2 должен ле-

ft=m+l

/ т п \

жать также в Z-i, либо он равен--( Z + S ч/А- Значит,

лежит в Z-1П 2 и потому представим в виде линейной комбинации векторов {ех, Ст), составляющих базис L\[\L2. Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между векторами \е^, .... е^, е^+р .... е , что противоречит их определению. Теорема доказана.

4. Следствие. Пусть щ П2п - размерности пространств L\, L2 и L соответственно. Тогда числа i = dimLin2 и s == = dim (Li + 2) могут принимать любые значения, подчиненные

условиям о i Hi, П2 S П и i -\- S = П\ -\- П2.

Доказательство. Необходимость условий следует из включений Li[\L2<zi L\, L2cz Li + Ljc: L и из теоремы п. 3. Для доказательства достаточности выберем s = ni + 2 - i линейно независимых векторов в L: {е .... ег, е^,.....е'-, ej .... eJ и

обозначим через Li, L2 линейные оболочки {е ... е^\ е^ .... eJ и (е ер, е'1, .... eJ соответственно. Как в теореме, нетрудно проверить, что L\{]L2 есть линейная оболочка {е\, е,}.

5. Теперь мы можем установить, что инварианты ni=dimLi, П2 = dim L2 и / = dimLi f) 2 полностью характеризуют расположение пары подпространств {L\, L2) в L. Для доказательства возьмем другую пару (Lu L2) с теми же инвариантами, построим согласованные пары базисов для L\, L2 и L\, L2, затем их объединения - базисы Li + L2 и Li -f- Z-2, как в доказательстве теоремы п. 3, наконец, продолжим эти объединения до двух базисов L. Линейный автоморфизм, переводящий первый базис во второй, устанавливает одинаковость расположения Li, L2H Lu L2.

6. Общее положение. В обозначениях предыдущего пункта будем говорить, что подпространства Li, L2CZ L находятся в общем положении, если их пересечение имеет' наименьшую, а сумма - наибольшую размерность, допускаемую неравенствами из следствия п. 4.

Например, две плоскости в трехмерном пространстве находятся в общем положении, если они пересекаются по прямой, а в четырехмерном пространстве, - если они пересекаются по точке.

Другой термин для того же понятия: Z-i и Z,2 пересекаются трансверсально.

Название общее положение обусловлено тем, что в некотором смысле большинство пар подпространств (Li, L2) находится в общем положении, а другие расположения являются вырожденными. Уточнить это утверждение можно разными способами. Один из них состоит в том, чтобы описать множество пар подпространств некоторыми параметрами и проверить, что пара не находится в общем положении, только если эти параметры удовлетворяют дополнительным соотношениям, которым общие параметры пе удовлетворяют.

Другой способ, который годится для = R и С, состоит в следующем: выбрать в L некоторый базис, определить L\ и L2 двумя системами линейных уравнений и показать, что можно как угодно мало изменить коэффициенты этих уравнений ( пошевелить Li и Z,2 ) так, чтобы новая пара оказалась в обшем по.яожении.

Можно было бы пытаться далее рассматривать инварианты, характеризующие взаимное расположение троек, четверок и большего числа подпространств в L. Комбинаторные трудности здесь

быстро растут, и для решения этой задачи нужна другая техника; кроме того, начиная с четверок, расположение перестает характеризоваться только дискретными инвариантами типа размерностей разных сумм и пересечений.

Заметим еще, что, как показывает наша физическая интуиция, расположение, скажем, прямой относительно плоскости характеризуется углом между ними. Но, как мы отмечали в § 1, понятие угла требует введения дополнительной структуры. В чисто линейной ситуации есть только различие между нулевым и ненулевым углом.

Теперь мы изучим один частный, но очень важный класс взаимных расположений п-ок подпространств.

7. Определение. Пространство L является прямой суммой своих подпространств Li, .... L , если каждый вектор I е L однозначно

п

представляется в виде Z h

Когда условия определения выполнены, мы пишем L =

п

= Z,i® ... @Ln, или L==©Lt. Например, если {ей Сп}-

i = l

п

базис L, а Ц = Жеь - линейная оболочка вектора ей то L = ф L.

п п

Очевидно, ecлиL = фLг, то L = Z Lc, последнее условие является более слабым.

8. Теорема. Пусть L\.....LnCZ L -подпространства в L.

п

L = @ L, тогда и только тогда, когда выполнено любое из сле-дуюи{их двух условий:

п

а) Z = и А; П ( Е = (0} для всех 1 < / < п;

п п

б) Х| Li = L и Х dim Lj = dim L {здесь предполагается, что L конечномерно).

Доказательство, а) Однозначность представления любого

п

вектора / е Z- в виде Z t> h > равносильна однозначности

такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если

п п п

Z/ =Zb ТО 0=YjUi - l) И наоборот. Если имеется нетри-,=1 1=1 1=1

п

виальное представление О = XI в котором, скажем, Ф О, то /,= - X. /П Х ij, так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует неоднозначность представления нуля.

б) Если ф Lj = L. то во всяком случае

JLi = L к dim Ц dim L,

потому что объединение базисов Z - порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к L/ и ] Lj, имеем

dim Ly П j -f dim L = dim L, + dim J Lj

Ho размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех L,- прямая, то и сумма всех Li, кроме Li, прямая, и мы можем по индукции считать, что

dim XI Li=J]AimLi. Поэтому dimL = dimL.

Наоборот, если 2 dim L, -dim L, то объединение базисов всех

Li состоит из dimL элементов и порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление

пуля о = XI /f, t> дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную цулю, что невозможно.

Рассмотрим теперь связь между разложениями в прямую сумму и специальными линейными операторами - проекторами.

9. Определение. Линейный оператор р: L-L называется проектором, если р^ = р о р = р.

п

Прямому разложению L = © Lj естественно сопоставляются п проекторов, которые определяются так: для любых е L;

Р,(,)--

Поскольку любой элемент / е L однозначно представляется в виде

п

Yji,t]Lj, отображения р,- определены корректно. Их линейность и свойство р^ = Pi проверяются прямо из определения. Очевидно, Li = Im pi.

Сверх того, если i Ф /, то р,р/ = 0: вектору /, отвечает представ-

п

ление li - YLU, где /; = 0 при i ф j, Ii - li.

Наконец, Z Pi = i- ибо ( Z Pi ) Z ) = S если I, e L/. i=i \i=i / / /=1

Наоборот, no такой системе проекторов можно определить отвечающее ей прямое разложение.

fO. Теорема. Пусть pi, рп- LL - конечное множество проекторов, удовлетворяющих условиям

п

X] Pi = id, Pip, = О при i Ф j.

Положим Li = 1т Pi- Тогда L = Li.

п

Доказательство. Применяя оператор id=Zpi к лю-

п

бому вектору ZeL, получим/= Z Рг (0. где pi{l) Ц. Поэтому

п

£=Х1£-Д-1я доказательства того, что эта сумма прямая, при-меним критерий а) из теоремы п. 8. Пусть Z е Z-y П Z В силу определения пространств Li = Im р,- существуют такие векторы 1и In, что

Применим к этому равенству оператор р./ и воспользуемся тем, что р ? = ру, pjPi = О при / =й= / Получим

Pi{li)-PiPi(li)-0.

Следовательно, I = О, что завершает доказательство.

11. Прямые дополнения. Если L - конечномерное пространство, то для любого подпространства Li<zz L можно выбрать такое подпространство L2<zzL, что L = Lx@Ll, кроме тривиальных случаев

== {0} или Li = L этот выбор неоднозначен. В самом деле, выбрав базис {ей ...,£ } в Li и продолжив его до базиса {б], ... ,. вт, ет+1, п) в L, мы можем взять в качестве L2 линейную

оболочку векторов {Cm+l, .... вп}.

12. Внешние прямые суммы. До сих пор мы исходили из семейства подпространств Li, Ln одного и того же пространства L. Пусть теперь Lu L - пространства, не вложенные заранее в общее пространство. Определим их внешнюю прямую сумму L следующим образом:

а) L как множество есгь Li X X п, т. е. элементы L суть семейства (/], / ), где ULt.

б) Сложение и умножение на скаляр производятся покоординатно:

(/i, / ) + (/ь .... 0 = (/i + /b In + Ll

аЦи ., / ) = (a/i, , al ).

Нетрудно проверить, что L удовлетворяет аксиомам линейного пространства. Отображение ft: Li-L, Д(0 = (0.....О,/, О, .... 0)

(. на t-M месте) является линейным вложением Li в L, и нз опре-делений немедленно следует, что L -(L,). Отождествив Li

с fi{Li), получим линейное пространство, в котором Li содержатся и которое разлагается в прямую сумму L,-. Это оправдывает название внешней прямой суммы. Часто удобно обозначать внешнюю

п

прямую сумму также ©L,.

п

13. прямые суммы линейных отображении. Пусть L=--@Li,

п

М =фЛ1г, f: L-f-M- такое линейное отображение, что /(L,)c= cz Mi. Обозначим через fi индуцированное линейное отображение

п

LiMi. В таком случае приняя-о писать f=©/£. Аналогично

i = l

определяется внешняя прямая сумма линейных отображений. Выбрав в L и М базисы, являющиеся объединением базисов Li и Mi соответственно, мы получаем, что матрица f является объединением стоящих по диагонали блоков, которые представляют собой матрицы отображений fi; на остальных местах стоят нули.

14. Ориентация вещественных линейных пространств. Пусть L- конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Два упорядоченных базиса (ej и {eJ в нем всегда одинаково расположены в том смысле, что имеется единственный линейный изоморфизм /: LL, переводящий в е'.. Поставим, однако, более тонкий вопрос: когда можно перевести базис {ei} в базис {ej} непрерывным движением, или деформацией, т. е. найти такое семейство ft: LL линейных изоморфизмов, непрерывно зависящее от параметра /е[0, 1], что /о = id,/, {е^ = е\ для всех i? (Непрерывно зависеть от t должны просто элементы матрицы f в каком-нибудь из базисов.) Для этого имеется очевидное необходимое условие: поскольку при изменении t определитель ft меняется непрерывно и не проходит через нуль, знак det должен совпадать со знаком det/о = 1, т. е. det > 0.

Верно и обратное утверждение: если определитель матрицы перехода от базиса {е^ к базису {е'} положителен, то {ei} можно перевести в {ei непрерывным движением.

Это утверждение, очевидно, можно сформулировать иначе: любую вещественную матрицу с положительным определителем можно соединить с единичной матрицей непрерывной кривой, состоящей из невырожденных матриц {множество вещественных невырожденных матриц с положительным определителем связно). Чтобы перейти от языка базисов к языку матриц, достаточно работать не с парой базисов {ei}, { (е,)}, а с матрицей перехода от первого ко второму.

Мы докажем это утверждение, разбив его на серию шагов.