б) при п - 2 множество [t\tkt г) задается конечной системой уравнений

Pj Д< ) = 0, где г -многочлены от координат.

Оба этих факта перестают быть верными для случая п - 3, который представляет основной интерес в теории сложности вычислений; см. ниже упражнения 4 - 9.

2. Пусть L= ф Са;/- пространство комплексных матриц размера 2X2. Доказать, что

Указание. Воспользоваться упражнением 12 к § 4 ч. 1. Это же указание относится к следующей задаче. 3. Доказать, что

ДЛЯ подходящей константы с. (Здесь L = ф Ся..; интересующий нас тен-

. /=1

зор есть tr /4 ® Л ® Л, Л = (с,/) - общая матрица N-ro порядка.)

4. Пусть -некоторая конечномерная Дг°-алгебра,/, ® Z, Z,: a®bi-> аЬ-

ж

ее закон умножения. Рассмотрим этот закон как тензор t s L* ® L* ® L. (Его координаты - структурные константы алгебры.) Вычислить rkt для случая Ж = R, L = С.

5. В обозначениях предыдущей задачи пусть L = Ж , умножение покоординатное:

(ai.....о„) (bi.....6 ) = (а,6,.....а„6 ).

Вычислить rkt.

6. Пользуясь результатами упражнений 4 и 5, убедитесь, что ранг тензора структурных констант алгебры С над R падает при расширении основного поля до С.

Указание. С ® С изоморфна как С-алгебра. R

7. Пусть L = Cei Ф Се. Доказать, что тензор

/ = ei ® ei ® ei -Ь ei О 2 ® £2 -Ь £2 ® е, ® 62

имеет ранг 3.

8. Доказать, что тензор / нз предыдущего упражнения является пределом

некоторой последовательности тензоров ранга 2. Указание.

/ -Ь еег ® 62 ® вг =4 [1 ® е, ® (-ej -f ее,) + {ei + еег) (gl {е, + eej) (Э ezl-

9. Вывести из упражнений 7 и 8, что множество тензоров ранга 2 в L® L® L не задается системой уравнений вида

р^ (<=) = 0,

где Р; - многочлены.

10. Назовем предельным рангом Ьгк(/) тенаора / такое наименьшее число s, что / можно представить в виде предела последовательности тензоров ранга S. Доказать, что для общей матрицы А порядка 3X3

Ьгк(1гЛ®Л® А)<21.

п. Чему равны

где Л -общая матрица порядка NX? (К моменту, когда пишутся эти строки, ответ не известен даже для N = 3.)

12. Пусть L -п-мерное линейное пространство над полем Ж, М < A{L) - произвольное подпространство. Предположим, что для каждого v е L, v Ф О, Существует w е. L с Q Ф v /\w е. М. Доказать, что в L можно выбрать такой базис ей .... е„, что

М + АЦ11) = АЩ), 1<1<п.

где if = ф Же

В случае поля Ж = Fp из р элементов известно весьма непростое комбинаторное доказательство этого результата (V а и g h а п - L е е М. R. - J. Algebra, 1974, 32, р. 278-285), допускающего теоретико-групповую интерпретацию.

Желательно найти более прямой подход.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксиома Дезарга 243

- Паппа 243

Аксиомы трехмерного проективного пространства 241

- проективной плоскости 242 Алгебра внешняя 192, 276, 277

- гомологическая 88

- Грассмана 192, 276

- Клиффорда 189

- Ли 34, 38

---классическая 35

--gl(n. X) 35

--о{п, X) 35

--sl(n, JSf) 35

-- su(n) 35

--и{п) 35

- над полем ассоциативная 189

- симметрическая 273, 274

- тензорная 266

Алгоритм ортогонализации Грама - Шмидта 111

Альтернатива Фредгольма конечномерная 50

Альтернирование тензора 275

Амплитуда вероятности 131

Аннулятор р-вектора 279

Антисимметризацня тензора 275

Аппроксимация 114

Базис пространства 14

-- гиперболический 186

--двойственный 24

- - жорданов 59

--ортогональный 106

-- ортонормированный 106

--симплектический 107

- тензорный 257

Базисы одинаково ориентированные 46, 177

-- пространственно ориентированные 178 Бозон 293 Буст 179

Валенгность тензора 264

Вектор грассмановых координат 282

- касательный 287

- корневой 61

- собственный 56

- состояния 130

- циклический 67

Векторы одинаково временно ориентированные 176

- ортогональные 98 Величина случайная 126

-- нормированная 126

Величины случайные независимые

Вероятность 129

Вершина выпуклого множества 214 Вес билинейной формы 114 Возмущение 152 Вычитание внешнее 194

Гамильтониан 150

- невозмущенный 152 Геометрия ортогональная 98

- симплектическая 98

- эрмитова 98 Гиперплоскость 224

- касательная 228

- полярная 227

Гиперповерхность алгебраическая 246 Гомотетия 22 Грань верхняя 20

- выпуклого множества 213 Грассманиан 281

Группа аффинная 201

- Витта 189

- движений 202

- классическая 33

- линейная полная 24, 34 -- специальная 34

- Лоренца 135, 173, 178

- ортогональная 34 -- специальная 34

- проективная 231

- Пуанкаре 202

группа симплектическая 183 - унитарная 34 -- специальная 34

Движение аффинного евклидова пространства 202

---- несобственное 204

---- собственное 204

- непрерывное 44

Двойственность тензорных произведений 260 Действие 151

- симметрической группы на тензорах 260

- транзитивное 193

- эффективное 193 Дельта-функционал Дирака 13 Дельта-функция 9 Деформация 44 Диагональ главная 27 Диаграмма 84

- коммутативная 84 Дисперсия 149

Дифференциал отображения в точке 27

- функции 289

Дифференцирование кольца 288 Длина вектора 118, 129

- флага 18

Дополнение ортогональное 53, 102

- прямое 43

Зависимость линейная 16 Замыкание проективное 225 Значение собственное 56 - среднее 149

Идеал 247

- градуированный 247

- двусторонний 274

- конечно порожденный 248

-, порожденный множеством 248 Излучение фотонов 152 Изометрия линейных пространств 99 Изоморфизм 23

- в категориях 83

- естественный 23

- канонический 24

- проективный 230

- функторный 87

Инвариант линейного оператора 33 Индекс оператора 50 Интервал времениподобный 172

- пространственноподобный 172

- светонодобный 172

Карта аффинная 221 298

Категория 83

- абелевых групп 83

- групп 83

- дуальная 85

- линейных пространств 83

- множеств 83

- функторов 87 Квадрат коммутативный 84 Квадрика аффинная 219

- полярная 227 Кватернионы 168 Клетка жорданова 58

- циклическая 67 Ковариация 126

Кольцо градуированное 247

Комбинация линейная 8

-- тензоров одинакового типа 268

- точек барицентрическая 198 Коммутатор 34

- в J-алгебре Ли 38

- групповой 37 Комплекс 84

- ацикличный 85

- точный 85 -- в члене 85

Комплекснфикация линейного пространства 80

- проективного пространства 229 Композиция морфнзмов 83

- функторов 87

Компонента градуированного пространства однородная 246

- группы Лоренца 178

- тензора 267 Конец стрелки 83

Конус асимптотических направлений 158

-- световой 173

Конфигурации в аффинном пространстве аффинно конгруэнтные 208

--- - метрически конгруэнтные

- проективно конгруэнтные 232 Конфигурация 208

- Дезарга 240

- координатная 208

- Паппа 240

- проективная 232 Кообраз 50

Координата тензора 267 Координаты аффинные 197

- бар ицентрнческие 199

- вектора 14

- точки однородные 220

Коразмерность подпространства 49 Косокоммутативность 276 Коэффициент корреляции 126

- Фурье 115 Коядро 50

Критерий Сильвестра 113

- цикличности пространства 67

Круг 71

Лемма о змее 91 - Цорна 20

Линия мировая инерциального наблюдателя 172 Логарифм оператора 76

Матрица 27, 267

- антисимметричная 35

- антиэрмнтова 35 - блочная 28

- Грама 96

--положительно определенная 113

- диагональная 27

- Дирака 36

- единичная 28

- жорданова 58

- квадратная 27

- композиции линейных отображений 30

- контраградиентная 268

- кососимметричная 35

- косоэрмитова 35

- линейного оператора 29 --отображения 29

- ортогональная 34, 134, 135

- Паули 36, 164

- перехода 32

- псевдоортогональная 135

- псевдоунитарная 135

- симметричная 35

- скалярная 28

- транспонированная 28

- треугольная верхняя 27, 28 ---нижняя 28

- унитарная 34, 135

- эрмитова 35

- эрмитово антисимметричная 35 ---симметричная 35

- сопряженная 34 Медиана системы точек 212 Метод наименьших квадратов 121

- Штрассена 37 Метрика 69, 96

- дискретная 69

- естественная 69

- кэлерова 244 Многогранник 213 Многообразие алгебраическое 246

- Грассмана 281, 283 Многочлен, аннулирующий оператор

- Гильберта 252

- Лежандра 116, 143

- минимальный 60

- однородный 245

Многочлен тригонометрический 114

- Фурье 114, 115, 143

- характеристический 56

- Чебышева 117. 145

- Эрмита 117, 144 Множество выпуклое 71

- измеримое 122

- линейно упорядоченное 19

- частично упорядоченное 19 Множитель Лоренца 176

- фазовый 130 Модуль 248

- градуированный 248

- конечно порожденный 249

- нётеров 249

Монотонность размерности 18 Морфизм категории 83

- нулевой 84

- функторный 87

Наблюдаемая 148

- импульса 150

- координаты 150

- проекции спина 150, 167

- энергии 150

- - квантового осциллятора 150 Направление 164

Направления асимптотические 157 Направленность времени 172 Начало стрелки 93 Независимость линейная 16 Неравенство Коши - Буняковского- Шварца 118, 128

- Минковского 74

- треугольника 118, 129

-- в обратную сторону 175

Норма вектора 70

- линейного оператора индуцированная 72, 146

Оболочка аффинная 206

- линейная 16

- проективная 223

Образ линейного отображения 26

- обратный 86 Образующие конуса 158

- мультипликативные 189 Объект категории 83

--инъективный 83

-- проективный 83

Объем и-мерный 122

--шарового кольца 125

Овеществление линейного пространства 77

Ожидание математическое 126 Окружность 71 Оператор Гамильтона 150

- диагонализируемый 56

Оператор пограничный 92

- линейный 21

- неотрицательный 146

- нильпотентный 61

- нормальный 145

- ортогональный 133

- рождения частиц 294

- самосопряженный 138, 139

- симметричный 139

- сопряженный 139

- унитарный 133

- уничтожения частиц 294

- числа частиц 294

- эрмитов 139

Определитель линейного оператора 33

Опускание индексов тензора 263,270 Ориентация пространства 46, 166

--Минковского 177

Оси квадратичной формы главные 156

Отклонение среднеквадратичное 149 Отношение двойное 235

- перспективное 237

- порядка 19

Отображение антилинейное 82

- аффинио линейное 195

- аффинное 195

- билинейное 51, 95

- двойственное 52

- двойственности 227

- линейное 21

- - нулевое 22

--ограниченное 72

--тождественное 22

- полилинейное 95, 254 -- универсальное 254

- полулинейное 82

- полуторалинейное 96

- симметризации 271

- сопряженное 52

- Хопфа 222 Отражение 136

- времени 180

- пространственное 180

Пара базисов двойственная 52

Параболоид гиперболический 157

- эллиптический 156

--п-мериый 158

Парадокс близнецов 176

Параллелепипед со сторонами {Л, ... .... U 123

Пары наблюдаемых канонически сопряженные 149

Пересечение подпространств транс-версальное 40

Перестановка 269

Перпендикуляр к двум подпространствам общий 210

Печка 148

План производства 212

--, оптимальный по прибыли

Плоскость гиперболическая 185

- проективная 220 Поглощение фотонов 152 Подгруппа операторов однопарамет-

рическая 75

- ортохронная 173 Подмногообразие линейное 47 Подмножество выпуклое 71

- ограниченное 70 Подпространства аффинные параллельные 205, 206

- ортогональные 98 Подпространство аффинное 205

- вещественное 230 ~ градуированное 247

- изотропное 102, 181

-, инвариантное относительно оператора 56

- линейное 10

- направляющее 205

-, натянутое на векторы 16

- невырожденное 102

-, порожденное векторами 16

- проективное 223

- собственное 56

- состояний квантовой системы 129 Подсемейство максимальное 17 Подъем индексов тензора 263, 270

- поля скаляров 86, 258 Покрытие проективного пространства

аффинное 220 Поле векторное 288

- тензорное 289

Положение общее подпространств 40 -- точек 233

- равновесия механической системы 159

Полупространство 213

Поляризация квадратичной формы 10

Последовательность Коши 70

- линейных пространств точная 54

- сходящаяся 70

- точная 85

- фундаментальная 70 Постоянная Планка 151 Правила Фейнмана 131, 132 Преобразование Кэли 146 Приведение билинейной формы к

каноническому виду 109

- квадратичной формы к каноническому виду ПО, 111, 114

- матрицы к каноническому виду 108 Принцип неопределенности Гейзенбер-

га 149

- Паули 293

- проективной двойственности 226

- суперпозиции 130, 292

Проективизация 230 Проектор 42

- самосопряженный 141 Проекция вектора ортогональная

- из центра 236 Произведение векторное 167

- внутреннее 287

- Кронекера 37

- морфизмов 83

- скалярное 96

--антисимметричное 98

--невырожденное 99

--симметричное 98

--симплектическое 98

--эрмитово 98

---симметричное 98

- тензорное 37

--линейных отображений 262

-- пространств 255

Производная по направлению 288 Пространства изометричные 99

- изоморфные 23 Пространство анизотропное 185

- аффинное 94, 193 ---евклидово 202

- банахово 70

- бесконечномерное 14

- векторное 7

- вероятностное конечное 126

- гильбертово 127

- гиперболическое 185

- главное однородное 194

-, двойственное к данному 10, 51

- евклидово 117

- касательное 288

- когомологий 91

- комплексное сопряженное 81

- конечномерное 14

- координатное одномерное 8 -- п-мерное 8

- линейное 7

- -, ассоциированное с аффинным пространством 193

--- градуированное 246

---над телом 242

-- нормированное 70

--- полное 70

- метрическое 68, 69 -- полное 70

- Минковского 158, 171

одномерное нуле-

- нульмерное 8

- ортогональное вое 101

- -- отрицательное 101

---положительное 101

- проективное 94, 220 --двойственное 226

--координатное п-мерное 220

--трехмерное вещественное 170,

Пространство рефлексивное 26

- симплектическое 181

- сопряженное 10

- спиноров 1бЗ

- унитарное 126

- физическое инерциального наблю дателя 173

- функций 8, 9

- циклическое 67 Прямая проективная 220 Пфаффиан 184

Разбиение проективного пространства клеточное 237

Разложение оператора полярное 147

-- спектральное 142

Размерность алгебраического многообразия 253

- линейного пространства 14

- проективного пространства 220 Ранг матрицы 37

- семейства векторов 16

- скалярного произведения 99

- тензора 264, 294

-- предельный 295

Расположение подпространств взаимное 40

Расстояние между множествами 119, 132

- - точками 69

- от точки до подпространства 209 Расширение группы аффинное 202 Ряд абсолютно сходящийся 70

- Пуаикаре 251

- теории возмущений 154

- Фурье 116

Свертка тензора 262, 269

--по -индексам 263

-- полная 263

Сдвиг 193

Семейство векторов линейно зависимое 16

---независимое 16

Сигнатура квадратичной формы 110

- пространства 104 Символ Кронекера 9 Симметризация тензора 271 Симплекс замкнутый 201

---вырожденный 201

- (п-1)-мерный стандартный 201 Система аффинных координат 197

- координат барицентрическая 199 --- инерциальная 173

- образующих идеала 248 -- модуля однородная 249

- уравнений нормальная 122 След линейного оператора 33

Сложение матриц 29 Сопряжение 33

- дифференциальных операторов формальное 143

Состояние вакуумное 294

- квантовой системы 130

--- базисное 131

---возбужденное 152

---вырожденное 152

--- основное 152

---стац-лонарное 151

Спаривание пространств 51 -- каноническое 51

Спектр квантовой системы энергетический 151

- оператора 58 -- простой 58

- самосопряженного оператора 161 Спуск поля скаляров 78

Среднее арифметическое 13

- взвешенное 14

- квадратичное взвешенное 114 Статистика Бозе - Эйнштейна 293

- Фермн 293 Степень внешняя 287

- вырождения 151

- многообразия 253 Столбец матрицы 27 Стрелка 83 Строка матрицы 27 Структура комплексная 78

-- каноническая 78

--сопряженная 81

Сумма линейных отображений прямая 44

- подпространств 38

-- прямая 41

---внешняя 43

Суперпозиция 130 Сфера 69

Сходимость по норме 70

Тело 242

- кватернионов 168 Температура 125 Тензор 264, 268

- антисимметричный 275

- ковариантный 264

- контравариантный 264

- кососимметричный 275

- Кронекера 268

- метрический 267, 290

- симметричный 271

- смешанный 264

- структурный 265, 26? Теорема Витта 186

- Гамильтона - Кэли 60

- Дезарга 257

- инерции 105

- о продолжении базиса 17

Теорема о продолжении отображений 88, 89

--точности функтора 89. 90

- Паппа 241, 243

- Фишера - Куранта 162

- Шаля 204

- Эйлера 137

- Якоби 114

Теория возмущений 152

- Морса 160

- относительности специальная 171 Тип тензора 264

Топология слабая 73

Точка аффинного пространства 193

- вещественная 230

- внутренняя 213

- критическая 160

- невырожденная 160

- проективного пространства 220

- центральная 216

Точность функтора тензорного умножения 264 Тройка точная 85

Углы Эйлера 170

Угол между векторами 119, 129 --прямой и аффинным подпространством 212

--прямыми 212

Умножение внешнее 275

- Матриц 30

- на скаляр 22, 29

- тензорное 265 Уравнение Шрёдингера 151 Уровень энергетический 151 Условие Гильберта 13

- Коши 13

- линейное 10

Факторпространство 48 Фермион 293 Фильтр 148

Фильтрация возрастающая 18

- убывающая 18 Флаг пространства 18

--максимальный 18

Форма 95, 245

- билинейная 108

- квадратичная 109

---положительно определенная

- нормальная жорданова 59

- объема 291

- полилинейная 95 Функтор 85

- ковариантный 85

- контравариантный 85

-, представляющий объект категории 87

- тензорного умножения 2в4

функционал линейный 10 Функция аффинно линейная 195

- квадратичная 215

- линейная 10

- полилинейная 95

Характеристика эйлерова 91

Центр 216 Цепь 19

Цилиндр параболический 157

Часть анизотропная пространства 188

- квадратичная квадратичной функции 215

- линейная аффинного отображения 195

-- квадратичной функции 215

Число заполнения 293

Шар замкнутый 69

- открытый 69 Шар rt-мерный 124

Эквивалентность норм 72 Эксперимент Штерна - Герлаха 165 Экспонента ограниченного оператора 75

Элемент максимальный 20

- наибольший 20

- однородный 246 Эллипсоид п-мерный 124 Энергия 125

Ядро линейного отображения 26

--- левое 102

--правое 102

- скалярного произведения 99

Д-модуль 248

- градуированный 248 р-вектор 279

- разложимый 279 р-форма внешняя 285, 291 0-процесс 239 1)-функция 130

1-форма дифференциальная 289

функции и квадрики

§ 6. Проективные пространства 220

§ 7. Проективная двойствеииость 226

и проективные квадрики

§ 8. Проективные группы и 230

проекции

§ 9. Конфигурации Дезарга и 239

Паппа и классическая проективная геометрия

§ 10. Кэлерова метрика 243

§11. Алгебраические 245

многообразия и многочлены Гильберта

Часть 4. Полилинейная алгебра 254 § 1. Тензорное произведение 254

линейных пространств § 2. Канонические изоморфизмы и 259

ПРЕДМЕТНЫЙ

Аксиома Дезарга 243

- Паппа 243

Аксиомы трехмерного проективного пространства 241

- проективной плоскости 242 Алгебра внешняя 192, 276, 277

- гомологическая 88

- Грассмана 192, 276

- Клиффорда 189

- Ли 34, 38

--классическая 35

--gl(n,K)35

--о(п,К) 35

--sl(n,K) 35

--su(n)35

--u(n)35

- над полем ассоциативная 189

- симметрическая 273, 274

- тензорная 266

Алгоритм ортогонализации Грама -

Шмидта 111 Альтернатива Фредгольма

конечномерная 50 Альтернирование тензора 275 Амплитуда вероятности 131

линейные отображения тензорных произведений

§ 3. Тензорная алгебра линейного 264 пространства

§ 4. Классические обозначения 266 § 5. Симметричные тензоры 271

§ 6. Кососимметричные тензоры и 275 внешняя алгебра линейного пространства

§ 7. Внешние формы 285

§ 8. Тензорные поля 287

§ 9. Тензорные произведения в 291 квантовой механике Предметный указатель 297

УКАЗАТЕЛЬ Аннулятор р-вектора 279 Антисимметриэация тензора 275 Аппроксимация 114 Базис пространства 14

--гиперболический 186

--двойственный 24

--жорданов 59

--ортогональный 106

--ортонормированный 106

--симплектический 107

- тензорный 257

Базисы одинаково ориентированные

46, 177 --пространствеиио

ориентированные 178 Бозон 293 Буст 179

Валентность тензора 264

Вектор грассмановых координат 282

- касательный 287

- корневой 61

- собственный 56

- состояния 130

- циклический 67