Кгоме того, (е,) линейно независимы: если Х'

всех k, I kn, имеем = Z J (ft) = t*-

Поэтому L w L* имеют одинаковую размерность п и даже определен изоморфизм /: L-L*, который переводит е,- в еК

Однако этот изоморфизм не каноничен: замена базиса [ви вп}, вообще говоря, меняет его. Так, если L одномерно, то для любого ненулевого вектора e\L семейство {е\} является базисом L. Пусть {е'} - двойственный базис к {е\), e{ei)= 1. Тогда к базису {ае\}, а Ж\{Щ, двойствен базис {а-е^}. Но линейные отображения fy: eit-и 2- ае\*-а-е^ различны, если только 1.

10. Канонический изоморфизм между пространством и дважды двойственным к нему. Пусть L - линейное пространство, L* - пространство линейных функций на нем, L**={L*)*-пространство линейных функций на L* - дважды двойственное к L пространство .

Опишем каноническое отображение гс LL**, не зависящее ни от каких произвольных выборов. Оно ставит в соответствие каждому вектору I е L функцию на L*, значение которой на функционале f eL* равно f{t); в краткой записи:

Проверим следующие свойства ъс-

а) Для каждого L отображение еь{1): 1*Ж линейно. Действительно, это означает, что выражение /(/) как функция от f при фиксированном I линейно по f. Но это следует из правил сложения функционалов и умножения их на скаляр (§ 1, п. 7).

Следовательно, bl действительно определяет отображение L в L**, как и утверждалось.

б) Отображение ее LL** линейно. Действительно, это означает, что выражение f{l) как функция от I при фиксированном f линейно, - это так, ибо f е L*.

в) Если L конечномерно, то отображение Bl: LL** является изоморфизмом. В самом деле, пусть {ei, ..., е„} - базис L, {е', ..., е ) - двойственный базис L, {el, ..., е'п} - базис в /.**, двойственный к {е', е }.

Покажем, что (е,) = е|-, откуда и будет следовать, что bl - изоморфизм (в этой проверке использование базиса L безобидно, ибо в определении el он не участвовал!).

В самом деле, ei,(e,) согласно определению есть функционал на L*, значение которого на е* равно е* (е,) = б,* ( символ Кронекера ) . Но ei - точно такой же функционал на L* по определению двойственного базиса.

Заметим, что если L бесконечномерно, то et: LL** остается инъективным, но перестает быть сюръективным (см. упражнение 2). В функциональном анализе вместо полного L* обычно рассмат-

ривают только подпространство линейных функционалов L, непрерывных в подходящей топологии иа L и Ж, и тогда отображение L-L может быть определено и иногда оказывается изоморфизмом. Такие (топологические) пространства называют рефлексивными. Мы доказали, что конечномерные пространства (без учета топологии) рефлексивны.

Рассмотрим теперь связь между линейными отображениями и линейными подпространствами.

11. Определение. Пусть f: LM - линейное отображение. Множество Кег f- {1 L\f{l) = 0} cz L называется ядром f, а множество Im / = {т^М \ 3 lL, f{l) = m}cz М называется образом f.

Нетрудно убедиться, что ядро f является линейным подпространством в а образ f - линейным подпространством в М. Проверим, например, второе утверждение. Пусть mi,/Пг Imf, а^Ж. Тогда существуют такие векторы UJiL, что f{h) = nti, /(/2)== = m2. Значит, mi + тг = Д/i +2), am\ = f{ah). Следовательно, Jl + 2 е Im f и ami е Im f.

Отображение f инъектнвно тогда и только тогда, когда Kerf={0}. В самом деле, если /(/Д/г), /1 /2, то 0=5/i - -/г^Кег/. Наоборот, если О =7Кег/, то f(/) = 0 = f(0).

12. Теорема. Пусть L - конечномерное линейное пространство, f: LM - линейное отображение. Тогда Кег / ы 1ш/ конечномерны и

dim Кег f -f dim Im / = dim L.

Доказательство. Ядро f конечномерно по следствию п. 13, § 2. Выберем базис {е\, .... вт) в Кег / и продолжим его до базиса {бь ..., Ст, ет+и .... ет+п} пространства L по теореме п. 12, § 2. Покажем, что векторы f{em+\), f{em+n) образуют базис в 1ш/. Отсюда, очевидно, будет следовать теорема.

Любой вектор из Imf имеет вид

/т+п \ т+п

f( Z а^еЛ Е G,f(e,).

\ = 1 / 1=т+\

Следовательно, f(em-i-i), f{em+n) порождают 1ш/.

т+п / т+п ч

Предположим, ЧТО Z а,/(е,-) = 0. Тогда / ( Z а,-е,-)=0.

i=m+\ \l=m+ /

т+п т+п т

Это значит, что Z а,е, е Кег /, т. е. Z it = Y, oii- Это

i=m-H i=m+\ / = 1

возможно, ТОЛЬКО если все коэффициенты равны нулю, ибо {ei, ...

бт-ьп}-базис L. Следовательно, векторы Д^т-н), f\em+n) линейно независимы. Теорема доказана.

13. Следствие. Следующие свойства f равносильны {в случае конечномерного L):

а) \ инъективно.

б) dimL = dimImf.

Доказательство. Согласно теореме, dimL = dimIm/ тогда и только тогда, когда dim Кег/ = О, т. е. Kerf = {0},

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть f: R R - отображение, заданное дифференцируемыми функциями, вообще говоря, нелинейными и переводящими нуль в нуль:

f(Xi.....Xm) = (..., ft(Xu Хт), ...), t=l.....П,

h{0.....о) = о.

Поставим ему в соответствие линейное отображение dfc- R R , называемое дифференциалом f в точке О, по формуле

где {в/}, {el} - стандартные базисы R и R . Показать, что если произвести замену базисов в пространствах R и R и вычислить dfo по тем же формулам в других базисах, то новое линейное отображение dfo совпадает со старым.

2. Докажите, что пространство многочленов Q[x] не изоморфно своему двойственному. [Указание. Сравните мощности.)

§ 4. Матрицы

1, Цель этого параграфа - ввести язык матриц и установить основные связи его с языком линейных пространств и отображений. За дальнейшими подробностями и примерами мы отсылаем читателя к главам 2 и 3 Введения в алгебру ; в частности, мы будем пользоваться развитой там теорией определителей, не повторяя ее. Читателю следует самостоятельно убедиться в том, что изложение в этих главах без изменений переносится с поля вещественных чисел на любое поле скаляров; исключения составляют лишь те случаи, где используются такие специфические свойства вещественных чисел, как порядок и непрерывность.

2. Термины. Матрицей А размера m X п с элементами из множества 5 называется семейство элементов из 5, пронумерованное упорядоченными парами чисел (t, k), где I т, I kn. Часто пишут А == (а,й), 1 t т, I kn; указание размера может быть опущено.

При фиксированном i семейство (an, а. ) называется i-u строкой матрицы А. При фиксированном k семейство (uik, -.., Umk) называется k-м столбцом матрицы А. Матрица размера 1 X п называется просто строкой, а матрица размера m X 1 - столбцом.

Если т = п, матрица А называется квадратной (иногда говорят порядка п вместо размера X )

Если Л -квадратная матрица порядка п, 8 = Ж (поле) ц а,-;==0 при 1фк, матрица А называется диагональной; иногда ее записывают diag(an, ап ). Вообще, элементы {an) называются элементами главной диагонали. Элементы Oi,+1; а^,k+2, где yfe > О, образуют диагональ, стоящую выше главной, а элементы flft+i, 1; Uk+i, 2; , где k > О, - диагональ, стоящую ниже главной. Если 8 = Ж м aik = 0 при k < t, матрица называется верхней

треугольной, а если о, О при k > i, то нижней треугольной. Диагональная квадратная матрица над Ж, у которой все элементы на главной диагонали одинаковы, называется скалярной. Если эти элементы равны единице, матрица называется единичной. Единичная матрица порядка п обозначается или просто Е, если порядок ясен из контекста.

Все эти термины обязаны своим происхождением стандартной записи матрицы в виде таблицы

(0,1 012 ... йщ 21 Й22 ... 02ft O/nl 0 2 ... а„

Транспонированная к А матрица Л' имеет размеры X J, и ее элемент в i-й строке и k-м столбце равен а^л (Иногда используемое обозначение/4 -(Oft,) двусмысленно!)

3. Замечания. Большая часть матриц, встречающихся в теории линейных пространств над полем Ж, имеет своими элементами элементы самого этого поля. Однако бывают и исключения. Например, мы будем иногда рассматривать упорядоченный базис {ей вп) пространства L, как матрицу размера IX с элементами из этого пространства. Другой пример - блочные матрицы, элементами которых в свою очередь являются матрицы - блоки исходной. Именно разбиение номеров строк [1, ..., т] =/, у U/2U и^ц и номеров столбцов [1,-..., ] =/iU U-v на идущие подряд попарно непересекающиеся отрезки определяет разбиение матрицы А на блоки

где /4ар имеет своими элементами aiu, iia, kJp. Если [x = v, можно очевидным способом определить понятия блочно диагональной, блочной верхней треугольной, блочной нижней треугольной матриц. Этот же пример показывает, что не всегда удобно нумеровать столбцы и строки матрицы числами от 1 до m (или п): часто существен лишь порядок строк и столбцов.

4. Матрица линейного отображения. Пусть и М - конечномерные линейные пространства над Ж с отмеченными базисами {ci, ..., е„} и {el, ..., е'т} соответственно.Рассмотрим произвольное линейное отображение f: N-M и поставим ему в соответствие матрицу Af размера mXn с элементами из поля Ж следующим образом (заметьте, что размеры Af суть размерности N,M в обратном порядке). Представим векторы f{ek) в виде линейных ком-

бинаций: f (е^) == х ikel Тогда по определению Af = (а^). Иными

словами, коэффициенты этих линейных комбинаций суть последовательные столбцы матрицы Л/.

Матрица Af называется матрицей линейного отображения f относительно базисов (или в базисах) {е^}, {el}-

В силу предложения п. 3, § 3, линейное отображение / однозначно определяется образами f{ek), и в качестве последних можно взять любое семейство из п векторов пространства М. Поэтому описанное соответствие устанавливает биекцию между множеством S{N, М) и множеством матриц размера тХ с элементами из Ж (или над Ж). Эта биекция, однако, зависит от выбора базисов (см. п. 8 ниже).

Матрица Af позволяет также описывать линейное отображение \ в терминах его действия на координаты. Если вектор I представлен столбцом x = [xi, .... Хп] своих координат в базисе

{е\, е„}, т. е. /= YjXfii, то f(/) представлен вектором-столб- ом у = [у1.....ут\, где

п

yi=LaikXk, /= 1, т.

Иными словами, y = AfX - обычное произведение матрицы Af на столбец X.

Когда речь идет о матрице линейного оператора у4=(а,), всегда подразумевается, что в двух экземплярах пространства выбирается один и тот же базис. Матрица линейного оператора квадратна. Матрица тождественного оператора единична.

Согласно п. 4, § 3, множество S{N,M) является в свою очередь линейным пространством над Ж. При отождествлении элементов 2{N,M) с матрицами эта структура описывается следующим образом.

5. Сложение матриц и умножение на скаляр. Пусть А = (ацг), В = {bik) - две матрицы одинакового размера над полем Ж, а^Ж. Положим

A + B = (ctk), где cik = aik + btk, аА = {auik).

Эти операции определяют на матрицах данного размера структуру линейного пространства. Легко проверить, что если A=Af, В = А^ (в одинаковых базисах), то

Лf-fЛg = Лf+g, Aaf = aAf,

так что указанное соответствие (а оно биективно) является изоморфизмом. В частности, dim (Л^, Af) = dim М dim Л^, потому что пространство матриц изоморфно Ж* (размер т'Х.п).

Композиция линейных отображений описывается в терминах умножения матриц.

6. Умножение матриц. Произведение матрицы Л размера т X Хп над полем Ж на матрицу В размера п Хр над полем Ж

определено тогда и только тогда, когда п' = п - п; размер АВ в этом случае равен m X Р. и по определению

АВ = (cik), где == Z ai,b]k-

Нетрудно проверить, что (АВ) = В'А'.

Может случиться, что АВ определена, но ВА не определена (если тфр) или обе матрицы АВ и ВА определены, но имеют разные размеры (если тфп), или даже определены и имеют одинаковые размеры {т = п~р), но не совпадают. Иными словами, умножение матриц не коммутативно. Однако оно ассоциативно: если матрицы АВ и ВС определены, то {АВ)С и А(ВС) определены и совпадают. В самом деле, положим А={ац), B = {bik), C - {cki). Согласованность размеров А с ВС и АВ с С предлагается проверить читателю. Если она уже проверена, то мы можем вычислять (t/)-ft элемент {АВ)С по формуле

( S atibj Cki == Yj iaijbjk) Cku a (i/)-fi элемент A{BC) no формуле

Z Z bjkCui)

Так как умножение в Ж ассоциативно, эти элементы совпадают. Зная уже, что умножение матриц над Ж ассоциативно, мы можем убедиться,. что поблочное умножение блочных матриц также ассоциативно (см. также упражнение 1).

Кроме того, произведение матриц линейно по каждому аргументу:

(аА -f fcfi) С = аАС -f ЬВС; А (ЬВ -f сС) = ЬАВ -f с АС.

Важнейшее свойство умножения матриц состоит в том, что оно отвечает композиции линейных отображений. Однако целый ряд других ситуаций в линейной алгебре также удобно описывается умножением матриц: это главная причина унифицирующей роли матричного языка и некоторой самостоятельности матричной алгебры внутри линейной алгебры. Перечислим некоторые из этих ситуаций.

7. Матрица композиции линейных отображений. Пусть Р, N,

g f

М - три конечномерных линейных пространства, Р -- М - два линейных отображения. Выберем базисы [е^, и {е^} в Р, N, М соответственно и обозначим через Ag, Af, Afg матрицы g, f, fg в этих базисах. Мы утверждаем, что Afg = AfAg. В самом деле, пусть Af = (an), Ag = (6u). Имеем

gK)=Zft<. fg{ek} = Z bj (e;) = Z ft.-ft Z a e, = Z (Z ) Ч-

Следовательно, (/, )-н элемент матрицы Ajg равен YjOjibn т. е. Atg = AiAg.

Согласно результатам пп. 4-6 множество линейных операторов S{L,L) после выбора базиса в L можно отождествить с множеством квадратных матриц М„{Ж) порядка n = <iimZ, над полем Ж. Имеющиеся в обоих множествах структуры линейных пространств и колец при этом отождествлении согласованы. Биекциям, т. е. линейным автоморфизмам f: L-L, отвечают обратимые матрицы: если fof~ = idz., то /4у4 , = £ , так что А^-\ = AJ. Напомним, что матрица А обратима, или невырождена тогда и только тогда, когда det АФО.

8. а) Действие линейного отображения в координатах. В обозначениях п. 4 мы можем представлять векторы пространств N, М в координатах столбцами

-> X =

и тогда действие оператора f записывается на языке матричного умножения формулой

или y = AfX (ср. п. 4). Иногда удобно писать аналогичную формулу в терминах базисов {е,-}, {е', где она принимает вид

f(ei, .... e ) = (f(ei), f(e )) = (el, е^)Л,.

При этом формализм матричного умножения требует, чтобы в выражении справа векторы М умножались на скаляры справа, а не слева; это безобидно, мы просто будем считать, что е'а = ае для любых е' е М, а^Ж.

Пользуясь такого рода записями, мы будем иногда нуждаться в проверке ассоциативности или линейности по аргументам смешанных произведений матриц, часть которых имеет элементы из Ж, а другая часть из L, например

или

((е„ е,)А)В = {еу, .... е^)[АВ) [е -f <, .... е„ + <)Л = (е„ е^)А-\-{е[, <)Л

и т. п. Формализм пп. 4, 5 автоматически переносится на эти слу чаи. То же замечание относится к блочным матрицам.

б) Координаты вектора в измененном базисе. Пусть в про странстве L выбраны два базиса \е^ и [е\у Любой вектор / е /

можно представить его координатами в этих базисах: / = Z =

п

= Z xfk- Покажем, что существует квадратная матрица А поряд-

-> ->

ка п, не зависящая от /, такая, что х = Ах .

п

Действительно, если е'== Z o,fce,-. то /4 = (fl,.j):

п п п/п \ п / п \

Z х^е, = = I = X < X j = Z ( j

Матрица А называется матрицей перехода (от нештрихованного базиса к штрихованному), или от штрихованных координат к не-штрихованным. Заметим, что она обратима: обратная матрица есть матрица перехода от штрихованного базиса к нештрихован-ному.

Заметим, что формулу х = Ах можно было прочесть также как формулу, выражающую координаты старого вектора-столбца х через координаты вектора f{x), где / - линейное отображение LL, описанное матрицей А в базисе {е^}.

В физике эти две точки зрения называются соответственно пассивной и активной . В первдм случае мы описываем одно и то же состояние системы (вектор /) с точки зрения разных наблюдений (со своими системами координат). Во втором случае наблюдатель один, а состояние системы подвергается преобразованиям, состоящим, например, из симметрии пространства состояний этой системы.

в) Матрица линейного отображения в измененных базисах. В ситуации п. 4 выясним, как изменится матрица Af линейного отображения, если перейти от базисов {е^, {е' к новым базисам {ft} {ё'г} пространств Л/, М. Пусть В - матрица перехода от {е*}-координат к (ё^,}-координатам, а С-матрица перехода от {е;}-координат к (ё,}-координатам. Мы утверждаем, что матрица Af отображения f в базисах {ё^, (ё^) равна

AfC-AfB. В самом деле, вычисляя в базисах, имеем (ё,) А, == f ((ё,)) = f {{е,) В) = (/ (е,)) В = {е[) Л ,В = (ё[) Л,5.

Рекомендуем проделать аналогичные вычисления в координатах.

Особенно важен частный случай Л^ = М, (<?,-} = {е;, ё,> = ё^}, В = С. Матрица линейного оператора f в новом базисе равна

Лf==B ЛfB.

Отображение М„{Ж)Мп{Ж): A-B-AB называется сопряжением (посредством невырожденной матрицы В). Сопряжение является автоморфизмом матричной алгебры Мп {Ж):

fi (Z fi = Z aiBAiB, а1Ж\

в~ (Л,...ЛjB = (в-л,в)... {в-а^в)

(в произведении справа внутренние сомножители в и попарно сокращаются, ибо стоят рядом).

Особую роль играют те функции от элементов Мп{Ж), которые не меняются при замене матрицы на сопряженную, потому что с помощью этих функций можно строить инварианты линейных операторов: если ф - такая функция, то, полагая ф(f) = ф(Лf), получим результат, зависящий лишь от f, но не от базиса, в котором пишется Af. Вот два важных примера.

9. Определитель и след линейного оператора. Положим

Тгf = Тг Л, = Z и, где Af = (ai)

(след - trace - матрицы Л есть сумма элементов ее главной диагонали);

detf = det Лр.

Инвариантность определителя относительно сопряжения очевидна: det (в~Лй) = (det ву det Л det в = dfet Л.

Чтобы установить инвариантность следа, докажем более общий факт: если Л, в - такие матрицы, что ав и ва определены, то ТгЛВ = Тг ва.

Действительно,

Тг ЛВ= Z Z сЛ.-. Тг Лй = Z 5 Ь„а^,

Если теперь в невырождена, то, применяя доказанный факт к матрицам В-Л и в, получим

Тг (в-ав) = Тг (ВВ Л) = Тг Л.

В § 8 мы введем собственные значения матриц и операторов, симметрические функции от которых дадут другие инвариантные функции.

В заключение этого параграфа мы приведем определения, названия и стандартные обозначения для нескольких классов матриц над вещественными и комплексными числами, исключительно важных в теории групп и алгебр Л.ч и ее многочисленных приложениях, в частности в физике. Первый класс образуют так называемые классические группы: они действительно являются группами

относителыю матричного умножения. Второй класс образуют алгебры Ли: они составляют линейные пространства и устойчивы относительно операции взятия коммутатора: {А,В\ = АВ - ВА. Параллелизм обозначений для этих классов получит некоторое объяснение в § 11 и в упражнении 8. 10. Классические группы.

а) Полная линейная группа GL(n, J). Она состоит из невырожденных квадратных матриц размера Х над полем Ж.

б) Специальная линейная группа ЪЬ(п,Ж). Она состоит из квадратных матриц размера Хи над полем Ж с определителем единица.

В этих двух случаях Ж может быть любым полем. Дальше мы ограничимся полями Ж = R или С, хотя существуют обобщения этих определенпй на другие поля.

в) Ортогональная группа 0{п,Ж). Она состоит из матриц размера пХ с условием АА~Еп. Такие матрицы действительно образуют группу, ибо

EnEi = Еп, А- {A-J = Л{А')- = (Л'Л)- = = Еп,

наконец,

(АВ) (АВ)* = ABBА' = АА* = £ .

При = R, С эта группа называется вещественной или комплексной соответственно. Элементы группы 0(п,Ж) называются ортогональными матрицами. Вместо 0( , R) обычно пишут 0( ).

г) Специальная ортогональная группа S0( , J). Она состоит из ортогональных матриц с определителем единица:

SO (и, Ж) = 0(п, X)(]SL{n, Ж).

Вместо SO(rt, R) обычно пишут SO( ).

д) Унитарная группа U(n). Она состоит из комплексных матриц размера Х . удовлетворяющих условию /4Л' = £ , где Л - матрица, элементы которой комплексно сопряжены с соответствующими элементами матрицы Л: если Л= (Uik), то A~(aik). Пользуясь равенством АВ = АВ, нетрудно проверить, как и в случае в), что U(n) является группой, как в предыдущем пункте. Элементы и (и) называют унитарными матрицами.

Матрицу А' часто называют эрмитово сопряженной с матрицей Л; математики обычно обозначают ее Л*, а физики Л+. Заметим, что операция эрмитова сопряжения определена для комплексных матриц любых размеров.

е) Специальная унитарная группа SU(n). Она состоит из унитарных матриц с определителем единица:

SU(n)=U(n)nSL(fi, С).

Из определений ясно, что вещественные унитарные матрицы - это ортогональные матрицы: 0( ) = U(n)n GL(n, R), SO(n)== = U(n)nSL(n, R).