§ 7. Внешние формы

1. Пусть L - конечномерное линейное пространство над полем Ж, L* - двойственное к нему пространство.

Элементы р-й внешней степени AP{L*) называются внешними р-формами на пространстве L. В частности, внешние 1-формы - это просто линейные функционалы на L. Для произвольного р можно установить два варианта этого результата:

2. Теорема. Пространство hP{L*) канонически изоморфно:

а) (hP{L))*, т. е. пространству линейных функционалов на р-векторах;

б) пространству кососимметрических р-линейных отображений F : LX XL-*-Ж, т. е. отображений со свойством

F{lam, .... /<i(p)) = e(a)F(Z /р)

для всех а е Sp.

Доказательство. Согласно принятому нами определению

Л (L) с: Г (8)... (8) Г = П (Г).

В п. 4 § 2 мы отождествили Tq{L*) с пространством всех р-линейных функций на L*. При этом отождествлении внешние формы становятся кососимметрическими р-линейными отображениями L. В самом деле, достаточно проверить это на разложимых формах. Для них имем

(f.A ... Afp)(/,. /р) = Л(/,(8>...(8/р)(/1, ...,g==

=7г Z Mt)fTn)(/,).-.ft,p)(g.

Поэтому

(fl Л Afp)(/(j(l), /а(р)) = - Yj (р)(о(р)) =

= е(а)(/,Л ... AU(/ .... /p)

Поэтому мы построили линейное вложение Ap(L*)(kocochm-метрические р-линейные формы на L). Чтобы проверить, что оно является изоморфизмом, достаточно установить совпадение

размерности правой части с dim Л'(7.*) = р . Но если в L

выбран базис {е е„}, то любая кососимметрическая р-ли-нейная форма F на L однозначно определяется своими значениями F (ег ..., е,р), 1 ti < ... < ip п, и их можно выбирать любыми. Поэтому размерность пространства таких форм равна р). Это доказывает утверждение б) теоремы.

Для доказательства утверждения а) отождествим L* ® .. <2) L*

р

с (L ® ... ® L) снова с помощью конструкции п. 4 § 3 и огра-р

ничим каждый элемент Ap(L*) (как линейную функцию на L® ... ®L) на подпространство р-векторов A(L). Мы получим линейное отображение Ap(L*)(Ap(L))*. Поскольку размерности пространства слева и справа совпадают, достаточно проверить, что оно сюръективно. Пространство линейных функционалов на AP{L)

порождено функционалами вида б;, где

I = {iu /p}c:{l.....п}, 6,{ei Л Aei)=l,

б,(е/, Л ... Лед = О,

если {/ь ..., jp} ф I. Мы утверждаем, что такой функционал является образом р-формы е' Л Л е'ре А (L), где, как обычно, {е'} означает базис, двойственный к {е,}. Действительно, значение

е' Л Л fip на е/ Л Л е/ равно А (е'> ® ... ® ep) (Л(е/ (g)... ® е/)) =

= W 2 () Ko))--- K,p,)-

Справа отличны от нуля лишь те слагаемые, для которых io(i) = =/г(1), , %(р) =/т(р), так что вся сумма равна нулю, если {il, ip} Ф {jl, jp}- Если же эти множества совпадают, то вся сумма равна

когда {il, ip) = {ju jp} упорядочены по возрастанию. Поэтому е' Л Л е'р как функционал на Ap(L) равен -6/, что

завершает доказательство.

3. Замечания, а) Принятый нами способ отождествления Af{L*) с (Ap(L))* отвечает билинейному отображению

АЧПХА'Щ-Ж,

которое на произвольных парах разложимых р-векторов можно представить в виде

(f Л ... Л Г, /, Л ... Л g ==-det(r (/Д

f е L*, li е L. Действительно, обе стороны полилинейны и косо-симметричны в отдельности по f и кроме того, они совпадают для

.....Г) = (в\ .... еЧ(/ь..../р) = (е,......eg,

как было проверено в предыдущем доказательстве.

Иногда в этом скалярном произведении отбрасывают множитель -Jp.

б) Одно из отождествлений, установленных в теореме, иногда принимают в качестве определения внешней степени. Например, hP(L) часто, особенно в дифференциальной геометрии, вводят как пространство кососимметрических р-линейных функционалов на L*. Общность этой конструкции - промежуточная между общностью первого и второго определений внешней степени из § 6: поскольку она не требует деления на факториалы, она годится для линейных пространств над полями конечной характеристики, а также для свободных модулей над коммутативными кольцами. Но при переходе к общим модулям лишняя дуализация мешает, и второе определение становится предпочтительным.

Результат, аналогичный теореме п. 2, справедлив также для симметрических степеней, и наше предшествующее замечание относится и к ним. В частности, 5(1) можно определить как пространство симметричных р-линейных функционалов на L* для пространств над любыми полями и свободных модулей над коммутативными кольцами. В самом общем случае, однако, правильное определение Sp(L) - это определение из п. 9, § 5.

4. Внутреннее произведение. Внутренним произведением называется билинейное отображение

LXAin-AP-Mr): (/. F)i{t)F,

которое определяется следующим образом. Рассмотрим Fe Ap{Z,*) как кососимметричную р-линейную форму на L, и аналогично i{l)F. Тогда по определению

Очевидно, правая часть (р.- 1)-линейна и кососимметрична как функция от /], ..., /р-1, а также билинейна как функция от F, I, так что определение корректно. При р = О удобно считать, что i{l)F = Q. Вместо i(l)F пишут также I iF.

§ 8. Тензорные поля

1. В этом параграфе мы кратко опишем типичные дифференциально-геометрические ситуации, в которых используется тензорная алгебра.

Рассмотрим некоторую область (У с= R в координатном вещественном пространстве и кольцо С бесконечно дифференцируемых функций с вещественными значениями на U. В частности, координатные функции X, /=1, п, принадлежат С.

2. Определение. Касательным вектором Ха к U в точке aeU называется любое линейное отображение Ха. CR, удовлетворяю щее условиям:

Xaf = О, если f постоянна в некоторой окрестности а;

Xa(fg} = Xj-g{a)-hfia)-Xag.

т

Если Ха, Yo - два касательных вектора в точке а, то любая их вещественная линейная комбинация также является касательным вектором в этой точке:

{сХа + dY,) (fg) = сХа ifg) + dY, (fg) =

= cXaf g{a) + cf (a) Xg + dYj g (a) + df (a) Yg =

= (cX, + dYJ f-g{a)+f (a) {cXa + dY) g.

Поэтому касательные векторы образуют линейное пространство, которое обозначается Та и называется касательным пространством к и в точке а. Значение Xaf называется производной функции / по направлению вектора Ха. Можно доказать, что пространство Та п-мерно.

3. Определение. Векторным полем в области U называется такое семейство касательных векторов X = {Ха е Га а е f/}, что для любой функции f е С функция на U

aXaf

также принадлежит С.

Обозначим эту функцию через Xf. Очевидно, касательное поле определяет линейное отображение X: С-С, нулевое на постоянных функциях и такое, что X{fg) = Xf gf-Xg для всех f, gC. Такие отображения называются дифференцированиями кольца С в себя.

Наоборот, каждому дифференцированию X: С^С и точке а и отвечает касательный вектор Ха в этой точке: X f = {Xf) (а). Это устанавливает биекцию между векторными полями на О и дифференцированиями кольца С.

Сумма векторных полей Х -f У, определенная формулой {X-\-Y)f = Xf-[-Yf для всех / е С, является векторным полем. Произведение fX, определяемое формулой {fX)g = f(Xg), где X - векторное поле, f, gC, является векторным полем. В частности,

любая линейная комбинация векторных полей 2 f %. f С, яв-

ляется векторным полем.

4. Пример, Пустьг=1, п, - классические опера-

торы частных производных. Все они являются векторными полями на и. Имеет место следующий фундаментальный результат, который мы приведем без доказательства:

5. Теорема. Всякое векторное поле X в связной области U а R

п

однозначно представляется в виде V/ , где х^, х - ко-

ординатные функции на R .

6. На алгебраическом языке это означает, что множество всех векторных полей. Т в связной области U является свободным модулем ранга п над коммутативным ассонпативным кольцом С бесконечно дифференцируемых функций на U.

Свободные модули конечного ранга над коммутативными кольцами образую! категорию, по своим свойствам чрезвычайно близкую к категории конечномерных пространств над полем. Для них, в частности, проходит вся теория двойственности и все конструкции тензорной алгебры из этой части курса.

Другой вариант, не требующий переноса тензорной алгебры на кольца и модули, но взамен предполагающий развитие некоторой геометрической техники, состоит в том, чтобы рассматривать каждое векторное поле X как семейство векторов {Xa\aeU}, лежащих в семействе конечномерных пространств {Та}. Тогда все нужные нам операции тензорной алгебры можно строить поточечно , определив, скажем, X®>Y как {Ха <8) Уво е U}.

Оба варианта построения тензорной алгебры совершенно эквивалентны; в приводимых ниже определениях мы будем исходить из первого.

7. Обозначим через Т* С-модуль С-линейных отображений

Г = с{Т, С). Он состоит из отображений ш; 5->-С со свойством

Cm \ т

для всех Xi еТ, fe С. Сложение и умножение на элементы про изводится по стандартным формулам. С-модуль Т* часто обозначается Q или Q(f/) и называется модулем (дифференциальных) 1-форм в области и.

Каждая функция / е С определяет элемент dfe fi по формуле

{df)(X) = Xf, ХеТ.

Он называется дифференциалом функции f. В частности, мы можем построить дифференциалы координатных функций dx, dx е eQ. Из теоремы п. 5 легко следует

8. Предложение. Любая 1-форма loeQ однозначно представ-

п

ляется в виде линейной комбинации Z fi dx*.

9. Элементы тензорного произведения С-модулей Т*® .. Т*®)Т ® ... ®Т называются тензорными полями типа

ip,q), или р раз ковариантными и q раз контравариантными тензорными полями в области U. В дифференциальной геометрии, впрочем, слово поля часто опускают и называют тензорные поля просто тензорами.

Из теоремы п. 5 и предложения п. 8 следует, что всякий тензор типа (р, q) однознащо задается своими компонентами о по формуле

T=Утidx®...®dxp (8) -V ® ..<8> -4-. i- p дх\ дхч

где lk, fi независимо пробегают значения от 1 до п. В классических обозначениях опускаются все символы в правой части, кроме компонент Ti этот знак и служит обозначением тензора. Подчеркнем еще раз, что здесь Г^ суть не числа, а вещественные

бесконечно дифференцируемые функции на U.

10. Замена координат. Первый вклад анализа в изучение тензорных полей состоит в возможности делать нелинейные замены координатных функций в U: переходить от л:, ..., х к у\ у , где у' - у'(х\ д; ) - бесконечно дифференцируемые функции такие, что обратные функции х'= х1{у\ ..., у ) определены и бесконечно дифференцируемы. Дело в том, что компоненты векторных полей и 1-форм при этом все равно преобразуются по классическим формулам линейно, только с коэффициентами, изменяющимися от точки к точке: согласно формуле дифференцирования сложной функции имеем

д ду д дх дх ду

(справа подразумевается суммирование по k), а также

(то же соглашение). Поэтому тензор тl l в новых координатах имеет компоненты

- V- оу ех> ..

(то же соглашение с суммированием справа).

Все алгебраические конструкции и языковые соглашения § 4 можно теперь перенести на тензорные поля.

Мы закончим этот параграф несколькими примерами тензорных полей, играющих особенно важную роль в геометрии и физике.

11. Метрический тензор. Этот тензор, обозначаемый gy или,

п

в более полной записи, gijdxidx, предполагается симметричным и невырожденным в каждой точке aU, т. е. uet(gi,{a))= =й=0. Он задает ортогональную структуру в каждом касательном пространстве Та, и пары {U, ga) (а также обобщения на случай многообразий, склеенных из нескольких областей U) составляют основной объект изучения римановой геометрии, а в случае = 4 и метрики сигнатуры (1, 3) - общей теории относительности.

Метрика используется для измерения длин дифференцируемых кривых {л:(t), x {t) I0 i}: длина задается формулой

5 л/eii (х' iO) dt, а также для поднятия и опускания ин-

дексов тензорных нолей.

12. Внешние формы и форма объема. Элементы из Лр(£2), т. е. кососимметрические тензоры тина (р, 0), называются внешними р-формами в и, г внешние п-формы называются формами объема. Это название объясняется возможностью определить криволинейные интегралы f{xi, ..., Xn)dx /\ ... Л dx по любой

подобласти и, обладающие свойствами меры. В случае / = 1 значение такого интеграла есть евклидов объем области V, свойства которого мы описали в § 5 ч. 2.

При р <. п можно определить интеграл от любой формы toe еЛР(й') по р-мерным дифференцируемым гиперповерхностям в и. Все модули внешних форм связаны замечательными операторами внешнего дифференциала dP: АРА.р+, который в координатах задается формулой

... л dxP.

Эти операторы удовлетворяют условию dP+.o rfp = О и входят в формулировку обобщенной теоремы Стокса, связывающей интеграл по р-мерной гиперповерхности с границей V с интегралом по ее границе дУ:

Особую роль играют внешние 2-формы со*, удовлетворяющие условию d<B* = 0. В их терминах инвариантно формулируется аппарат гамильтоновой техники.

§ 9. Тензорные произведения в квантовой механике

1. Объединение систем. Роль тензорных произведений в квантовой механике объясняется следующим фундаментальным положением, которое продолжает серию постулатов, сформулированных в п. 8 § 6 и пп. 1-6 § 9 ч. 2.

Пусть Ж\, Жп - пространства состояний нескольких квантовых систем. Тогда пространство состояний системы, получающейся в результате их объединения, является некоторым подпространством 5 с: 51 ® ... ®Жп.

Строго говоря, в бесконечномерном случае вместо тензорного произведения справа должно стоять пополненное тензорное произведение гильбертовых пространств, но мы пренебрежем этой тонкостью, работая, как обычно, с конечномерными модулями.

Какое именно подпространство в 0 ... ®Жп отвечает объединенной системе, приходится решать на основе дальнейших правил, к которым мы обратимся ниже. Здесь же мы рассмотрим случай Ж = Ж\=Ж\® ... ®Жп и попытаемся объяснить, как уже первый постулат квантовой механики - прын1{ип суперпозиции- приводит к совершенно неклассическим связям между системами. Для этого яснее представим себе, каковы могут быть состояния объединенной системы. Пусть е Ж^ - некоторые состояния подсистем. Тогда разложимый тензор г]:] ® ... ® iln является одним из возможных состояний объединенной системы, и мы можем считать, что оно отвечает случаю, когда каждая из подсистем находится в своем состоянии ip,-. Но такие разложимые состояния далеко не исчерпывают всех векторов в Ж\® ... ®Жп. допустимы их произвольные линейные комбинации. Когда объединенная система находится в одном из таких неразложимых состояний, представление о ее подсистемах теряет смысл, ибо они и их состояния не могут быть однозначно выделены. Иными словами, в подавляющем большинстве состояний объединенной системы подсистемы существуют лишь виртуально .

Важно подчеркнуть, что этот вывод никак не использует представлений о взаимодействии подсистем в классическом смысле слова, подразумевающем обмен энергией между ними. Эйнштейн, Розен и Подольский предложили мысленный эксперимент, в котором две подсистемы объединенной системы после ее распада оказываются сильно разделены пространственно, и наблюдение над одной подсистемой позволяет мгновенно перевести в определенное состояние вторую подсистему, хотя классическое взаимодействие между ними требует конечного времени. Это следствие постулатов суперпозиции и тензорного произведения резко противоречит классической интупции. Тем не менее их принятие привело к огромному количеству теоретических схем, правильно объясняющих действительность, и приходится доверять им и вырабатывать новую интуицию.

Заметим попутно, что описание взаимодействия требует введения гамильтониана объединенной системы. В простейшем случае он имеет свободный вид

Я1 ® id ® . ® id Ч- id ® Яг ® ... ® id -Ь ... + id ® ... (8) Я„,

где Не 5 , Ж -гамильтониан i-й системы, id- тождественные отображения. В этом случае говорят, что системы не взаимодействуют. Некоторое объяснение этому состоит в замечании, что если объединенная система имеет такой гамильтониан и в начальный момент времени находится в разложимом состоянии ® ... ® ifn, то в любой момент времени t она будет находиться в разложимом

состоянии е^ЧЧ])® ® е~ (Ч ). т. е. ее подсистемы будут развиваться независимо друг от друга. В общем случае гамильтониан представляет собой сумму свободной части и оператора, который отвечает за взаимодействие.

2. Неразличимость. Имеются два фундаментальных случая, когда пространство состояний объединенной системы не совпадает с полным пространством 36\ ® ... ® Жп. В обоих случаях объединяемые системы тождественны, или неразличимы, скажем, являются элементарными частицами одного типа; в частности, Ж\ = ...

. . . - ov?n - .

а) Бозоны. По определению, система с пространством состояний Ж называется бозоном, если пространство состояний объединения п систем есть п-я симметрическая степень 8 {Ж).

Согласно эксперименту бозонами являются фотоны и альфа-частицы (ядра гелия).

б) Фермионы. По определению, система с пространством состояний Ж называется фермионом, если пространство состояний объединения п таких систем есть п-я внешняя степень А. (Ж).

Согласно эксперименту фермионами являются электроны, протоны, нейтроны.

3, Числа заполнения и принцип Паули. Пусть {г]?], ..., грт} - базис пространства состояний бозонной или фермионной системы. Тогда элементы симметризованного (или антисимметризованного) тензорного базиса в 8 {Ж) (или А (Ж)) физики записывают в виде

S{i,<Bi ... ®Ь® ®т® ®т) в 5 (5). Л(г1з, ® ... ®я1),(8) ... ®y!f ® ... в А {Ж).

В обоих случаях gi + ... + Om = , но для бозонов числа а,- могут принимать любые целые неотрицательные значения, а для фермио-нов - только О или 1: иначе соответствующие антисимметризации равны нулю и не определяют квантовое состояние.

Числа а,- называются числами заполнения соответствующего состояния. Подразумевается, что в состоянии а ..., Ст) объединенной системы можно условно считать, что а,- подсистем находятся в состоянии Поскольку, однако ни в фермионном, ни в бозонном случае объединенная система вообше не может находиться в состоянии, описываемом разложимым тензором г]?, <Е) ... ... ® ijJm, кроме случая, когда все гр,- одинаковы (для бозонов), ato означает, что даже в базисных состояниях ai, атУ нельзя сказать, которая из подсистем находится, скажем, в состоянии ipi. Подсистемы являются неразличимыми.

Условие а,- = О или 1 в фермионном случае интерпретируется как утверждение о том, что две подсистемы не могут находиться в одинаковом состоянии. Это знаменитый принцип запрета Паули.

Когда число п очень велико, ряд физически важных утверждений о пространствах 8 {Ж) и А (Ж) делается в вероятностных терминах, скажем, в терминах доли состояний о„> с теми

или иными условиями относительно чисел заполнения. Поэтому

часто говорят, что бозоны и фермионы подчиняются разным статистикам- соответственно Бозе - Эйнштейна или Ферми.

4. Случай переменного числа частиц. В процессе эволюции квантовой системы составляющие ее элементарные подсистемы , или частицы, могут рождаться или уничтожаться. Для описания таких эффектов в бозонном и фермионном случае используются

соответственно пространства состояния ©S (Ж) (точнее, попол-

пение этого пространства) или фл(9), т. е. полная симметри-

ческая или внешняя алгебра одночастичного пространства Ж.

Оператор, умножающий векторы из 8 {Ж) (соответственно, из А {Ж)) на п (п = О, 1, 2, 3, ...), называется оператором числа частиц. Его ядро -подпространство С = 5° (5) или Л°(5) -называется вакуумным состоянием: в нем частиц нет.

Совершенно фундаментальную роль играют также специальные операторы рождения и уничтожения частиц. Оператор fl~(i5o) уничтожения бозона в состоянии Чо е <3 действует на состояние 5(4i® ®Чп) по формуле

а~(1150)5(Ф, ® ... ® ifn) = n-\- \ Yj (fO ® *о(2) ®

. . ® Ipo (П),

где (i5o, ifod))-скалярное произведение в Ж. Оператор a+(il3o) рождения бозона в состоянии Ж определяется как сопряженный к а (1]зо) в смысле эрмитовой геометрии. Аналогичные формулы можно написать в фермионном случае. Роль этих стандартных операторов тензорной алгебры объясняется тем, что в их терминах удобно записывать операторы важных наблюдаемых, в первую очередь гамильтонианы.

УПРАЖНЕНИЯ

В следующей серии упражнений изложены основные факты теории тензорного ранга, важной для оценок сложности еычислен-ий. Основы этой теории заложил Ф. Штрассен.

. 1. Пусть L\, ..., L - конечномерные линейные пространства над полем Ж, teLi® ... ®L , 1Ф 0. Рангом гк < тензора / называется такое наименьшее число г, что для подходящих векторов е L, /= 1, ..., г.

Очевидно, при и = 1 имеем гк / = 1 для любого t Ф 0.

Пусть < S L О £-2 = (ip f-2) (см. п. 5 § 2). Доказать, что

rk/ = dimlm/, t-.LLi.

Вывести отсюда следующие факты:

а) при п = 2 ранг / остается инвариантным при расширении основного поля;