§ 6. Кососимметричные тензоры и внешняя алгебра линейного пространства

1. В той же ситуации, что и в п. 1 § 5, назовем тензор Те е Гц (L) кососимметричным (или антисимметричным), если fa{T) = = 8 (о) Г, где 8(a) -знак перестановки а, для всех oeS,. Очевидно, кососимметричные тензоры образуют линейное подпространство в Го (L)- Все скаляры удобно считать одновременно кососимметричными и симметричными тензорами. При отождествлении из г) п. 1 § 3 кососимметричные тензоры из Гд (L*) отвечают симплектическим билинейным формам на L.

Обозначим через A>{L) подпространство кососимметрических тензоров в Г^ (L). По аналогии с § 5 построим линейный проектор А: Т^Щ--ТоЩ, образ которого совпадает с A(L). Как и там, мы предполагаем пока, что характеристика поля скаляров не делит ql Проектор А будет называться антисимметризацией или альтернированием. В классических обозначениях вместо А (Г) пишут г! ?!.

2. Предложение. Положим

Z e(a)f :r?(L)-vroL).

Тогда А^ = Аи ImЛ=Л (L).

Доказательство. Прежде всего проверим, что результат альтернирования всякого тензора кососимметричен. Действительно, поскольку и 8(a) мультипликативны по а и 8(а) = 1, имеем

= (>ir Е 8(ат)/ (?) = 8(а)ЛГ. Далее, А является проектором, потому что

Действительно, любой элемент р е ровно 9I способами можно представить в виде произведения ат: а выберем любым, т находим из равенства т = а-*р-

Отсюда, как в предложении п. 1 § 5, следует, что 1тЛ =h?{L).

3. Пусть {ei, е„}-базис пространства L. Тогда разложимые тензоры ® ... ® е,- образуют базис T{L), а их антисимметризации Л (е, ® ... ® порождают A (L). Введем обозначение

Л (е/ ® ... ® ег) = f\ ... Л е,- (значок Л называется символом внешнего умножения>).

Заметим теперь, что в отличие от симметрического случая перестановка любых двух векторов в ei, Л . Л е, меняет знак

этого произведения, ибо этот тензор антисимметричен. Отсюда следуют два вывода:

а) А ... Л = О, если ia = 1ь для некоторых а, Ь, при

условии, что char Ж ф2.

б) Пространство A.>{L) порождено тензорами вида е{/\...

... Л Si, где 1 /i < /г < ... < п. Отсюда, в частности,

сразу же следует, что А! (L) = О при т> п= dim L.

Следующи13[ результат параллелен предложению п. 4 § 5.

4. Предложение. Тензоры 6 Д ... Л е Л' (L) при q п,

1 1 < 2 < ... <.iq п образуют базис пространства A{L).

Доказательство. Нужно только проверить, что эти тензоры линейно независимы в Т^Щ- Если

Ее,-,... г^е,- Л ... Ле,- = 0. то

(Ее,-,...,е.-, ® ... ®е,) = 0.

Но так как среди индексов ii, .... i, нет одинаковых и они расположены в порядке возрастания, в результате их перестановок мы получим в сумме слева линейную комбинацию различных элементов тензорного базиса T{L) с коэффициентами вида ± ~ с/... i. Эта сумма может быть равна нулю, только если все с,- ... ну-левые.

б. Следствие, dim Л (L) = { ), dim ф Л а) = 2 .

V Ч 9-0

п

6. Положим A(L) ==фл(/,). По аналогии с симметрическим

случаем введем на пространстве антисимметрических тензоров операцию внешнего умножения и покажем, что она превращает A{L) в ассоциативную алгебру, называемую внешней алгеброй, или алгеброй Грассмана, пространства L.

7. Предложение. Билинейная операция

Г, Л = Л (Г, ® Ts); Г, е Л (L), Т^ е Л

на A(L) ассоциативна, Г, Л Ti D+>iL), и Ti ATi х= (-l)w7i Л Т^ {это свойство иногда называют косокоммутативностью).

В частности, подпространство А+ (L) - ф Л^* (L) является

центральной подалгеброй A{L).

Доказательство. По аналогии с симметричным случаем проверим сначала, что для всех TiToiL), TiTliL) имеют ме-

сто формулы

А (Л (7-,) (8) Гг) = Л (Г, ® Л (T-)) = Л (J-, 0 Г^). В самом деле,

A{T,)®T2 = j Z 8(a)/ (?i)®72,

Л (Л (Г,)® 7-2)= 8(а)Л(/Л?1)® Т'г)-

Рассмотрим вложение Sp-Sp+q, а^-*а, где

Г<т(0 при 1</<р, 1 / при / > р.

Очевидно, fa (Ti) ®T2 = fs (Ti ® T2), кроме того, Л п fg коммутирует, так что

Afa {Ti ® П) = fcA (Г, ® Г2) = е (а) Л (Г, ® Гг) = е (о) А {Ti ® Га).

Поэтому

A(A{T,)<8>W = - е2 (а) Л (Г, 07-2) = Л (7-, 0 7-2).

Аналогично доказывается второе равенство. Теперь ассоциативность внешнего умножения можно проверить так же, как в симметричном случае:

(Ту Л 72)Л7з = Л (Л (Ту ® Г2) ® Гз) = Л (Ту ® Гг ® Гз),

Г, Л (Г2 АТг) = А (Ту ® Л (7-2 ® Гз)) = Л (Г, ® Г2 ® Г3).

Равенство Л (Г, ® Г2) = (- 1) Л (Гг ® Г,) при Г, е Го(L), Т2еП(1) следует из того, что Гг ® Г] =/ (Г, ® Г2), где а - перестановка, являющаяся произведением pq транспозиций: сомножители Г2 следует по очереди переводить левее Ту, меняя их местами с левыми соседями из Ту.

8. Второе определение внешней алгебры. Как и в симметрическом случае, принятое нами определение внешней алгебры страдает тем недостатком, что оно требует деления на факториалы. Второе определение, избавленное от этого недостатка и реализующее A(L) как факторпространство, а не подпространство To(L), строится в полной аналогии с симметричным случаем.

Рассмотрим двусторонний идеал / в алгебре To(L), порожденный всеми элементами вида

Г-е(а)/о(Г), TeTo(L), oeSp, р=1, 2. 3. ...

Нетрудно убедиться, что 7 = ф / , где 7 = 7 Л Гд (L), т. е. это

градуированный идеал. Положим A{L)=To{L)/J как фактор-пространство. Тогда

A(L) = ©A(L), АРЩ^ПШи .

Поскольку / - идеал, в A(L) можно ввести умножение по формуле {Ti + J)A(T, + J)=Ti(T, + J.

Оно билинейно и ассоциативно, так как это верно для тензорного умножения. Кроме того, оно косокоммутативно, ибо для Ti е Го (L), Тч е Т1 (L) имеем Г, ® Га - (-1)р Г2 ® Г, е /.

Нетрудно убедиться, что построенная таким образом алгебра изоморфна алгебре Клиффорда пространства L с нулевым скалярным произведением, введенной е § 15 ч. 2. Действительно, отображение о: L-A{L), о(1) = удовлетворяет условию а(1)- = а(/)Ла(0 = 0 для всех /, ибо о{1)Ао(1) = -о{1)Ао{1). Поэтому по теореме п. 2 § 15 ч. 2, существует единый гомоморфизм Х-алгебр C{L)-A{L) такой, что а совпадает с композицией L С (L) Л (L), где р - каноническое отображение. Поскольку L порождает To{L) как алгебру, a(L) порождает A{L), так что C(L)->-A{L) сюръективен. Мы знаем, что dimC(L) = 2 . Поэтому для проверки того, что это изоморфизм, достаточно убедиться, что dimA(L)=2 . Это можно сделать, установив, что базис (1.) образует элементы вида е, А Л е,, 1 /i < ... <iqn, где {ei, вп} -базис L. Эту проверку мы опустим.

Как и в симметричном случае, если характеристика Ж равна нулю, сквозное отображение

A(L)-ro(L)-A(L)

также являете^ изоморфизмом алгебр, сохраняющим градуировку.

Поскольку A(L) определена в более общей ситуации, для алгебраических нужд внешнюю алгебру вводят именно таким способом. В приложениях к дифференциальной геометрии или анализу, где X = R или С, можно пользоваться нашим исходным определением.

9. Внешнее умножение и определители. Пусть L - п-мерное пространство. Согласно следствию п. 5 пространство A (L) одномерно: это максимальная ненулевая внешняя степень L.

Согласно п. 7 § 2 любой эндоморфизм f: L-L индуцирует эндоморфизмы тензорных степеней

ff ... ®/: ПШ-ПШ. р

Легко убедиться, что /® коммутирует с оператором альтернирования А и потому переводит Ap{L) в Ap{L). Ограничение /® на

AP{L) естественно обозначить f - В частности, при р = п отображение : л (L)л (L) должно быть умножением на скаляр пбо А (Ь) одномерно.

10. Теорема. В описанных обозначениях d(/) = det/.

Доказательство. Выберем базис е\.....вп пространства

L и зададим f матрицей в этом базисе:

Внешнее произведение ej Л ... Л е„ является базисом A (L), и число d(/) находится из равенства

/Л (е,л ... Ле ) = (/)е, Л . Л е„.

/Л (е, Л ... Ле ) = Л(/(е,)® ... ®f(e )) = f(e,)A ... Af(e ) =

Согласно таблице умножения во внешней алгебре а|е,. Ла1е,.Л ... Ло>,. =

f е(а)а; ... е, Л Л е„, если {/....., ij = {1, ..., п},

(о в остальных случаях,

где а - перестановка, переводящая ik в k, lkn. Поэтому полная сумма коэффициентов е (а) aj ... а) совпадает со стандартной формулой для определителя det (aj), что завершает доказательство.

11. Следствие. Векторы е[, ..., eeL линейно зависимы тогда и только тогда, когда Л . Л = 0.

Действительно, пусть \: L-> Z, - эндоморфизм, переводящий е^ в е\, где {e, ..., е^ - некоторый базис L. Тогда линейная зависимость е^.} равносильна тому, что det / = О, т. е. 6; Л ... Л в' = = 0.

12. Разложимые р-векторы. Элементы TeAP{L) принято называть р-векторами. Назовем р-вектор Т разложимым, если существуют такие векторы ei, ..., вре L, что 7 = ei Л ... Лср. Для любого р-вектора Т назовем его аннулятором множество

Ann7 = {eeZ,[e Л Г = 0}.

Очевидно, Ann Т является подпространством в L.

13. Теорема. Пусть Ti, Т2 - разложимые р-вектор и q-вектор соответственно, Lu L2 - их аннуляторы. Тогда

а) Li ГЭ 1,2 в тбм и тОЛькб а том случае, когда Ту делится на Т^, т. е. Тх = Т /\ Ti для некоторого Т^Ар-оЩ.

б) L] П 2 = {0} в том. и только в том случае, когда Т\ АТф 0.

в) Если L, nZ-2= {0}, то Li + Z,2 = AnnCr, ЛГг). Доказательство, а) Если л: Л Гг = О, то хЛ(7 ЛГ2) =

= ±Т /\{х АТч) - О, так что из делимости Тх на Гг следует, что

Для доказательства обратного утверждения вычислим аннулятор р-вектора е, Л ... Л ер. Если ей вр линейно зависимы, то один из векторов е^ скажем ej, линейно выражается через остальные, и тогда

е, Л . Л вр = J] а'е^ А е^ А Л е„ = 0.

Будем считать, что ei Л ... Лбр отличен от нуля, и покажем, что тогда Ann (ei Л ... Л Ср) совпадает с линейной оболочкой векторов ei, .... Ср. Ясно, что эта линейная оболочка содержится в анну-ляторе, ибо

е, A(ei А ... Лер) =

= ± (е, Л б/) Л (fii Л ... Л e, i Ae,+j А ... А Ср) = 0.

Дополним линейно независимую систему векторов {ей вр} до базиса {ей вр, ер+и е„} пространства L и покажем, что

п

если У а'е, е Ann (е, Л Л вр), то с' = О при г > р. В самом деле.

Л (ei Л ... Л бр) = Е а% Л 2 Л ... Л вр.

и (р -Ь 1) -векторы е,- Л е, Л ... Л е^, р -f 1 t п, линейно независимы.

Пусть теперь Li => L2, Ti = ei Л ... Аср, Т^е' А Л е^. Так как линейная оболочка {е ..., е'] содержится в линейной оболочке {вь вр}, мы можем выбрать в ней базис вида

f,e[.....е', е^ е' и выразить е/ линейно через этот базис.

Для Г] получится выражение ае! Л Aeq А А А е'р, где а - определитель перехода от штрихованного базиса к нештрихо-

ванному. Поэтому Ту делится на Тг.

б), в). Если (е, А А е^) А {е[ А А е') Ф О, то векторы (е е[, е' линейно независимы. Следовательно, ли-

нейные оболочки (бр бр} и (е'р е^}, т. е. аннуляторы Т\ и Гг пересекаются лишь по нулю. Это рассуждение, очевидно, обратимо. Характеризация аннулятора разложимого р-вектора, данная в доказательстве утверждения а), доказывает последнее утверждение теоремы.

14. Следствие. Рассмотрим отобраокение

Ann- iР^зложы^иые ненулевые р-векторы \ \с точностью до умножения на скаляр) *

-*~{р-мерные подпространства в L).

Оно является биекцией.

Доказательство. Ясно, что если два ненулевых разложимых вектора пропорциональны, то их аннуляторы совпадают. Поэтому описанное отображение определено корректно. Любое р-мерное подпространство L[CZ L лежит в образе отображения, ибо если {ei, Ср} - базис L то Li = Ann(eiA ... Л ер). Наконец, это отображение инъективно в силу утверждения а) теоремы п. 13: если Ann Г, = Лпп Га, то Г, = 7 А 72 и Т является 0-вектором, т. е. скаляром.

15. Многообразия Грассмана. Многообразием Гроссмана, или грассманианом Gr(p, L), называется множество всех р-мерных линейных подпространств пространства L. В случае р = 1 получается подробно изученное нами проективное пространство P{L). Следствие п. 14 позволяет нам для любого р реализовать Gr(p, L) как подмножество в проективном пространстве P{Ap{L)).

В самом деле, отображение, обратное к Ann, дает вложение

Ann-: Gr(p. Q-PiA (L)).

Выпишем его в более явном виде. Выберем базис {ei, вп} в L и рассмотрим линейную оболочку р векторов

п

Zoje,; 1=1.....р.

Базис Л* (L) образуют ( р-векторов {et Л . Л ег11 Ji < ... ... < tp<rtj. Отображение Ann- ставит в соответствие нашей линейной оболочке прямую в A(L), порожденную р-вектором

(Д.Я,)л...л(,а>,).

Однородными координатами соответствующей точки в P{Ap{L)) являются коэффициенты разложения этого р-вектора по {ei Л

Л...Ле,}:

Z л'-W л . . Aei.

В точности такое же вычисление, как в доказательстве теоремы п. 10, показывает, что А' р совпадает с минором матрицы (а)), образованным строками с номерами i\, ip. Хоть один из этих миноров отличен от нуля в точности тогда, когда ранг матрицы (aj) имеет наибольшее возможное значение р, т. е. когда линейная оболочка наших р-векторов действительно р-мерна.

Вектор (... : Д'р : ...) называется вектором грассмановых координат р-мерного подпространства, натянутого на

п

Z je,., /=1,р.

Из этой конструкции ясно, что для характеризации образа Gr(p, L) в P(Ap(L)) нам нужно иметь критерии разложимости р-векторов. Поэтому мы займемся сейчас этой задачей.

16. Теорема, а) Ненулевой р-вектор Т разложим тогда и только тогда, когда dim Ann Т = р; для остальных ненулевых р-векторов dim Ann Т < р.

б) Выберем базис {ei, вп} в пространстве L и представим любой р-вектор Т коэффициентами его разложения по базису {е,-, Л .. Л % 1 < 1 < 2 < ... < ip<n} в АЧЬ):

TZT-pCiA ... Леу

Тогда суи{ествувт такая система полиномиальных уравнений от Ti -p с целыми коэффициентами, зависящая только от п и р, что разложимость Т равносильна тому, что (ГЧ--р} есть решение этой системы.

Доказательство. То, что dim Ann Г = р для разложимых р-векторов, мы знаем из доказательства теоремы п. 10.

Пусть dimAnnr = r и Ann Г порождено векторами ei, вг. Дополним их до базиса {ei, .... е„} в L и положим

T=ZT-pei Л ... Леу

Условие е,- Л Г = О для всех г = 1, ..., г означает, что Tp = О, если только (1, г} ф {ii, tp}. Отсюда сразу же следует, что если ТфО, то г р и что Т делится на ei Л ... Л бг. Поэтому при г = р р-вектор Т пропорционален ei Л ... Л и, значит, разложим.

б) Воспользовавшись этим критерием, мы можем теперь записать условие разложимости Т в виде требования, чтобы следующая линейная система уравнений относительно неизвестных х', ... л' еХ имела р-мерное пространство решений:

(i хе! А (Z 7 - р е.-, Л ... Л e.-J = 0.

В иен п неизвестных и ( j ) уравнений. Ее матрица состоит

из целочисленных линейных комбинаций 7 р. Ранг этой матрицы всегда п-р, ибо dim Ann Т p. Поэтому условие разложимости равносильно тому, чтобы ранг был п-р, т. е. обращению в нуль всех ее миноров (п -p-f 1)-го порядка. Это и есть искомая система уравнений на грассмановы координаты разложимого тензора.

Рассмотрим несколько примеров и частных случаев:.

17. Предложение. Любой (п-I)-вектор Т разложим. Доказательство. Очевидно, л:Л 7 = f(x)ei Л ... Л

где /(х)-линейная функция на L; {ei.....е„} - фиксированный

базис L. Значит, dim Ann Г = dim Кег f n-l. Но если Г О, то f¥=0, так что dim Kerf == п-1. В силу утверждения а) теоремы п. 16 Т разложим.

В терминах грассмановых многообразий это означает, что имеется биекция

(гиперплоскости в L)- -P(A ~L).

Но гиперплоскости в L - это точки P{L*). Поэтому

P(L*)~P(A -4L))

(канонический изоморфизм). Ниже мы обобщим этот результат.

18. Предложение. Ненулевой бивектор TeA{L) разложим тогда и только тогда, когда Т АТ = 0.

Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности проведем индукцию по п, начиная с тривиального случая п = 2. Пусть {еь .... e +i)-базис L. Разложив Г по ег Л е,-, мы можем представить Т в виде Т = e +i Л Ti -f -\- Т'г, где Г] и Т2 разлагаются по е,-, е,- Л е,-, 1 /, у п. Из условия Т Л Г = О следует, что

TaAr-f 2е„. ЛГ, ЛГ2 = 0,

ибо (е„+1 л 7i)A(e +, л 7,)= о и Т2 лежит в центре A(L). Но ГгЛ Т2 не может содержать членов с e +i, поэтому

Г2ЛГ2 = е„+, ЛГ, ЛГг^О.

Поскольку Гг л Гг = О, по индуктивному предположению Гг разложим. Так как Г, Л Гг не содержит членов с Cn+i, имеем Г, Л Т2= = 0. Значит, Г, лежит в двумерном аннуляторе Гг, и Гг = Г! Л Г,. Поэтому

Г = е„+1 л Г, -f г; Л Ti = (е„+, -f Г!) Л Ти

что и завершает доказательство.

Этот результат снова дает информацию о грассмановых многообразиях, на этот раз о Gr(2, L):

19. Следствие. Каноническое отображение Ог(2, L)- -P(A(L)) отождествляет при п^З грассманиан плоскостей в L с пересечением квадрик в P{A?{L)).

Доказательство. Плоскости в L отвечают прямым разложимых 2-векторов A?{L). Условие разложимости 2-пектора Z rle,-, Л е,-, согласно предложению п. 18 имеет вид

.<2

( Z Г' е/, л еЛ Л ( Z Г'%;, Ле,Л = 0.

YPФ^Ы{iu /г) = О,

где каждая сумма слева отвечает одной четверке индексов 1 ft, < 2 < 3 < 4 м и е(Л,2,/1,/2) есть знак перестановки множества [iy, 12, /1, /2} = {ki, ki, кз, k}, размещающей эту четверку в порядке возрастания.

В частности, при п = 4 получается одно уравнение:

712j34 J13J24 JUJZ Q

Иными словами, Gr(2, Ж') есть четырехмерная квадрика в Р(Л^(Х*)) = Р(Х^). СЗна называется квадрикой Плюккера.

20. Внешнее умножение и двойственность. Пусть dim L = п. Согласно следствию п. 5 и известной симметрии биномиальных коэффициентов

dimA{L)=(J) = ( :i J = dimA -(L)

для всех 1 р п. Это наводит на мысль, что между AP(L) и A ~(L) должен существовать либо канонический изоморфизм, либо каноническая двойственность. С точностью до небольшой детали верно второе.

Рассмотрим операцию внешнего умножения

А (L) X Л - (L) Л (L): {Ти Тч) -> Г, Л Т^.

Посколыуу она билинейна, она определяет линейное отображение A(L)->S(A -L. A L)(A -(L))* ® A L

(последний изоморфизм - частный случай описанного в п. 5 § 2). Ядро этого отображения нулевое. Действительно, пусть {ей ...

еп) - базис L. Положим Г, A72 = (7 i, Т2) ei А ... Ле , где rieAp(L), Т2 A -p{L). Очевидно, {Ти Тг) -билинейное скалярное произведение между Ap(Z.) и A -p{L). Построим в A{L) и A -~{L) базисы из разложимых р-векторов и (п - р)-векторов {е А А е<р}, {е/, Л Л е/ р}. 1 < М < < /р < п, 1 /1 < ... < / р п. Отождествим Ap(L) и A -p(L) с помощью линейного отображения, которое ставит в соответствие р-вектору е.-, Л Л е,р {п - р)-вектор е/, Л Л е/ р, для которого

{м, ip, /1.....jn-p} = {1.....п}. Тогда {Ти Т2) будет скалярным произведением на Ap{L) с диагональной матрицей Грама вида diag(±l, ±1). Оно невырождено, в частности, его левое ядро равно нулю.

Итак, мы построили канонические изоморфизмы

Л (L) -> (А(L))* ® А (L).

При р = п~1 получаем A -(L)->-L*® A (L), что и объясняет изоморфизм P(A -(L))->P(L*) из п. 18: тензорное умножение L* на одномерное пространство A (L) не меняет множество прямых.

В следующем параграфе мы продолжим изучение связи внешнего умножения с двойственностью, введя в рассмотрение внешнюю алгебру A(L*).