этом отождествлении скалярному произведению на L ставится в соответствие линейное отображение L-L*, которое отвечает рассмотрению этого скалярного произведения как функции от одного из своих аргументов при фиксированном втором. Таким образом, наши тензорные конструкции § 2 обобщают конструкции части 2.

д) Приведем еще один пример: структурный тензор Jf-алгебры. Здесь мы будем понимать под Jf-алгеброй линейное пространство L вместе с билинейной операцией умножения Z,XL->L: (/, т)-*--у 1т, не обязательно коммутативной или даже ассоциативной, так что, например, алгебры Ли подходят под это определение.

Согласно утверждению б) теоремы н. 3 § 1 умножение можно определить также как линейное отображение L®L-yL. В п. 5 § 2 мы отождествили пространство S(L®L, L) с {L<S)L)*®L или, пользуясь еще п. 4 § 2 и ассоциативностью, с L* ® L* ® L. Следовательно, задать на пространстве L структуру Х-алгебры - это все равно, что задать на нем тензор типа (2, 1), называемый структурным тензором этой алгебры.

2. Тензорное умножение. В соответствии с п. 4 § 2 мы можем отождествить пространство Tp{L) с (L®(g) (L*)®) и затегл с пространством полилинейных отображений

h LX-- - XEXLX ...Х1--Ж.

Два таких полилинейных отображения типа (р, q) и (р', q) можно тензорно перемножить, получив в результате полилинейное отображение типа (р р', q Я')

(f ® g) (ll, lp, Il, lp, h, -, lq, и , . lq) =

= lp, ll , lq)g[l\, lp-, l\ , lq)

где li, IjL, ti, li e L . Из этого определения сразу же видна билинейность тензорного умножения по его аргументам:

(a/i + bh) 6b-ja{fy® g) + b (/, ® g); f ® (og, -f bgi) = a (f (8) g,) + b{f® gg),

a также его ассоциативность:

(f ® g) ® /г = f (8) (g ® fl).

Однако око не коммутативно: f®g, вообще говоря, не совпадает eg®/.

Если не переходить к интерпретации тензоров как полилинейных отображений, то тензорное умножение можно определить с помощью операций перестановки п. 3 § 2, с учетом ассоииатпвности, как отображение

/ : Г® ... ® Г ® L ® ... ® L ® Г® .. . ® Г ® L ® ... ® L ->

Р q р' q

- L* ® .. ® L®L(E) .. . ®L

Р+р' q + q

т

где о переставляет третью группу из р' индексов на места после первой группы из р индексов, сохраняя их относительный порядок и относительный порядок остальных индексов. В этом варианте билинейность тензорного умножения столь же очевидна, а его ассоциативность превращается в некоторое тождество между подстановками, которое читателю легче увидеть самому, чем следить за длинными, но банальными объяснениями.

3. Тензорная алгебра пространства L, Положим

T(L)= TUL) р. 9-=1

(прямая сумма линейных пространств). Это бесконечномерное пространство вместе с операцией тензорного умножения в нем, определенной в предыдущем пункте, называется тензорной алгеброй пространства L.

Заметим, что над полем комплексных чисел бывает важно рассматривать расширенную тензорную алгебру, являющуюся прямой суммой пространств L ®L ® Z.® ® L*®. Например, полу-торалинейная форма на L как тензор лежит в L*®L*. По недостатку места мы не будем систематически изучать эту конструкцию.

§ 4. Классические обозначения

1. В классическом тензорном анализе тензорный формализм описывается в координатных обозначениях. Ими и сейчас широко пользуются в физической и геометрической литературе, и этому языку следует отдать должное: он компактен и гибок. В этом параграфе мы введем его и покажем, как выражаются на нем различные конструкции, описанные выше.

2. Базисы и координаты. Пусть L - конечномерное линейное пространство. Выберем в нем базис {е^ е„} и будем задавать

п

векторы L их координатами (а*.....а ) в этом базисе: x f-

В L* выберем двойственный базис(е', е }, (е', e) = бj==0 при 1=7/; 1 при i - j, и векторы из L* будем задавать координа-

п

тами (bi, Ьп)- х Расположение индексов в обоих слу-

чаях выбирается так, чтобы в суммировании участвовали пары одинаковых индексов, один из которых находится наверху, другой внизу.

В Z,®®L® построим тензорное произведение рассмотренных базисов

ep®e/j® ... ®е, jl</ft<n,

Любой тензор TeTl (L) задается в нем своими координатами

pi, lq.

Г = Е 1 ® ® е'р ® е/ ® ... ® е,-.

Заметим, что суммирование здесь снова распространено на пары одинаковых индексов, один из которых верхний, другой - нижний. Зто настолько характерная черта классического формализма, что зачастую принимается соглашение опускать знак суммы во всех случаях, когда подразумевается такое суммирование.

В частности, при этом соглашении векторы из L записываются в виде aej, а функционалы в виде bie\ Скалярное произведение между L* и L, т. е. значение функционала 6,е' на векторе а'е запишется abi или 6/0.

Более того, можно пойти еще дальше по этому пути экономии и не писать сами векторы е,- и е'. Тогда элементы L записываются в виде ai, элементы L* - в виде bi, а общий тензор Т е 7р (L) - в виде Г^ Иными словами, в классической записи тензора Т

явно указаны: координаты, или компоненты Т в тензорном базисе L* ® 0 L® пронумерованные как элементы тензорного базиса; номера являются сложными индексами; ковариантная часть индекса (ii, ...,ip) пишется внизу, а контравариантная (/i,..., /,)- наверху;

подразумевается: выбор исходного базиса {ei, ...,£ } в Z-, по которому строится двойственный базис {е\ е } в L* и затем тензорные базисы во всех пространствах Tl{L).

Иногда удобно рассматривать тензоры, лежащие в пространствах, где сомножители L и L* расположены в ином порядке, чем принятый нами, например, L®L* вместо L*®L, или L®L*® ® L® L. Указание на это делается с помощью блочного расположения сложных индексов у координат тензора. Например, тензор Те L® L* можно задавать компонентами, которые обозначаются Т{, а Т eL® L*® L® L - компонентами Т, . .

3. Некоторые важные тензоры. К ним относятся:

а) Метрический тензор gi,-. Согласно нашим обозначениям он лежит в {L) и в силу г) п. 1 § 3 может представлять скалярное произведение на L. Его значение на паре векторов а\ Ь' равно Е gijdb или просто gijab. Таким образом, компоненты метрического тензора -это элементы матрицы Грама исходного базиса L относительно соответствующего скалярного произведения.

б) Матрица Л). Это - элемент Т\ (L), т. е., в силу в) п. 1 § 3, линейное отображение L в себя. Оно переводит вектор а' в вектор с i-u координатой Е пли просто А]а . Тензор валентности р-\- д можно представлять себе в виде р -f 9-мерной матрицы , обычные матрицы плоские.

в) Тензор Кронекера Ь]. Это элемент Т\ (L), представляющий тождественное отображение L в себя.

г) Структурный тензор алгебры. Согласно д) п. 1 § 3 он лежит в tI (L) и потому записывается покомпонентно в виде у^/- Он задает билинейное умножение в Z, по формуле

Полная запись: а'е. Z i)= (ZI УЬ<)к-

4. Преобразование компонент тензора при замене базиса в L. Пусть Л| - матрица замены базиса в L: е^ = А\е^\ Bj - матрица перехода от базиса {е*}, двойственного {et}, к базису {е'*}, двойственному {е'й}- Нетрудно убедиться, что B = (V: эту матрицу называют контраградиентной к А.

Координаты а' в базисе е^} вектора, первоначально заданного координатами а' в базисе {е.}, будут В'а*.

Аналогично, координаты 6,- в базисе {е'} функционала (или ковектора ), первоначально заданного координатами bt в базисе {е% будут Л,6.

Чтобы найти координаты Т'У [ъ штрихованном тензорном

базисе тензора, первоначально заданного координатами г(.до-

статочно теперь заметить, что они Преобразуются так же, как координаты тензорного произведения -векторов и р-ковекторов.

l p h p *l l p

He забывайте, что справа подразумевается суммирование по парам одинаковых индексов.

В классическом изложении эту формулу кладут в основу определения тензоров.

Именно, тензором типа (р, q) на п-мерном пространстве называют отображение Т, которое каждому базису L ставит в соответствие семейство из пр+ компонент-скаляров Т'р у'j/, приче.ч такое, что при замене базиса посредством матрицы А замена ко.м-понент тензора происходит по выписанным выше формулам.

5. Тензорные конструкции в координатах.

а) Линейные комбинации тензоров одинакового типа. Здесь формулы очевидны:

(аТ -f ЬГ) = аТ -{? + ferJ - f .

lp l p

б) Тензорное умножение. Согласно определению в п. 2 § 3

(Г Т') iq = ti qph ч'

в частности, разложимый тензор имеет компоненты Г;, ... TjpT>K..

в) Перестановки. Пусть о - перестановка индексов 1,..., р, т - перестановка индексов \,...,q\ : Гр()-7р(L) - линейное отображение, отвечающее этим перестановкам, как в п. 3 § 2, Тогда для любого ТеТЦЬ) имеем

r) Свертка. Пусть ае{1, p}, be {I, q}. Как в п. 8 § 2, имеется отображение Tp(L)-yTpZ\{L), уничтожающее а-й множитель L* и 6-й множитель L с помощью отображения свертки Ь*®Ь-Ж, которое является обь5чным скалярным произведением векторов и функционалов: {bi)®{ai)i~>bia. Поэтому, обозначая через Т' тензор Т, свернутый по паре индексов (а-й нижний, 6-й верхний), получаем

(справа суммирование по k). Итерируя эту конструкцию, получим определение свертки по нескольким нарам индексов.

.Мы уже убедились, что многие формулы тензорной алгебры пишутся в терминах тензорного умножения и последующей свертки по одной или нескольким парам индексов. Повторим их для закрепления:

gab - свертка ((gij) ® (а') ® (6)).

Скалярное произведение:

bla - свертка ((6/) ® (а')).

Координаты тензора в новом базисе, или, с активной точки зрения , образ тензора при линейном преобразовании основного пространства:

Г( ; J> - свертка ((Л ® ... ® Д) ® (В (g) ... ® m ® Л.

Умножение в алгебре:

а' Ы - свертка ((структурный тензор) ® (а') ® {Ь')-. Еще один пример - умножение матриц:

(Л;) (В/) = (Л|В0 - свертка (Л, ® В{).

Еще раз напомним, что для полного определения свертки следует указать, по каким индексам она производится; в приведенных примерах это либо очевидно, либо ясно из приведенных ранее полных формул.

В общем, можно сказать, что операция свертки в классическом языке тензорной алгебры играет такую же улифицирующую роль,

как операция умножения матриц в языке линейной алгебры. В § 4 ч. 1 мы подчеркивали, что георетико-множественные операции разной природы единообразно описываются с помощью матричного умножения. К тензорной алгебре и свертке, скомбинированной с тензорным умножением, это замечание применимо в еще большей мере.

д) Подъем и опускание индексов. Согласно определению в разделе в) п. 8 § 2 подъем а-го индекса и опускание fe-ro индекса - это линейные отображения

Tl{L)-Tlt\{L), TliD-yTliUD.

которые индуцируются некоторыми изоморфизмами g: L*-L или g~: L-L*: следует заменить в произведении g-й

множитель L* на L или соответственно 6-й множитель Z. на L*.

В соответствии с соглашениями в конце п. 2 этого параграфа компоненты полученных тензоров следует записывать в виде

Если условиться Применять после отображения подъема (спуска) индекса отображение перестановки, перегоняющее новый comhojkh-тель L направо, а L* налево, пока он не станет соседствовать со старыми сомножителями, то можно сохранить прежний вид записи компонент.

Как мы уже упоминали, изоморфизмы g: L*->L и g- . L-L* в приложениях чаще всего происходят из симметричной невырожденной билинейной формы gij на L. Поскольку она сама является тензором, операции подъема и опускания индексов можно применять и к ней. Опишем этот формализм подробнее.

Форма gij ставит в соответствие вектору а' линейный функционал

bZgiiaV.

Координаты этого функционала в двойственном базисе L* суть gijU (суммирование по i), или ввиду симметрии giiuL Иными словами, опускание (единственного) верхнего индекса тензора а' с помощью метрического тензора gi, приводит к тензору

atgiju.

Отсюда сразу же получается общая формула для опускания любого числа индексов у разложимого тензора и затем по линейности у любого тензора:

в частности, мы можем воспользоваться ею для вычислегиш тензора g>, получающегося из gij подъемом индексов. Действительно,

gil = gihg!lg .

Прочтем здесь правую часть как формулу для (/, /)-го элемента матрицы, получающейся умножением матрицы (gik) на матрицу

(JLi ёцё'- Так как слева также стоит матрица (gik), очевидно,

т. е. матрица (g*) обратна к матрице (gij) (учесть симметричность). Это же вычисление показывает, что g{ есть тензор Кронекера.

Поэтому общая формула для подъема индексов имеет внд

Ib+l п'пт iq

Если мы хотим опустить (соответственно поднять) другие наборы индексов, формулы очевидным образом видоизменяются.

§ 5. Симметричные тензоры

1. Пусть L - фиксированное линейное пространство и T,(L) = = L® , 9 1. В п. 3 § 2 мы показали, что кажд.ой перестановке а из группы Sg перестановок чисел 1, д можно поставить в соответствие линейное отображение fa:Tl(L) Т^(Ь), которое действует на разложимых тензорах по формуле

fa (/l ® ® /fl) = /а(1) ® . ® laiq)-

Назовем тензор Т е Т^{1) симметричным, если / (7)= Т для всех о е Sq. Очевидно, симметричные тензоры образуют линейное подпространство в Tl(L). Все скаляры удобно считать симметричными тензорами. При отождествлении из г) п. 1 § 3 симметричные тензоры из Tl(L*) отвечают симметричным билинейным формам на L.

Обозначим через Si(L) подпространство симметричных тензоров в T(L). Мы построим сейчас проектор S :Tl(L)-*-Tl(L), образ которого будет совпадать с S(L), предполагая, что характеристика основного поля равна нулю или хотя бы не делит q\. Он называется отображением симметризации. В классических обозначениях вместо S{T) пнщут

2. Предложение. Положим

= Ь Z h-Tl(L)-yn(L).

Тогда = S ы Im S = S(L).

Доказательство. Очевидно, результат симметризации всякого тензора симметричен, так что lmSc:S(L). Наоборот, на симметричных тензорах симметризация является тождественной операцией, так что если TeS(L), то Т = S(T). Это показывает одновременно, что ImS = S*(L) и что 5 = 5.

3. Пусть {ei, Сп} - базис пространства L. Тогда разложимые тензоры ® ... ® ei образуют базис (L), а их симметризации S(ei® ... ®ег) порождают S (L). Введем обозначение

S(e.-, ® ... ®ед==ег, ... е,.

Формальное произведение е, е^ не меняется при перестановке индексов, и можно условиться выбирать в качестве канонической записи таких симметричных тензоров запись е° ... где ai О, fii + +ci = q; здесь число аг показывает, сколько раз вектор ei фигурирует в ® ... ® е,-.

4. Предложение. Тензоры e°i ... е°п е (L), а, + ... + а„ = 9, образуют базис в пространстве S(L), которое, таким образом, можно отождествить с пространством однородных многочленов степени q от элементов базиса L.

Доказательство. Мы должны лишь проверить, что тензоры ... е°п линейно независимы в Tl{L). Если

Ус ef...c> = 0.

S(ES-°ni® ® ... ®е„55 ... ®е„) = 0.

Собирая в левой части подобные члены, нетрудно убедиться, что коэффициентами при элементах тенйорного базиса пространства TL) окажутся скаляры Са...а^, умноженные на целые числа, состоящие из произведений простых чисел q. Поскольку характеристика Ж по предположению больше q\, из равенства нулю этих коэффициентов следует, что все Са, ...а„ равны нулю.

5. Следствие, dim S (L) = ( + J ) .

6. Положим S(L) = 0S(L). В силу предложения п. 4 S(L)

можно отождествить с пространством всех многочленов от элементов базиса L. На этом пространстве имеется структура алгебры, умножением в которой является обычное умножение многочленов. Однако сразу, возможно, не ясно, не зависит ли это умножение от выбора исходного базиса. Поэтому мы введем его инвариантно. Поскольку ниже приходится рассматривать все S (L) одновременно, мы считаем, что характеристика Ж равна нулю.

7. Предложение. Введем на пространстве S{L) билинейное умножение по формуле

7-,Г2 = 5(Г, ®Г2). fSUL), gSHD.

Оно превращает S{L) в коммутативную ассоциативную алгебру над полем Ж. В представлении симметричных тензоров в виде

многочленов от элементов базиса L это умножение совпадает с умножением многочленов.

Доказательство. Провериа! сначала, что для любых тензоров TieToiL), Tie. То {Ц имеет место формула

S (S (ГО ® Гг) = S (Г, ® .S (Гг)) = S (Г, ® Т^). В самом деле,

5(Г,)®Г2 = - /о (Г,)® Го.

5(5(7-,)® Г2) = - XI ( (7-0® 7-2).

oeSp

Но 5(fa(ri)® 72) = 5{7 ®/ г) для любых aeSp. Это очевидно для разложимых тензоров 7 i, и следует для остальных по линейности. Поэтому сумма справа состоит из р! слагаемых 5(Г,®72), так что

5(5 (Г,)®Г2) = 5(Г, ® Гг).

Аналогично устанавливается второе равенство.

Отсюда легко вывести, что на симметричных тензорах операция {Ту, Ti)y~S(Tx® T2)=TiTi ассоциативна. Действительно,

(TJi) Ts = S{S {Ti ® Гг) ® Гз) = S (Г, ® Га ® Гз)

и аналогично

Ti {Т2Т3) = S (Г, ® S (Ti ® Гз)) = S (Г, ® Г2 ® Гз).

Кроме того, она коммутативна: формула 5(Г1 ® Г2) = 5(Г2 ® Г,) очевидна для разложимых тензоров и следует для остальных по линейности.

Из этих утверждений следует, что

что завершает доказательство.

8. Построенная выше алгебра S{L) называется симметрической алгеброй пространства L.

Элементы алгебры S{L*) можно рассматривать как полиномиальные функции на пространстве L со значениями в поле Ж: элементу f е L* ставится в соответствие он сам как функционал на L, а произведению элементов в S{L*) и их линейной комбинации - произведение и линейная комбинация соответствующих функций. Не вполне очевидно, что разные элементы S{L*) различаются также как функции на L. Мы оставляем этот вопрос читателю в качестве упражнения. Для симметрических алгебр над конечными полями, которые мы введем ниже, это уже не так: например, функция х^ - х тождественно равна нулю в поле Jf из р элементов.

9. Второе определение симметрической алгебры. В принятом

нами определении симметрической алгебры с помощью оператора S используется деление на факториалы. Это невозможно над полями конечной характеристики и в теории модулей над кольцами, где формализм тензорной алгебры также существует и весьма полезен. Поэтому мы вкратце опишем другое определение симметрической алгебры пространства L, в котором она реализуется не как

подпространство, а как факторпространство Го(/--) =07о ()-

Для этого рассмотрим двусторонний идеал I в тензорной алгебре To{L), порожденный всеми элементами вида

T-f (T), Т^Т^Щ, asSp, р=1, 2, 3, ...

Он состоит из всевозможных сумм таких тензоров, слева и справа тензорно умноженных на любые элементы To(L). Нетрудно видеть,

что / = ф/, где 1 = 1 (]Tq{L), т. е. этот идеал градуирован. Положим

S(L) = ro(L)

как факторпространство. То же рассуждение, что в § И ч. 3, показывает, что

S (L) = ф § (L), SiL) == П ЩЦ .

Благодаря тому, что / - идеал, в S{L) можно ввести умножение по формуле

(Ti + I)iT2 + I) = Ti®T4 + I.

Оно билинейно и ассоциативно, так как это верно для тензорного умножения. Кроме того, оно коммутативно, ибо если Ту, Гг разложимы, то Тч® Ту = fa{Ti® Тч) для подходящей перестановки о и, значит, Ti ® Гг-Гг® Ti е/. Таким образом, S{L) есть коммутативная ассоциативная Х-алгебра. Можно показать, что естественное отображение L-S{L): li~>l-\-I является вложением и что в терминах любого базиса пространства L элементы 5(L) однозначно представляются как многочлены от этого базиса. Элементы Sp{L) отвечают однородным многочленам степени р.

Если характеристика Ж равна нулю, то сквозное отображение

S{L)-yTo{L)-S{L)

является изоморфизмом алгебр, сохраняющим градуировку. Поскольку S{L) существует в более общей ситуации, для алгебраических нужд симметрическую алгебру удобно вводить именно таким способом,