б) Подпространство Ло. По определению оно порождено всеми векторами из Ж вида

(/i..... +4 ..-,0- (/., ., .....lp) - ih.....4 lp).

ill, al lp) - aili, If, lp), аеЖ.

в) Тензорное произведение Li® ... ®Lp. По определению

Ly ® ... ® Lp = м/мс, /,® ... ®/p = (/i, .... /р) +JceL, (8)...® Z-p, /: LiX---XLp-Li® ...®Lp, tiU, lp) = h® ...®lp.

Здесь jM/jMo - факторпространство в обычном смысле слова. Элементы Li® ... ®Lp называются тензорами, h® ... ®/р -разложимыми тензорами. Поскольку семейства (/i, ...,/р) составляют базис Jt, разложимые тензоры U® ... ® lp порождают все тензорное произведение Ly® ... ® Lp, но отнюдь не являются базисом: между ними есть много линейных зависимостей.

Основное свойство тензорных произведений описано в следующей теореме:

3. Теорема, а) Каноническое отображение

t: LiX-.-XLp->Li® ...<S>Lp, (/ .... /р) ->, ® ... ®/р,

является полилинейным.

б) Полилинейное отображение t универсально в следующем смысле слова: для любого линейного пространства М над полем Ж и любого полилинейного отображения s: L\X XLp-M существует единственное линейное отображение f: Ly® ... ® Ln-M такое, что s - fot. Мы будем кратко говорить, что s проводится через f.

Доказательство, а) Мы должны проверить следующие формулы:

Л® ... ®( + )® ...®/р =

= Zi ® ... ® ® ... ® /р -f /i ® ... ® ® ... ® /г, Zi® ... ®(aZ,)® ... ®/p = a(Zi® ... ®/,® ...®/р), т. е., например, для первой формулы

(/..... +/;...., 1р) -f jo=[(/ ...../р) -f .#о] -f

+ [(/.. . .....Q + J<o].

Вспоминая определение факторпространства (п. 2 и 3 § 6 ч. 1), и систему образующих подпространства Жо, описанную на шаге б) в п. 2 этого параграфа, немедленно получаем эти равенства из определений.

б) Если f вообще существует, то условие s - ft однозначно определяет значения f на разложимых тензорах:

/(/l®...®/p) = fo(/ .... lp) = s{h.....lp).

Поскольку последние порождают Li® ... ® Lp, отображение f единственно.

Для доказательства существования f рассмотрим линейное отображение g: М-ТЛ, которое на базисных элементах Ж определено формулой

gdu /p) = s(i, /р).

(Za ,... p(i. р)) E ,...ipS(i.....У-

Нетрудно убедиться, что Ж^ а Кег g. Действительно,

g[ih, + lp) - {li, -, Ih ,lp) - {lh .lh lp)]=

= s{lu Il-hth . tp) - s{ti..... ...../p) -

- s(/i, .... l], lp) = 0

в силу полилинейности s. Аналогично проверяется, что g аннулирует образующие Жо второго типа, связанные с умножением одной из компонент на скаляр.

Отсюда вытекает, что g индуцирует линейное отображение

f: Ж/Жо = Ег<В> ...<B)Lp->M

(см. предложение п. 8 § 6 ч. 1), для которого

f(/,®...®/p) = s(/ .... /р).

Это завершает доказательство.

Теперь мы приведем несколько непосредственных следствий этой теоремы и первые приложения нашей конструкции.

4. Пусть 5(Z,i, .... Lp; М)-множество полилинейных отображений Li X XLp в М. В теореме п. 3 мы построили отображение множеств

[Li.....Lp; М) -> (L, ® ... ® Lp, М),

ставящее в соответствие полилинейному отображению s линейное отображение f со свойством s = fct. Но левая и правая части являются линейными пространствами над Ж (как пространства функций со значениями в векторном пространстве М: сложение и умножение на скаляр производится поточечно). Из конструкции очевидно, что наше отображение является линейным. Более того, оно является изоморфизмом линейных пространств. Действительно, сюръективность следует из того, что для любого линейного отображения f: Li 0 ... <B>Lp-M отображение s==fct полилинейно в силу утверждения а) теоремы п. 3. Инъективность следует из того, что если 8фО, TofctOii потому /0. Окончательно, мы получили каноническое отождествление линейных пространств

(Li, .... Lp: M) = ,(L,® ... ®Lp; М).

Таким образом, конструкция тензорного произведения пространств сводит изучение полилинейных отображений к изучению линейных

отображений путем введения новой операции на категории линейных пространств.

5. Размерность и базисы, а) Если хоть одно из пространств Ll, Lp нулевое, то их тензорное произведение является ну-лeвьJ\l.

В самом деле, пусть, скажем, Lj = 0. Любое полилинейное отображение f: Li X . XLp-M при фиксированных U&Li, линейно на Lj, но единственное линейное отображение нулевого пространства само нулевое. Значит, f = О при всех значениях аргументов. В частности, универсальное полилинейное отображение t: Ll X XLp-Li® ... ®Lp является нулевым. Но его образ порождает все тензорное произведение. Поэтому последнее нульмерно.

б) dim(Li® ... ®Lp) = dim Ll ... dim Lp.

Если хоть одно из пространств нулевое, это следует из предыдущего результата. В противном случае будем рассуждать так: размерность Li ® ... ® Lp совпадает с размерностью двойственного пространства S(Li® ... ®Lp, X). В п. 4 мы отождествили его с пространством полилинейных отображений 2(LiX ... XLp, Ж). Выберем в пространствах L,- базисы (е'Л е' . Всякому полилинейному отображению

f: LiX...XLp-Ж

поставим в соответствие набор из П] ... Пр скаляров

fill.....е'О, 1< <п„ 1</<р.

В силу свойства полилинейности этот набор однозначно определяет f:

Кроме того, он может быть произвольным: правая часть последней

формулы определяет полилинейное отображение векторов (л: , ...

при любых значениях коэффициентов. Это означает, что пространство полилинейных отображений Ll X ... X LpJ?* имеет размерность П\ ... Пр = dim L\ ... dim Lp, что завершает доказательство.

в) Тензорный базис L\® ... ® Lp. Предшествзющее рассуждение позволяет установить также, что тензорные произведения

® ... ® е'0 образуют базис пространства Li ® ... ®Lp (считаем, что все пространства L, имеют размерность 1 и, для простоты, конечномерны). В самом деле, эти тензорные произведения порождают Li ® ... ® Lp, ибо через них линейно выражаются все разложимые тензоры. Кроме того, их количество в точности равно размерности Li ® ... ® Lp.

6, Тензорные произведения пространств функций. Пусть Si, ... Sp - конечные множества, f(S,)-пространство функций на

Si со значениями в Ж. Тогда имеется каноническое отождествление

F(SiX..-XSp) = F(S,)<S)...®f (Sp),

которое ставит в соответствие функции 6(s,.....Sp) элемент 65®...

... ®6sp (см. п. 7 § 1 ч. 1). Поскольку оба этих семейства образуют базис своих пространств, это действительно изоморфизм. Если fiF(Si), то

f.®...®/p = f Z А(51)бЛ®... ®f Z fp{Sp)6s

перейдет при этом изоморфизме в функцию

(S Sp)-fy(S,)...fp{Sp),

т. е. разложимые тензоры отвечают разделяющимся переменным .

Если Si = ... =Sp = S, то тензорное произведение функций на S соответствует обычному произведению их значений в независимых точках S .

Именно в таком контексте тензорные произведения чаще всего появляются в функциональном анализе и физике. Однако алгебраическое определение тензорного произведения подвергается в функциональном анализе существенным изменениям, связанным с учетом топологии пространств; в частности, его обычно приходится пополнять по разным топологиям.

7. Подъем поля скаляров. Пусть L - линейное пространство над полем R,L - его комплекснфикация (см. § 12 ч. 1). Поскольку поле С можно рассматривать как линейное пространство над R (с базисом 1, /), мы можем построить линейное пространство C®iL, порожденное базисом l®ei, 1®е„, i®ei, ... ..., г® Сп, над R, где {ей ..., е„} - базис L. Ясно, что R - линейное отображение

dSiLL: l®e,.he,-, i<Sie,>-ie,

определяет изоморфизм С ® L с L.

Более общо, пусть Ж cz К - поле и его подполе, L - линейное пространство над Ж. Рассмотрев сначала К как линейное пространство над Ж, построим тензорное произведение К® L. После этого введем на нем структуру линейного пространства над К, определив умножение на скаляры а К формулой

а{Ъ®1) = аЬ®1\ а,Ъ^К, I L.

Чтобы проверить корректность этого определения, построим пространство Ж, свободно порожденное э.пементами КУ(Г,и его подпространство о, как в п. 2, так что К®Ъ--Ж1Ж> . Опре.аелим умножение на скаляры из /Г в Ж, положив на базисных элементах

a(b,l) = (ab,l); a,bK, lL,

и распространив это правило на остальные элементы KXL по Х-линейности. Непосредственная проверка показывает, что Л превращается в К-линейное пространство, а Ло - в его подпространство, так что J(/J(o = /С ® L также становится линейным пространством над К. Это и есть общая конструкция подъема поля скаляров, упомянутая в п. 15 § 11 ч. 1.

Важный частный случай: при К -Ж линейное пространство Ж ® L над Ж канонически изоморфно L. Этот изоморфизм переводит а® I в al.

§ 2. Канонические изоморфизмы и линейные отображения тензорных произведений

1. Тензорное умножение обладает некоторыми алгебраическими свойствами операций, называемых умножениями в других контекстах, например, ассоциативностью. Однако в формулировке этих свойств имеется своя специфика из-за того, что тензорное умножение есть операция над объектами категории. Например, пространства (Ll® Ll)® Ls и Li®(L2® Ls) не совпадают, как явствует из сравнения их конструкции: они лишь связаны канонически определенным изоморфизмом.

В этом параграфе мы опишем ряд таких элементарных изоморфизмов, очень полезных при работе с тензорными произведениями. Предупредим читателя, однако, что мы вынуждены будем ограничиться лишь введением в теорию канонических изоморфизмов. Главный вопрос, систематическое исследование которого мы опустим, состоит в их совместности. Предположим, например, что у нас есть два естественных изоморфизма между некоторыми тензорными произведениями, по-разному скомпонованных из нескольких элементарных естественных изоморфизмов. Обязательно ли эти изоморфизмы совпадут? Можно проводить непосредственную проверку в каждом конкретном частном случае или попытаться построить общую теорию, которая оказывается довольно громоздкой.

Аналогичные задачи возникают в связи с естественными отображениями, которые не являются изоморфизмами, например такими, как симметризация или свертка.

2. Ассоциативность. Пусть L\, Lp - линейные пространства над Ж. Мы хотим построить канонические изоморфизмы между пространствами вица (L\® L) {...® Lp), получающимися в результате тензорного умножения Li, Lp группами в разном порядке, который устанавливается расстановкой скобок. Самый удобный способ, автоматически обеспечивающий совместимость, состоит в том, чтобы построить для каждой расстановки скобок линейное отображение Li® ... ® Lp-y(Li® L2)(...® Lp) с помощью универсального свойства из утверждения б) п. 3 § 1 и проверить, что оно является изоморфизмом.

Мы подробно рассмотрим конструкцию Li®L2®Z-3-(Li®Z,2) ® ® з; общий случай совершенно аналогичен.

Отображение Li X Lg-Li ® Lg: (h, h)- U ® k билинейно. Поэтому отображение Li X 2 X -s--Ci ® Lg)®/,з: (/i, h, h) - ®/2)®/3 трилинейно. Значит, его можно провести через единственное линейное отображение L, ® Lg ® L3- -(Li ® Lg)® L3. По самой конструкции последнее отображение переводит li®l2®lz в (/1®/2)®/з. Выбрав в пространствах L\, Lg, L3 базисы и воспользовавшись результатом п. 5 § 1, получаем, что это отображение переводит базис в базис и поэтому является изоморфизмом.

Окончательно: произведение (Li ® Lg) (... ® Lp) с любой расстановкой скобок можно отождествить с Li ® Lg ® ... ® Lp, просто опустив все скобки; на элементах {1\ ® /2) (... ® /р) это отождествление действует по тому же правилу. Поэтому мы позволим себе писать (/i ®/g)® 4 =/1 ®/g ®/з =/1 ® (Zg ®/з) и т. п.

3. Коммутативность. Пусть а - любая перестановка чисел 1, р. Определим систему изоморфизмов

fc: Li ® ... ®Lp-Lct,i)® ... ® Lo(p)

со свойством fcT = fa°fx для любых а, т. Для этого заметим, что отображение

Li Х - - Х Lp->Lc(i)® .. ®Lc(p): (U, .... Zp)- /a(i)® ®lo{p)

полилинейно. Поэтому оно проводится через отображение fa. Li ® ... ®Lp->-Lo(i)® ... ®Lff(p) в силу утверждения б) теоремы п. 3 § 1. На произведениях векторов оно действует очевидным образом, переставляя сомножители, и рассмотрение его действия на тензорном произведении базисов L\, Lp показывает, что это изоморфизм. Свойство fax = fa°fx очевидно.

Таким образом, мы определили действие симметрической группы Sr, на Li® ... ® Lp. В случае, когда все пространства L, разные, можно пользоваться изоморфизмами fa для однозначного отождествления Li ® ... ® Lp с La(u ® ... ® La{p). В этом смысле тензорное умножение коммутативно. Однако записывать это отождествление в виде равенства, не указывая явно fa (как мы делали

для ассоциативности), опасно, если среди пространств Li, Lp

есть одинаковые.

4. Двойственность. Имеется канонический изоморфизм

lI® ... ®Lp->(l, ® ... ®Lp)\

Чтобы построить его, поставим в соответствие каждому элементу (fi. fp)е lI X X Lp полилинейную функцию fi (А) ... fp(/p) от (/i, /p)eLiX .- XLp. В силу утверждения б) теоремы п. 3 это отображение проводится через отображение Li® ... ®Lo-> (пространство полилинейных функций на Li X XLp). Последнее пространство в силу конструкции п. 4 § I отождествляется с пространством Sf{Li® ... ® Lp, Jf) = (L, ® ... ® Lp)*. Таким образом, мы построили искомое отображение. Чтобы показать, что ООО является изоморфизмом, заметим, что размерности пространств

(L, ® ® Lp) и Z-i ® ... ® Lp совпадают (мы ограничиваемся конечномерными L,). Поэтому достаточно проверить, что наше отображение сюръективно. Но в его образе содержатся функции f\{l\) ... fp{lp), где /, пробегают некоторый базис L и, как в п. 5 § 1, нетрудно убедиться, что они образуют базис S(Li, ...,Lp\ Ж) = (L,® ... ®Lp)*.

Отождествление (L, ® ... ® Lp) с L ® ... ® Z,p с помощью описанного изоморфизма обычно безобидно.

5. Изоморфизм (L,M) с L*®M. Рассмотрим билинейное отображение

CXM-S{L, М): (f, m)[lf(l)m],

где feL*, leL, теМ. Как билинейность выражения f{l}m по f и т, так и его линейность по / очевидны. В силу многократно использованного свойства универсальности ему отвечает линейное отображение

C®M-S{L, М).

Выберем ъ L, М базисы {/], / }, {mi, шь} и в L* - двойственный базис {/, 1°}. Элемент l®mj тензорного произведения базисов L*, М переходит в линейное отображение, которое переводит вектор IkL в l{lk)tni = 6iiiinj. Матрица этого линейного отображения размера 6 X а имеет единицу на месте {ji) и нули на остальных местах. Поскольку такие матрицы образуют базис S{L, М), построенное отображение переводит базис в базис и является изоморфизмом.

Рассмотрим важный частный случай: L = М. Здесь

{L, L)L®L.

Пространство эндоморфизмов S{L, L) содержит выделенный элемент: тождественное отображение idi. Его образ в L* ® L, как видно из предыдущих рассуждений, равен

tl ® к,

где {/а}, {*} - пара двойственных базисов в L н L*. Таким образом, формула для этого элемента имеет одинаковый вид во всех парах двойственных б'азисов.

Кроме того, пространство эндоморфизмов SL, L) снабжено каноническим линейным функционалом следа Тг: 2(1, Е)-уЖ. Из прежних рассуждений следует, что след отображения, которое поставлено в соответствие элементу / ® , равен б,-/ (посмотрите на матрицу), так что общему элементу тензорного произведения L*® L ставится в соответствие число

а а

Этот линейный функционал L* ® называется сверткой. Поз-

же мы дадим определение свертки в более общем контексте.

6. Изоморфизм S(L®M,N) с S(L,S{M,N)). Пространство S{L®M, N) изоморфно пространству билинейных отображений LyM-N. Каждое такое билинейное отображение f: {/, т)- -f{l, т) при фиксированном первом аргументе / представляет собой линейное отображение М-Л^; от / это отображение зависит линейно. Таким образом, получаем каноническое линейное отображение

{L®M, N) = S{L, М; N)-S{L, 56 {М, N)).

Рассуждение с базисами в L, М, N, аналогичное проведенному в предыдущем пункте, показывает, что оно является изоморфизмом (как всюду, пространства предполагаются конечномерными).

(Это отождествление является важным примером общекатегор-ного понятия функторов, сопряженных по Кану .)

7. Тензорное произведение линейных отображений. Пусть Lu ... Lp; Ml, Мр -два семейства линейных пространств,

fr. LiMi -линейные отображения. Тогда можно построить линейное отображение

fi® ... ®fp: Li® ... ® LpMi® ... ® Мр,

называемое тензорным произведением fi и однозначно характеризуемое простым свойством

ifi® ...® /р)(/,®...®д== f,(/,)® ... ®fpilp)

для всех li е Li. Его существование доказывается все тем же стандартным применением утверждения б) теоремы п. 3 § 1, если заметить, что отображение

LiX XLp-> Ml® ... ®Мр: (lu .... lp)fi Hi) ® ... 0 fpdp) полилинейно.

Если все fi суть изоморфизмы, то и fi ® ... ® fp является изоморфизмом.

8. Свертка и подъем индексов. С помощью этой конструкции мы можем дать общее определение свертки по паре или нескольким парам индексов . Пусть у нас имеется тензорное произведение Li® ... ® Lp, причем для некоторых двух индексов i, /е {1,..., р} имеем Li = L*, Lj = L. Свертка по индекса.ч i, j есть линейное отображение

Li® ... ®Lp- Qg Lk, k Ф i. i

которое получается как композиция следующих линейных отображений:

а) Отображение fo, где а - перестановка индексов {1, р), переводяцая i в 1, / в 2 и сохраняющая порядок остальных ин-

дексов:

fa. i, ® ... ® Z.p-> l, ® l,. ® Г & lA = г ® l ® Г ф

б) Свертка первых двух множителей, тензорно умноженная на тождественное отображение остальных:

в) Отождествление

( g L->X®r ® lX

Ж®

кф1,! /

Р

кФ1.1

Если имеется несколько пар индексов (ii, /1), (iV, / ) таких, что Z-i =М% Lj =М, то эту конструкцию можно повторить не-

k k k

сколько раз в применении ко всем парам последовательно. Результирующее линейное отображение называется сверткой по этим парам индексов. Оно зависит от самих пар, но не от порядка проведения сверток по ним. Может оказаться, что {1, р) = = {h, /ь ir, /г}. Тогда получится полная свертка.

Снова рассмотрим тензорное произведение Li ® ... ® Lp и предположим, что для i-ro пространства задан изоморфизм g: L-L . (в приложениях он чаще всего строится с помощью невырожденной симметричной билинейной формы на L,). Тогда линейное отображение

id ® ... ® g ® ... ® id: L, ® ... ® Lj ® ... ® Lp

-* L, ® ... ® LJ ® ... ® Lp

называется опусканием (-го индекса , обратное к нему- подъемом i-ro индекса . Объяснение термина будет дано в следующем параграфе.

Обе конструкции, свертки и подъема/опускания индекса, чаще всего применяются в случае L, = L или L*, когда на L задана ортогональная структура. Возникает масса линейных отображений, связывающих пространства L ®®L®, которые строятся как композиции поднятия и опускания индексов и сверток. Эти отображения играют большую роль в римановой геометрии, где с их помощью (и с помощью аналитических операций типа дифференцирования) строятся важнейшие дифференциально-геометрические инварианты.

9. Тензорное умножение как точный функтор. Фиксируем линейное пространство М и рассмотрим отображение категории конечномерных линейных пространств в себя: Li~L®M на объектах,

ft-f ®idM на морфизмах. Из определений легко усмотреть, что idz.f- -idt®M и

/ g / оg-® idM = (/® idAi) с (g-® id).

Поэтому данное отображение является функтором, который называется функтором тензорного умножения на М.

Покажем, что если последовательность О ->- Z-i -> L -> -* О точна, то и последовательность

f ® idM е ® id.Vf

О -> jL, ® уИ-> 1®М-V /,2 ® /И о

точна. Это свойство называется точностью функтора тензорного умножения. Как и точность функтора S , оно наруилается в категориях модулей, и это нарушение служит важным объектом изучения в гомологической алгебре: ср. обсуждение в § 14 ч. 1.

Проще всего проверить точность, выбрав в Z , L, Z-2 базисы, приспособленные к f, g таким образом, что {i, .... ва) - базис Li,

{/ ( О' (а); <+Р . <+ь} - базис L; {g {е',), ...,g ,)} -базис Z-2. Выбрав еще базис {е , е^} пространства М, получим, что тензорные произведения базисов

\е, ® е]], {f (е^ ® е], е', ® c}, (с^) ® с;}

приспособлены к / ® idM, g ® idM в том же смысле слова.

§ 3. Тензорная алгебра линейного пространства

I. Пусть L - некоторое конечномерное линейное пространство над полем Ж. Любой элемент тензорного произведения

ТЩ) = L ® ... ® L ® t ® ® Z.

р ч

называется тензором на L типа {р, q) и валентности (или ранга) р + Я- Говорят также, что он является смешанным тензором, р раз ковариантным и q раз контравариантным. Первые две части книги фактически были- посвящены изучению следующих тензоров малого ранга.

а) Удобно положить То Щ == Ж, т. е. называть скаляры тензорами ранга 0.

б) T{L) = L, т. е. тензоры типа (1,0) суть линейные функционалы на L. Тензоры типа (О, 1) суть просто векторы из Z-.

в) Т\ (L) = L ® L. В п. Б § 2 мы отождествили L* ® L с пространством SiL, L). Следовательно, тензоры типа (1, I) суть линейные операторы на L.

г) Г2(1)= 1* ® L*.. В п. 4 §2 мы отождествили L*®L* с (L(2)Z-)*, или с билинейными отображениями LXL-Ж. Таким образом, тензоры типа (2, 0) суть скалярные произведения на L. В п. б § 2 мы отождествили L*®L* с S(/**, Z-*)~S(Z-, L*). При