Поэтому

(/l> /2)=

R{R + dR)

Л-dR)

2 + dRY

(7? + dRf =\ + Z\yt + iyi\-+Z ШУ1 + ytdyi + I dyt f).

Поэтому с точностью до третьего порядка малости по dyi

+ ...

С другой стороны, если ф = arccos I2) , то с точностью до ф* при малых ф имеем

(/ 4)Р = (С08ф)2=(1-f + ...у=1-ф2+ ...

Сравнение этих формул завершает доказательство.

§ 11. Алгебраические многообразия и многочлены Гильберта

1. Пусть P{L) - rt-мерное проективное пространство над полем Ж с фиксированной системой однородных координат. Мы уже многократно встречались с проективными подпространствами в P{L) и квадриками, которые определяются соответственно системами уравнений

п

или

п

Более общо, рассмотрим произвольный однородный многочлен, или форму, степени m 1:

Хотя она не определяет функции на P{L), множество точек с однородными координатами (xq-. Хп), для которых f = О, опреде-

лено однозначно. Оно называется алгебраической гиперповерхностью (степени т), заданной уравнением f = 0.

Более общо, множество точек в P{L), удовлетворяющих системе уравнений

где Fi - формы (возможно, разных степеней), называется алгебраическим многообразием, определенным этой системой уравнений.

Изучение алгебраических многообразий в проективном пространстве составляет одну из основных целей алгебраической геометрии. Разумеется, общее алгебраическое многообразие является существенно нелинейным объектом, поэтому, как и в других геометрических дисциплинах, важное место в технике алгебраической геометрии занимают методы линеаризации нелинейных задач.

В этом параграфе мы введем один такой метод, восходящий к Гильберту и дающий с минимумом предварительной подготовки важную информацию об алгебраическом многообразии Vc:P{L). Его идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие алгебраическому многообразию V счетную серию линейных пространств {Im{V)} И изучить ИХ рззмерность как функцию от т. Именно, пусть /m(V)-пространство форм степени т, обращающихся в нуль на V.

Покажем, что существует многочлен Qv{m) с рациональными коэффициентами такой, что dimIm{V)= Qv{m) для всех достаточно больших т. Коэффициенты многочлена Qv являются важнейшими инвариантами V. На самом деле мы установим заметно более общий результат, но для его формулировки и доказательства нам придется ввести несколько новых понятий.

2. Градуированные линейные пространства. Фиксируем раз навсегда основное поле скаляров Ж. Градуированным линейным пространством над Ж будем называть линейное пространство L вместе с фиксированным его разложением в прямую сумму подпро-

странств: L = Ц.Эта сумма бесконечна, но каждый отдельный

=.0

элемент lL однозначно представляется в виде конечной суммы:

;== Е к^ Li, в том смысле, что все кроме конечного числа

их, равны 0. Вектор /, называется однородной компонентой I степени i; если / е то / называется однородным элементом степени L

Пример: кольцо многочленов Л( > от независимых переменных Ко, ..., Хп разлагается как линейное пространство в прямую сумму

фЛ. \ где Л</ состоит из однородных многочленов степени /.

Заметим, что если интерпретировать х,- как координатные функции на линейном пространстве L, а элементы Л( > как полиномиальные

функции на этом пространстве, то линейные обратимые замены координат сохраняют однородность и степень.

Другой пример: / = ф (V], где V - некоторое алгебраи-

ческое многообразие. Очевидно, /сгЛ' и /m(V) = yi)

Более общо, градуированное подпространство М градуирован-

ного пространства L = ®L, -это линейное подпространство,

обладающее следующим свойством: М = {M(]L{). Очевидное

=.0

равносильное условие: все однородные компоненты любого элемента М сами являются элементами М.

Если MczL - пара, состоящая из градуированного пространства и его градуированного подпространства, то факторпространство L/M также обладает естественной градуировкой. Именно, рассмотрим естественное линейное отображение

оо оо ✓ оо ч

ф LJMt ~> L/M: Е (/,- + M,)(Zlt) + M (суммы справа конечны). Оно сюръективно, потому что любой эле-

мент Е к' h , есть образ элемента Е ih + t)- Оно инъек-

1=0 1=0

тивно, ибо если Y, h +М = М, тоУ, h к 1еМ в силу

£=0 1=0

однородности М. Поэтому это отображение - изоморфизм, и мы можем определить градуировку L/M, положив (L/M)i = Li/Mt.

Семейство градуированных подпространств в L замкнуто относительно пересечений и сумм, и все обычные изоморфизмы линейной алгебры имеют очевидные градуированные варианты.

3, Градуированные кольца. Пусть А - градуированное линейное пространство над Ж, являющееся в то же время коммутативной Х-алгеброй с единицей, умножение в которой подчинено условию

AiAj cz Ai+j.

Тогда А называется градуированным кольцом (точнее, градуированной Х-алгеброй). Так как ЖAiCzAi, имеем ЖczAo. Важней-щий пример -кольца многочленов Л* ; в них, конечно, Л<, = Х.

4. Градуированные идеалы. Идеалом I в произвольном коммутативном кольце Л называется подмножество, образующее аддитивную подгруппу А и замкнутое относительно умножения на элементы Л: если fel и as Л, то afeL Градуированным идеалом в градуированном кольце А называется идеал, который как

-подпространство Л градуирован, т. е. / = f9 fm> Ln = I flAm.

Основной пример: идеалы Im{V) алгебраических многообразий в кольцах многочленов Л* ). Стандартная конструкция идеалов такова: пусть S CZ Л - любое подмножество элементов. Тогда множество всех конечных линейных комбинаций Е 1 а,- е А\

является идеалом в Л, порожденным множеством S. Множество S называется системой образующих этого идеала. Если идеал имеет конечное число образующих, то он называется конечно порожденным. В градуированном случае достаточно рассматривать множества S, состоящие только из однородных элементов; порожденные ими идеалы тогда автоматически градуированы. Действительно, однородная компонента степени / любой линейной комбинации

Е citSi также будет линейной комбинацией Е ati Р' ~ однородная компонента а,- степени ki = / - degs,- (degs, - степень Si). Поэтому она лежит в идеале, порожденном S. Если градуированный идеал конечно порожден, то у него есть конечная система однородных образующих: она состоит из однородных компонент элементов исходной системы.

Для упрощения доказательств следует обобщить понятие градуированного идеала и рассмотреть также градуированные модули. Это - последнее из списка нужных нам понятий.

5. Градуированные модули. Модуль М над коммутативным кольцом Л, или Л-модуль, - это аддитивная группа, снабженная операцией ЛХМ-М: (а, т)->ат, которая ассоциативна ((аЬ)т == а{Ьт) для всех а, бе Л, те Л?) и дистрибутивна по обоим аргументам:

(а + 6) m == am + bm, а {т-\- п) = am-\- an.

Кроме того, мы требуем, чтобы lm = m для всех m е М, где 1 - единица в А.

Если Л -поле, то М -просто линейное пространство над Л; можно сказать, что понятие модуля является обобщением понятия линейного пространства на случай, когда скаляры образуют лишь кольцо (см. Введение в алгебру, гл. 9, § 3).

Если Л - градуированная Х-алгебра, то градуированным А-модулем М мы назовем Л-модуль, являющийся градуированным

линейным пространством над Ж, М = фм,-, и такой, что

AiM, cz М,+,

для всех i, j 0. Примеры:

а) Л является градуированным Л-модулем.

б) Любой градуированный идеал в Л является градуированным Л-модулем.

Если М - градуированный Л-модуль, то любое градуированное подпространство с: М, замкнутое относительно умножения на элементы Л, само является градуированным Л-модулем - подмодулем М. По любой системе однородных элементов S czM можно

построить порожденный ею градуированный подмодуль, состоящий из всех конечных линейных комбинаций Е г* > CLieA, s,- е S. Если он совпадает с 7W, то S называется однородной системой образующих М. Модуль, имеющий конечную систему образующих, называется конечно порожденным. Если градуированный модуль имеет какую-нибудь конечную систему образующих, то он имеет и конечную систему однородных образующих: однородные компоненты элементов исходной системы.

Рассмотрение всевозможных модулей, а не только идеалов, в нащей задаче дает большую свободу действий. Умножение на элементы аеА в фактормодуле вводится формулой

а{т-\- N) = am-\- N.

В градуированном случае градуировка на M/N определяется прежней формулой {M/N)i - Mi/Ni. Корректность определения проверяется тривиально.

Элементы теории прямых сумм, подмодулей и фактормодулей формально не отличаются от соответствующих результатов для линейных пространств.

Теперь мы можем приступить к доказательству основных результатов этого параграфа.

6. Теорема. Пусть М - произвольный конечно порожденный модуль над кольцом многочленов Л< = Х1а-о, Хп] от конечного числа переменных. Тогда любой подмодуль NczM конечно порожден.

Доказательство. Мы разобьем его на несколько шагов. Стандартная терминология: модуль, каждый подмодуль которого конечно порожден, называется нётеровым (в честь Эмми Нётер).

а) Модуль М нётеров тогда и только тогда, когда любая бесконечная цепочка возрастаюших подмодулей МусМа ... в М стабилизируется: существует такое Uq, что Ма = Ma+i для всех а ао.

в самом деле, пусть М нётеров. Положим Л^= U Mi. Пусть

, =1

Пи Hft -конечная система образующих в Л^. Для каждого существует такой, что п/еМщу Положим ао = = max{ (/) /= 1, Тогда Ма содержит ft для

всех а^ ао потому М„ = N.

Наоборот, пусть любая возрастающая цепочка подмодулей в М обрывается. Будем строить систему образующих подмодуля N сг М индуктивно: в качестве п\е N возьмем любой элемент; если Пи HiN уже построены, обозначим через MiczN порожденный ими подмодуль и при N-фМ; выберем п,+\ из N\Mi. Этот процесс оборвется через конечное число шагов, иначе цепочка МI с ... с= Л1 , с: ... не стабилизировалась бы.

б) Если подмодуль N cz М нётеров и фактормодуль M/N нётеров, то М нётеров; верно и обратное.

Действительно, пусть M сг Mg сг ... - цепочка подмодулей в М. Пусть Оо таково, что обе цепочки Mi П Л' с Mg П сг - - и (Ml-]- N)/N cz{M2-\- N)/N cz ... стабилизируются при а о-Тогда и цепочка TWi с: TWg ci ... стабилизируется при а ао.

Обратное утверждение очевидно.

в) Прямая сумма конечного числа нётеровых модулей нётерова.

п

Действительно, пусть /И = фЛ/,-, М,- нётеровы. Проведем

=0

индукцию по п. Случай п = 1 очевиден. При п 2 модуль М содержит подмодуль, изоморфный Мп, с фактором, изоморфным

ф Mi- Оба этих модуля нётеровы, так что М нётеров в силу б). <->о

г) Кольцо Л( > нётерово как модуль над самим собой. Иными словами, любой идеал в Л( > конечно порожден.

Это - основной частный случай теоремы, установленный впервые Гильбертом. Доказывается он индукцией по п. Случай п = -1, т. е Л(->==Х, очевиден. В самом деле, любой идеал / в поле Ж совпадает либо с {0}, либо с Ж: если а el, афО, то Ь = =(6а~)ае/ для всех Ь^Ж. Индуктивный шаг основан на рассмотрении ЛС) как Л( ->[л:п]. Пусть /< > с: Л' - идеал. Представим каждый элемент из /< как многочлен по степеням Хп с коэффициентами из Л( ->. Множество всех старших коэффициентов таких многочленов есть идеал /< -> в Л( ->. По предположению индукции он имеет конечное число образующих ф1, ..., ф^. К каждой образующей ф,- подберем элемент = Ф,*;Ч- из /< >, где многоточием обозначены члены низших степеней по Хп. Положим d= max {dl). Многочлены fi, fm порождают в Л< > некото-

рый идеал / с: /< >.

Пусть теперь f = фл:* + (члены низших степеней) - любой элемент из По определению ф е /< - >, так что ф = а1ф1 -Ь ... ... -Ьа ,фт. Если sd, то многочлен f - YifiX принадлежит /( и его степень < s. Действуя аналогичным образом, получим в результате выражение f = g-{-h, где Ле/, а g - многочлен пз /С) степени, меньшей d.

Все многочлены из степени <; d образуют подмодуль / в 4(1- )-модуле, порожденном конечной системой {1, х^, л:~}. В соответствии с предположением индукции о нётеровости Л< ~> и с утверждением в) подмодуль / конечно порожден.

Мы доказали, что / = / -f- / - сумма двух конечно порожденных модулей. Поэтому идеал /< конечно порожден.

Теперь мы можем без труда завершить доказательство теоремы.

Пусть модуль М над Л< > имеет конечное число образующих nii, ... .., шк. Тогда имеется сюръективный гомоморфизм Л' >-модулей

е ... ф Л( ) М: (/i.....fk) fim,.

--г-- -i

к раз

Модуль Л( Ф ... ФЛ( ) нётеров в силу г} и в). Следовательно (см. б)), его фактормодуль М нётеров.

7. Следствие. Любая бесконечная система уравнений Fi == О, ieS, где Fi - многочлены в а<- \ эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме.

Доказательство. Пусть / - идеал, порожденный всеми Fi. Он имеет конечную систему образующих (G/}. Рассмотрим такое конечное подмножество SoCzS, что все С/ линейно выражаются через Fi, teSo. Тогда система уравнений Fi = 0, teSo, эквивалентна исходной, т. е. имеет то же самое множество рещений.

8. Многочлены Гильберта и ряд Пуанкаре градуированного модуля. Пусть теперь М - градуированный конечно порожденный модуль над кольцом Л( >. Тогда все линейные пространства MkCzM конечномерны над Ж. Действительно, если (а,} - однородный Х-базис а[ + ...+ аТ и {т/} - конечная система образующих М, то Mk как линейное пространство порождено конечным числом элементов а/ап/ с deg а,- + deg т,- = k.

Положим dk (М) = dim М^. Формальный степенной ряд от переменной /

ffMit)-Zd,{M)

называется рядом Пуанкаре модуля М.

9. Теорема, а) В условиях предыдущего пункта существует такой многочлен f{t) с целыми коэффициентами, что

б) в тех же условиях существует такой многочлен P{k) с рациональными коэффициентами и такое число N, что

dk (М) = Р (k) для всех kN.

Доказательство. Выведем сначала второе утверждение из

первого. Положим/(/)= Е о и приравняем коэффициенты при в правой и левой частях тождества

Ял1 (/) = /(/)(!-О-

Получим, учитывая, что (1 -1)-< + == ( t * )

rain (ft, ЛГ)

При N выражение справа есть многочлен от Л с рациональными коэффициентами.

Теперь индукцией по п докажем утверждение а). Удобно положить Л*~ = Х = Ло~; Л*Г = {0} для tl. Конечно порожденный градуированный модуль над Л^- - это просто конечномерное векторное пространство над Ж, представленное в виде прямой

суммы X k- Его ряд Пуанкаре есть многочлен У dimMft/*, так

что результат тривиально верен.

Пусть теперь он доказан для Л^-, 0; установим его для Л' \ Пусть М - конечно порожденный градуированный модуль над Л< . Положим

К = {теМ\х^т = 0}, С = М/х„М.

Очевидно, К и ХпМ суть градуированные подмодули М; поэтому С также имеет структуру градуированного Л()-модуля. Но умножение на Хп аннулирует как /С, так и С. Поэтому, если мы рассмотрим К к С как модули над подкольцом Л( -> = X[xo, Xn-ijcr сЛ( > = Х[л:о, Хп], то любая система образующих для них над Л^ ) будет в то же время системой образующих над Л( ->. По теореме п. 6 /( конечно порожден над Л< > как подмодуль конечно порожденного модуля. С другой стороны, С конечно порожден над потому что если т\, Шр порождают М, то mi-j-XnM, ... ..., /Ир + ХпМ порождают С. Следовательно, К н С конечно порождены над Л( ->, и к ним применимо индуктивное предположение. Из точных последовательностей линейных пространств над Ж:

следует, что

dim7W,;,+i - dimAfm = dimCm+i - dim /Cm-Умножив это равенство на и просуммировав по га от О до оо, получим

Нм (t) - dim Mo - Шм (t) == Не (t) - dim Co - {t), или по индуктивному предположению для К и С

(l-t)Hj{t) = uimMo-dimCo + ~--.

где /(0 и fi{t)-многочлены с целыми коэффициентами. Очевидно, отсюда следует требуемое.

10. Размерность и степень алгебраического многообразия. Пусть теперь V cz Р - некоторое алгебраическое многообразие,

которому отвечает идеал I{V). Рассмотрим многочлен Гильберта

Pv{k) фактормодуля Л( > (I/):

Ру {k) = dim AkyikiV) для всех ko.

Нетрудно видеть, что РрП () = , так что deg РрП (к) == = п. Поэтому deg Pv п. Число d = deg Py называется размер-

ностью многообразия V. Представим старший член Pv{k) в виде

е-. Можно доказать, что е - целое число, которое назьшается

степенью многообразия V. Размерность и степень - важнейшие характеристики величины алгебраического многообразия. Можно дать их чисто геометрическое определение: если поле Ж алгебраически замкнуто, то d-мерное многообразие степени е пересекается с достаточно общим проективным пространством P -cz cz Р дополнительной размерности в точности по е разным точкам. Мы не будем доказывать эту теорему.

Заметим в заключение, что после открытия Гильберта около полувека оставался нерешенным вопрос, как следует интерпретировать значения многочлена Гильберта Pv(k) для тех целых значений k, при которых Pv(k)=Aimlk{V) (в частности отрицательных k). Он был решен лишь в пятидесятых годах с созданием теории когомологий когерентных пучков, когда выяснилось, что при любом k значение Pv{k) есть альтернированная сумма размерностей некоторых пространств когомологий многообразия V. Аналогичная интерпретация была дана многочленам Гильберта любых конечно порожденных градуированных модулей.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что многочлен Гильберта проективного пространства Р не зависит от размерности т проективного пространства в которое Р вложено:

2. Вычислить многочлен Гильберта модуля A >IFA i, где / - форма степени е.

Часть 4. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Тензорное произведение линейных пространств

1. Последняя часть нашей книги посвящена систематическому изучению полилинейных конструкций линейной алгебры. Основой алгебраического аппарата служит понятие тензорного произведения, которое вводится в этом параграфе и подробно изучается дальше. К сожалению, главные приложения этого формализма лежат за пределами собственно линейной алгебры: они относятся к дифференциальной геометрии, теории представлений групп и квантовой механике. Мы лишь вкратце коснемся их в последних параграфах.

2. Конструкция. Рассмотрим конечное семейство векторных пространств £,1, Lp над одним и тем же полем скаляров Ж. Напомним, что отображение Li X У\Ер-Ь, где L - еще одно пространство над Ж, называется полилинейным, если оно линейно по каждому из аргументов ULi, i=\, р, при фиксированных остальных.

Наша ближайшая цель - построить универсальное полилинейное отображение пространств Ly, Lp. Его образ будет называться тензорным произведением этих пространств. Точный смысл утверждения об универсальности объяснен ниже, в формулировке теоремы п. 3. Конструкция состоит из трех шагов.

а) Пространство М. Это множество всех финитных функций на Li X X £р со значениями в Ж, т. е. теоретико-множественных отображений LiX Y.Lp-Ж, равных нулю во всех точках множества LiX Xjf-p, кроме конечного числа. Оно образует линейное пространство над Ж с обычными операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Его базисом являются дельта-функции б(/ь /р), равные 1 в единственной точке (Zi, Zp)e е Li X y.Lp и нулю в остальных. Опуская знак б, мы можем считать, что Ж состоит из формальных конечных линейных комбинаций семейств (/ь /p)eLiX - Х^р:

= {Z /,...;p(/i, lp)\ai...,X).

Заметим, что если поле Ж бесконечно и хотя бы одно из про-странстй Li не нульмерно, то - бесконечномерное пространство.