ется аффинным изоморфизмом, линейная часть которого есть некоторая гомотетия М.

Доказательство. Пусть две структуры отвечают подмногообразиям т' + М и т М. Классы т'М и т -\-М в одномерном факторпространстве L/-M пропорциональны. Поэтому можно считать, что т == ат\ а=Ж. Умножение на а в Z, переводит т' + М в т + М и индуцирует тождественное отображение P{L) в себя и потому Ам в себя. С другой стороны, сдвиг на вектор теМ в т' + М при гомотетии переходит в сдвиг на вектор am е М в m + М. Это и доказывает требуемое.

10. Следствие. Множество аффинных подпространств в Ам с их отношениями инцидентности, а также множества аффинных отображений Ам в другие аффинные пространства не зависят от произвола в выборе аффинной структуры Ам-

Это оправдывает возможность рассматривать дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве просто йак аффинное пространство без дальнейших уточнений.

Посмотрим теперь, как выглядит проективное пространство Р{М) с точки зрения аффинного пространства Ам.

11. Предложение. Точки Р{М) находятся в биективном соответствии с классами параллельных прямых в Ам. Иными словами, каждая точка Р(М) есть направление ухода на бесконечность в Ам.

Доказательство. Отождествим Ам с т'-\-М. Класс параллельных прямых в т' + М определяется своей направляющей в М, т. е. точкой в Р{М), и это соответствие биективно.

12. На самом деле можно сказать больше: каждая прямая I в Ам однозначно определяет содержащую ее прямую в P{L)~ а именно, ее проективную оболочку /. Проективная оболочка получается добавлением к / единственной точки, которая как раз лежит в Р{М) и является бесконечно удаленной точкой этой прямой. Весь класс параллельных прямых в Ам имеет общую бесконечно удаленную точку в Р{М). При отождествлении Ам с т' -\- М оболочка 7 отвечает всем прямым плоскости в L, проходящей через / и направляющую /, а бесконечно удаленная точка Z -это сама направляющая.

Более общо, пусть AczAm - любое аффинное подпространство. Тогда его проективная оболочка А в P(L) обладает следующими свойствами:

а) A\AczP{M): добавляются лишь точки на бесконечности.

б) dim А - dim А.

в) А\А есть проективное подпространство в Р{М) размерности dim Л - 1. (Поэтому А называют также проективным замыканием А.)

Отождествление Ам с т' -\- М сводит проверку этих свойств к прямому применению определений. Действительно, А состоит из прямых, лежащих в линейной оболочке А cz т' -\- М. Эта линейная оболочка натянута на направляющую Lo подпространства А и любой вектор из А. Поэтому ее размерность равна dimLo+l =

= dim--l, значит, dim Л = dim Л. Все прямые в этой линейной оболочке пересекаются с т' + М, т. е. отвечают точкам Л, за исключением прямых, лежащих в направляющей Lo- Последние лежат в Р{М) и образуют проективное пространство размерности dim Lo - I = dim Л - 1.

§ 7. Проективная двойственность и проективные квадрики

1. Пусть L - линейное пространство над полем Ж, L* - двойственное к нему пространство линейных функционалов на L. Проективное пространство P{L*) называется двойственным к проективному пространству P(L).

Каждая Точка P(L*) есть прямая {Kf} в пространстве линейных функционалов на L. Гиперплоскость f = 0 в P(L) не зависит от выбора функционала f на этой прямой и однозначно определяет всю прямую. Поэтому можно сказать, что точками двойственного проективного пространства являются гиперплоскости исходного проективного пространства.

Если в L и L* выбраны двойственные базисы и соответствующие системы однородных координат в P(L) и P{L*), это соответствие приобретает простой вид: гиперплоскости с уравнением

Za,x,=

О

в P(L) отвечает точка с однородными координатами (ао: ...: а„) в P(L*). Канонический изоморфизм L-L** показывает симметрию отношения двойственности между двумя проективными пространствами. Более общо, переводя результаты § 7 ч. 1 на проективный язык, мы получим следующее соответствие двойственности между системами проективных подпространств в P(L) и P(L*) (мы считаем дальше, что L конечномерно).

а) Подпространству P(M)c:P(L) отвечает двойственное к нему подпространство Р(М--)с: P(L*). При этом

dim Р{М) + dim Р (Ж-) = dim Р (L) - 1.

б) Пересечению проективных подпространств отвечает проективная оболочка двойственных к ним, а проективной оболочке - пересечение. В частности, отношение инцидентности двух подпространств (т. е. включение одного в другое) переходит в отношение инцидентности.

Это позволяет сформулировать следующий принцип проективной двойственности, являющийся, собственно говоря, метаматематическим, поскольку он представляет собой утверждение о языке проективной геометрии.

2. Принцип проективной двойственности. Предположим, что мы доказали теорему о конфигурациях проективных подпространств в проективных пространствах, в формулировке которой фигурируют лишь свойства размерности, инцидентности, пересечения и взятия проективной оболочки. Тогда двойственное утверждение, в котором

все термины заменены на двойственные к ним по правилам предыдущего пункта, также является теоремой проективной геометрии.

Простой пример: к теореме две разные плоскости в трехмерном проективном пространстве пересекаются по одной прямой двойственна теорема через две разные точки в трехмерном проективном пространстве проходит одна прямая . (В § 9 мы познакомимся с гораздо более содержательными теоремами о проективных конфигурациях.)

3. Проективная двойственность и квадрики. Если линейное пространство L снабжено изоморфизмом L-yL*, то P{L*) можно отождествить с P(L), и отображение двойственности между проективными подпространствами P{L) и P{L*) превратится в отображение двойственности между подпространствами в P{L).

Задание изоморфизма L-L* равносильно заданию невырожденного скалярного произведения g: ЬУ,Ь-Ж. Рассмотрим подробнее геометрию проективной двойственности, отвечающую случаю, когда скалярное произведение g симметрично. Как обычно, будем считать, что характеристика поля Ж отлична от двух. Тогда g однозначно восстанавливается по квадратичной форме q(l) = = g{l, I).

Уравнение q{l)=0 определяет квадрику Qo в L. Ее образ в P(L) мы также будем называть квадрикой, а в применении к теории двойственности - полярной квадрикой. Заметим, что Qo есть конус с центром в начале координат: если / е Qo, то вся прямая Ж1 лежит в Qo. Отождествляя P{L) с бесконечно удаленными точками L, мы можем отождествить Q с базой конуса Qo.

Согласно общей теории g vi q определяют отображение двойственности множества проективных подпространств P(L) в себя; гиперплоскость в P{L), двойственная точке peP(L), называется полярной к р (относительно q или Q). Чтобы разобраться в геометрическом устройстве этого отображения, выведем сначала уравнение полярной гиперплоскости в однородных координатах. Мы можем работать сначала в L. Пусть уравнение Qo имеет вид

Точке (xq, в L при изоморфизме L-L*, связанном с q,

п

отвечает линейная функция У. а х]х, от (хо, x )eL. По-этому уравнение полярной гиперплоскости имеет вид

п

в частности, если (xg: ... : х°) s Q, то полярная гиперплоскость к данной точке содержит эту точку. Более того, в этом случае ее

уравнение можно нереписать в виде

/=1 г,/=о

В элементарной аналитической геометрии (над R) такое уравнение определяет касательную гиперплоскость к Qo в ее точке (л-, ..., л;°). Это мотивирует общее определение:

4. Определение. Касательной гиперплоскостью к невырожденной квадрике QczP(L) в точке pQ называется гиперплоскость, полярная к р относительно квадратичной формы q, задающей Q.

Пользуясь общими свойствами проективной двойственности, мы можем теперь немедленно восстановить геометрически значительную часть отображения двойственности и получить серию красивых и неочевидных геометрических теорем, образцы которых мы приведем. Ниже Q -(невырожденная) квадрика в или Р^.

а) Пусть Q с: Р^, ри рг - две точки на квадрике, рз - точка пересечения касательных к Q в pi и рг. Согласно общему принципу

двойственности точка рз отвечает тогда прямой Р1Р2, проходящей через pi и рг. т. е. проективной оболочке р\ и рг.

Заставим точку рз меняться вдоль прямой I; проведем из каждой точки прямой две касательные к Q и соединим пары точек касания. Тогда все получающиеся хорды Q пересекутся в одной точке г, которая отвечает I в силу двойственности. Еще раз заметим, что для доказательства мы не нуждаемся ни в каких вычислениях: это следует просто из того, что по общему принципу двойственности проективная оболочка точек Рз Рз Рз полярна к пересечению двойственных к ним прямых, которые и суть соответствующие хорды.

Один момент, однако, заслуживает специального упоминания. Попарные пересечения касательных к точкам Q могут не заметать всю плоскость. Например для эллипса в RP, как на рис. 4 (у нас нарисован, конечно, лишь кусочек аффинной карты в RP), мы получим лишь внешность эллипса. Как же узнать, какие прямые отвечают внутренним точкам эллипса? Рйс. 4 подсказывает ответ: в силу симметрии двойственности следует провести через внутреннюю точку г пучок хорд к Q, затем построить точки пересечения касательных к Q в противоположных концах этих хорд; они и заметут двойственную к точке г прямую /.

Однако, таким образом, описание отображения двойственности становится неоднородным. У нас оказываются два рецепта для построения прямой /, полярной к точке г.

Рис. 4

1) Если точка г лежит вне эллипса Q (или на нем), проведите две касательные из г к Q (или одну) и соедините точки касания прямой / (или возьмите касательную /).

2) Если точка г лежит внутри эллипса Q, проведите все прямые через г, постройте точки пересечения касательных к двум точкам пересечения прямых через г с Q. Их геометрическое место и будет прямой, двойственной к г.

Оказывается, все дело в том, что основное поле R здесь не является алгебраически замкнутым. Если бы мы работали в СР годились бы оба рецепт, и притом для всех точек г е СЯ. Вещественная прямая /, лежащая целиком вне вещественного эллипса Q, на самом деле все равно пересекается с ним, но в двух комплексно сопряженных точках, и две комплексно сопряженные касательные к Q в этих точках пересекаются уже в вещественной точке г, лежащей внутри Q. Из вещественной точки г, лежащей внутри Q, все равно можно провести две комплексно сопряженные касательные к Q, через точки касания которых проходит вещественная прямая - это и есть /.

В этом смысле вещественная проективная геометрия RP является лишь кусочком геометрии СР и по-настоящему простая и симметричная теория двойственности имеет место в СР, а RP отражает лишь ее вещественную часть.

Классическая проективная геометрия была в значительной мере посвящена выяснению деталей этого красивого мира конфигураций, состоящих из квадрик, хорд и касательных и невидимых комплексных точек касания и пересечения. На самом деле вся квадрика может не иметь вещественных точек, как например х1 = 0. Тем не менее видимая часть двойственности

разыгрывается на RP.

б) Дадим еще одну иллюстрацию в трехмерном случае: рассмотрим проективную невырожденную квадрику Q в трехмерном проективном пространстве и проведем из точки г вне Q касательные плоскости к Q. Тогда все точки касания лежат в одной плоскости, а именно в плоскости, двойственной к г. Причина снова та же: пересечению касательных плоскостей двойственна проективная оболочка точек касания, и если все касательные плоскости пересекаются в точности по г (это нужно и можно доказать в случае, когда Q имеет достаточно много точек), то эта проективная оболочка должна быть двумерна.

Комментарии по поводу комплексных точек касания и пересечения те же, что и в двумерном случае.

Строгое определение вместилища недостающих точек проективного пространства и квадрики в случае Ж =R опирается на понятие комплексификации (см. § 12 ч. 1).

5. а) Комплексификацией проективного пространства P{L) над R называется проективное пространство P(L*) над С. Каноническое вложение L ciLS позволяет сопоставить каждой R-прямой в Z, ее комплексификацию - С-прямую в LF; что определяет

вложение Р (ЦаР {L% Точки Р {U) суть комплексные точки вещественного проективного пространства P{L).

б) Изоморфизм L-L*, определяемый скалярным произведением g на L, индуцирует комплексифицированный изоморфизм L-iLF). Он определяется симметричным скалярным произведением g на которое задает нам квадрику и проективную двойственность bP(L). На и P(L) действует операция комплексного сопряжения, индуцированная антилинейным изоморфизмом L-L, тождественным на LcLF. Точки P(,L) - это точки P(L), инвариантные относительно комплексного сопряжения; они называются вещественными. Более общо, проективные подпространства в Р (L), переводящиеся в себя при комплексном сопряжении, находятся в биекций с проективными подпространствами в P{L). Назовем такие подпространства вещественными. Тогда два отображения, устанавливающие взаимнообратные биекций, можно описать так:

(вещественное проективное подпространство в P(L))-* (множество его вещественных точек в P(L));

(проективное подпространство в P(L))->-(ero комплекснфикация в Pd*)).

в) Отображение двойственности в P{L), определенное с помощью g, получается из отображения двойственности в P{,L), определенного с помощью g, посредством ограничения последнего на систему вещественных подпространств в Р (L), отождествленную с системой подпространств в P(L), как в разделе б).

Проверки всех этих утверждений, если учесть результаты § 12 ч. 1, проводятся непосредственно, а в вещественной системе координат пришедшей из L, совсем тавтологичны. Единственная содержательная сторона ситуации, проиллюстрированная выше на примерах, состоит в возможности проявления вещественных точек на невидимых комплексных конфигурациях вроде лежащей внутри эллипса точки пересечения двух невещественных касательных к двум комплексно сопряженным точкам этого эллипса.

В случае основного поля X, отличного от R, нужно воспользоваться общим функтором расширения основного поля (например, до алгебраического замыкания X) вместо комплексификации. Ситуация, одна.ко, несколько усложняется тем, что вместо одного отображения комплексного сопряжения придется привлекать всю группу Галуа для выделения объектов, определенных над исходным полем (вещественных в случае X = R).

§ 8. Проективные группы и проекции

1. Пусть L, М -два линейных пространства, /: L->-M -линейное отображение. Если Kerf = {0}, то / переводит любую прямую из L в однозначно определенную прямук) в М и, значит, индуцирует отображение P{f): P(L)-P{M), называемое проективизацией /. В частности, если f -изоморфизм, P{f) называется проективным

изоморфизмом. При Кег f ф {0} положение дел сложнее: прямые, лежащие в Kerf, т. е. составляющие проективное подпространство P(Kerf)c: P(L), переходят в нуль, который не определяет никакой точки в P(M). Поэтому проективизация P(f) определена лишь на дополнении б', 1= P(L)\P(Ker f). Оба этих случая важны, но ведут в разных направлениях, и мы исследуем их отдельно. Наиболее существенные геометрические черты ситуации выявляются уже при L = Л1.

2. Проективная группа. Пусть М - L, f пробегает группу линейных автоморфизмов пространства L. Следующие утверждения очевидны:

а) P(idt)=idp(L,;

б) P{fg) = P{f)P{g).

В частности, все отображения P(f) биективны и P{f-) = P(f)-. Поэтому P(f) пробегает группу отображений P{L) в себя, которая называется проективной группой пространства P(L) и обозначается PGL(L), отображение Р: GL(L)-*PGL(L), fP(f) является сюръективным гомоморфизмом групп.

Каждое отображение P(f) переводит проективные подпространства P(L) в проективные подпространства, сохраняя размерность и все отношения инцидентности.

Вместо PGL(X +) пишут PGL(n).

3. Предложение. Ядро канонического отображения Р: QL(L)- -->-PGL(Z-) состоит в точности из гомотетий. Поэтому PGL(L) изоморфна факторгруппе GL(L)/X*, где X* = {flidz.a еХ\{0}}.

Доказательство. По определению Кег Р = {f s GL(L) P(f) = idp(L)}. Любая гомотетия переводит каждую прямую из L в себя, поэтому Ж* cz Кег Р. Наоборот, всякий элемент Кег Р переводит любую прямую в себя и потому диагонализируем в любом базисе L. Но тогда все его собственные значения должны совпадать. В самом деле, пусть f{ei) - Kiei, f(e2) = X2e2, где е ei линейно независимы. Тогда из условия f (е, + 62)== + бг) -Xiei+ + 262 следует, что Xi = a = X2. Значит, f - гомотетия, что доказывает требуемое.

4. Отображения P(f) в координатах. Если линейное отображение f: L-L в координатах задается матрицей А:

f {хо, . . х„) = А [хо, .., х„]

(произведение матрицы А на столбец [хо, Хп]), то P(f) в соответствующих однородных координатах задается той же матрицей А или любой пропорциональной ей:

Р (f) (*с: .. : Хп) с (ХА) -[хо, л- ], Я Ж*.

Если ограничиться рассмотрением точек с ХофО, проективные координаты которых можно выбирать в виде (1:г/г. ... : / ), и так же записывать координаты образа точки, мы придем к дробно-

линейным формулам:

/ п п п \

= 1 000+ J]aioi/i :ао1+ : о + ) =

V °00+ Eioi 00+ JtoJf

(Аналогичный вид, разумеется, имеет P(f) на множестве точек, где х;Ф^, i любое.) Эти выражения теряют смысл там, где знаменатель обращается в нуль, т. е. в тех точках дополнения к гиперплоскости Хо = О, которые Р if) переводит в эту гиперплоскость. Если таких точек нет, то в терминах аффинных координат (Уь Уп) на P(L)\{xo = 0} мы получаем аффинное отображение. Инвариантное объяснение этого дает следующий результат.

5. Предложение. Пусть MczL - подпространство коразмерности единица, Р (М) czP{L) - соответствующая гиперплоскость, Ам- дополнение к ней с аффинной структурой, описанной в § 6. Поставим в соответствие любому проективному автоморфизму P{f): P(L)->-P(L) с условием f{M)cz М его ограничение на Ам- Получим изоморфизм подгруппы PGL(L), переводящей Р{М) в себя, с Aff Лм. Линейная часть ограничения Р(() на Ам пропорциональна ограничению f на М.

Доказательство. Введем аффинную структуру на Ам, отождествив Ам с линейным многообразием т' -\- М cz L: каждой точке Ам ставится в соответствие пересечение соответствующей прямой в L с т' -\- М. Если f(M)cz М, то в классе f с одним и тем же Р(/) можно выбрать единственное отображение /о, для которого fo(m + М)=т' 4- М. Ограничения всех таких отображений fo образуют группу аффинных преобразований т' + Л^, поскольку т' + Л4 есть аффинное подпространство в L с его аффинной структурой, а fo: L-L линейно и потому аффинно. Линейная часть такого fo, очевидно, совпадает с ограничением fo на М. Для всякой линейной части можно найти соответствующее fo, и при фиксированной линейной части можно найти fo, переводящее любую точку т' + М в любую другую: чтобы увидеть это, достаточно выбрать базис в L, состоящий из базиса в М и вектора т', после чего воспользоваться формулами п. 3. Наконец, если f тождественно действует на /л' + и М, то P(f) = idp(z.), ибо f переводит каждую прямую в Z- в себя. Это завершает доказательство.

е. Действие проективной группы на проективных конфигурациях. Назовем проективной конфигурацией конечную упорядоченную систему проективных подпространств в P{L). Будем говорить, что две конфигурации проективно конгруэнтны тогда и только тогда, когда одну можно перевести в другую проективным преоб-

разованием P{L) в себя. Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы соответствующие конфигурации линейных подпространств в L были одинаково расположены в смысле § 5 ч. 1. Поэтому мы можем сразу же перевести доказанные там результаты на проективный язык и получить следующие факты.

а) Группа PGL(L) транзитивно действует на множестве проективных подпространств фиксированной размерности в P{L), т. е. все такие подпространства конгруэнтны (см. п. 1 § 5 ч. 1).

б) Группа PGL(Z.) транзитивно действует на множестве упорядоченных пар проективных подпространств в P{L) с фиксированными размерностями членов пары и их пересечений, т. е. все такие пары конгруэнтны (см. п. 5 § 5 ч. 1).

в) Группа PGL(L) транзитивно действует на множестве упорядоченных п-ок проективных подпространств (Pi, ..., Рп) с фиксированными размерностями dimP,-, которые обладают следующим свойством: для каждого i подпространство Pi не пересекается с проективной оболочкой (Pi, P/ i, P,+i, Рп), т. е. наименьшим проективным подпространством, содержащим эту систему.

Действительно, пусть Р = Р (L,), L,- с: L. Проективная оболочка (Pi, Р/ 1, Р,+1. Рп), как нетрудно убедиться, совпадает с P(Li4- ... -j-Lf i 4-L,+i + ... +Ln), a условие пустоты ее пере-

сечения с Р1Ц) означает, что П Е , = {0}. В силу условия а)

теоремы п. 8 § 5 ч. 1 сумма Li Ф ... Ф L прямая, и GL(L) транзитивно действует на таких п-ках подпространств (выбрать базис в L, дополняющий объединение базисов всех Lt, и воспользоваться тем, что GL(L) транзитивна на базисах L).

В качестве частного случая (dim Р, = О для всех i) получаем следующий результат: все наборы п точек в P{L), обладающие тем свойством, что никакая точка не лежит в проективной оболочке остальных, проективно конгруэнтны.

г) Группа PGL(L) транзитивно действует на множестве проективных флагов Pi с: Рг с: ... с: Р„ в Р(/,) фиксированной длины п с фиксированными размерностями dim Р,-.

Действительно, любой такой флаг является образом флага Licz а Lid ... в L; выберем базис в L, первые dim Pi -\- 1 элементов которого порождают подпространство для каждого i, и снова воспользуемся транзитивностью действия GL(L) на базисах.

Кроме этих результатов, являющихся прямым следствием соответствующих теорем для линейных пространств, разберем один интересный новый случай, в котором впервые появляется нетривиальный инвариант относительно проективной конгруэнтности: классическое двойное отношение четверки точек на проективной прямой . Большую часть рассуждений можно провести в случав произвольной размерности, и мы начнем с общего определения.

7. Определение. Система точек р\, ..., рн в п-мерном проективном пространстве Р находится в общем положении, если для всех т min{A, л -f- 1} и всех подмножеств 5 с: {1, ..., Л^} мощности

m проективная оболочка точек {pi\iS} имеет размерность т-1.

Нас особенно будут интересовать случаи N = п-\- I, /г+ 2, п + 3.

а) п + 1 точек в общем положении. Поскольку никакая точка системы не лежит в проективной оболочке остальных (иначе проективная оболочка всей системы имела бы размерность п - 1, а не п), такие конфигурации уже были рассмотрены в разделе в) п. 6; в частности, проективная группа на них транзитивна. Сейчас мы хотим обратить внимание на то, что проективное преобразование, переводящее одну систему п + 1 точек в общем положении в другую, не определено однозначно.

Действительно, если е^ e +i - ненулевые векторы, лежащие в рь .... рп+х соответственно, то {вх, Сп+х} есть базис L (где P = P(L)) и группа проективных преобразований, оставляющих на месте все точки pi, состоит в точности из преобразований вида P{f), где f диагональны в базисе {ei, e +i}. Эта оставшаяся степень свободы позволяет доказать транзитивность действия PGL(L) на системах п-\-2 точек в общем положении.

б) п + 2 точки в общем положении. Если точки {pi, ..., рп+а} находятся в общем положении, то точки {рх, .... Рп+х) также находятся в общем положении. Как в предыдущем абзаце, выберем базис {ех, e +i}, eipi. Он определяет систему однородных координат в Р. Пусть {хх: Xn+i)-координаты точки р„+2 в этом базисе. Ни одна из координат xt не -равна нулю, иначе вектор (хх, Хп+х) на прямой р„4-2 линейно выражался бы через векторы е/, 1 / п + 1. / откуда следует, что проективная оболочка п-\- 1 точки {pi\i¥=j} имела бы размерность п - 1, а не п. Но преобразование P{f) с f = diag(Xi, кп+х) (в базисе {вх.....e +i}) переводит (х,:...: jr +,) в точку (Mi: :

а pi, pn+i оставляет на месте. Отсюда следует, что любую точку (хх: Хп+х) (все хсФО) можно перевести в любую другую (г/i: Уп+х) (все yi¥=0) единственным проективным преобразованием, оставляющим pi, ..., рп на месте.

Итак, мы установили, что все упорядоченные системы п + 2 точек в общем положении в Р, где dim Р п, конгруэнтны и, более того, образуют главное однородное пространство над группой PGL(L).

Принимая пассивную точку зрения вместо активной , мы можем сказать, что для любой упорядоченной системы точек {pi,..., рп+2} существует единственная система однородных координат в Р, в которой координаты pi,..., р„+2 имеют следующий вид:

Pi = (l :0: ... :0), р2 = (О : 1 :0 : ... : 0)..... р„+, == (О : ... : О : ] ,

р„.,2 = (1:...:1).

Можно назвать эту систему приспособленной к {рх, Рп+г}-

в) и -f- 3 точки в оби{ем положении. Такие конфигурации уже не все конгруэнтны: если (р^ .... р„з} и (р' .... р^ з} даны, мы