A - L). Тем не менее ниже мы придадим однозначный смысл, например, выражению ja + Ь (но не его слагаемым!).

Интуитивно аффинное пространство {A,L,+) следует представлять себе как линейное пространство L с забытым началом координат 0. Оставлена лишь операция сдвига на векторы суммирования сдвигов и умножения вектора сдвига на скаляр.

7. Аффинные отображения. Пусть (АиЦ), (Лг, L2) -Два аффинных пространства над одним и тем же полем Ж. Аффинно линейным, или просто аффинным, отображением первого во второе называется пара (иЩ), где f: Л1->-Лг, D/: Li-Ls, удовлетворяющая следующим условиям:

а) Df - линейное отображение.

б) Для любых С], АгеЛ имеем

/( 1)-/{2)=?/( 1-Сг).

(Оба выражения лежат в L2.)

Df (или D{f)) называется линейной частью аффинного отображения /. Поскольку Gl - Сг пробегает все векторы Li, когда Си ОгЛь линейная часть Df определяется по / однозначно. Это позволяет обозначать аффинные отображения просто /: Ai-Ai.

8. Примеры, а) Любое линейное отображение f: L\-L2 индуцирует аффинно линейное отображение пространств (Li, Li, -]-)-> ->(1г, L2, +). Для него Of = f.

б) Любой сдвиг tr. А-А аффинно линеен и D(/i) = idL. Действительно,

tt (fli) - ti (щ) = (с, + /) - (йг + О = а, - аг-

в) Если /: Л1->Лг - аффинно линейное отображение и leL2, то отображение Uof: А^-Ач аффинно линейно, и D{ti>f) = D(f). В самом деле,

tt о f {ai)-ti о / (аг)=(/ (а.) + /)- (/ (а^) + /)= / (а.) - / (а^) = Df (а,- Сг)-

г) Аффинно линейная функция f: А^Ж определяется как аффинно линейное отображение Л в (Х',Х',-f), где X - одномерное координатное пространство. Таким образом, / принимает значения в Ж, а Df есть линейный функционал на L. Любая постоянная функция f аффинно линейна: Df = 0.

9. Теорема, а) Аффинные пространства вместе с аффинными отображениями образуют категорию.

б) Отображение, ставящее в соответствие аффинному пространству (Л, L) линейное пространство L, а аффинному отображению f: {AuLi)-{A2,L2) линейное отображение Df: Li-Li, является функтором из категории аффинных пространств в категорию линейных пространств.

Доказательство. Справедливость общекатегорных аксиом (см. § 13 ч. 1) вытекает из следующих фактов.

Тождественное отображение id: Л->Л аффинно. Действительно, Cl -G2 = idL(01 - 02). В частности, D(idA) = idL.

Композиция аффинных отображений А- А - А является аффинным отображением.

В самом деле, пусть а, fee Л. Тогда fi{a) - fi{b) = Dfi(a - b) и далее

/21 (а) - /2/1 {Ь) = Dh [h (а) - h ib)] = Df, ° Dh {a - b).

Мы доказали требуемое и заодно получили, что D(hU) = Dh°Dh. Вместе с формулой 0{\Аа)=Ыь это доказывает утверждение б) теоремы.

Следующий важный результат характеризует изоморфизмы в нашей категории.

10. Предложение. Следующие три свойства аффинного отображения f: Ау-Ач равносильны:

а) / - изоморфизм;

б) Of - изоморфизм;

в) / - биекция в теоретико-множественном смысле. Доказательство. Согласно общекатегорному определению

f: Ах-Ач есть изоморфизм тогда и только тогда, когда имеется такое аффинное отображение g: А^-Ах, что g/ = id, \g = \dA.,-Если оно существует, то D {fg) = idi, = D{f)D {g) и D {gf) = idb, = =D(g)D(f), откуда следует, что изоморфизм.

Покажем теперь, что Df - изоморфизм тогда и только тогда, когда f -биекция. Фиксируем точку uiAi и положим a2 = f{ai). Любой элемент Л,- однозначно представляется в виде ui + h, I, е Li, ( = 1, 2. Из основного тождества

/ ( 1 + /,)-/ (а,) = Df [(а, + /,) - а,] = Df {h)

следует, что f{ai-\-li)-a2-\-Df{li). Следовательно, / - биекция тогда и только тогда, когда Df(li) при IxL пробегает все элементы L2 по одному разу, т. е. Df является биекцией. Но линейное отображение есть биекция тогда и только тогда, когда оно обратимо, т. е. является изоморфизмом.

Наконец, покажем, что биективное аффинное отображение является аффинным изоморфизмом. Для этого следует проверить, что обратное к / теоретико-множественное отображение аффинно. Но в обозначениях предыдущего абзаца это отображение определяется формулой

Г'( 2+/2)-= 1 + №/Г'(/2). 12 L,.

Поэтому

/- (а2-h h) - f- {а2 -h й) - {Df)~ {I2) - {Df)- (ь) = (D/) (/2 -12)

в силу линейности {Df)-. Итак, f- аффинно и £)(/-) = £)(/)-!.

Окончательно, мы уйтановилй импликации й) =Ф-б)-<=в) = а, откуда и следует предложение.

Конструкция конкретных аффинных отображений часто основывается на следующем результате.

т

11. предложение. Пусть (Л (Л2, L2)-8ea аффинных пространства. Для любой пары точек uieAi, г^Лг и любого линейного отображения g: Li-Li существует единственное аффинное отображение f: Ai-Aic /(а,) = 02 и Df = g.

В самом деле, положим

f(a, + /,) = a2 + g(/,)

для heL\. Поскольку любая точка Л, однозначно представляется в виде Gl +1\, эта формула определяет теоретико-множественное отображение /: Лх--Лг. Оно аффинное, ](а\)~а2 и Df=g, потому что

/ (а, + i,)-t (а. + i\)=g (/,) - g (/;)=g (/, - /;)=

=[( . + М-( . + 0].

Это доказывает существование /. Наоборот, если / - отображение с требуемыми свойствами, то

/( i + /)-/( i) = g(/).

откуда Дс! -f /) == 02 -]- g(/) для всех / е

12. Важный частный случай предложения п. 11 получается, если применить его к (Л, L), (L, L), ае Л, О s L и g = idt. Мы получим, что для любой точки аеА существует единственный аффинный изоморфизм f: A-L, переводящий эту точку в начало координат, с тождественной линейной частью. Это и есть точный смысл представления о том, что аффинное пространство есть линейное пространство с забытым началом координат .

В частности, аффинные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные линейные пространства. Последние классифицируются своей размерностью, и мы можем назвать размерностью аффинного пространства размерность соответствующего линейного пространства.

13. Следствие. Пусть fu /2: Ах-Аг - два аффинных отображения. Их линейные части совпадают тогда и только тогда, когда /2 есть композиция f\ со сдвигом на некоторый вектор из Lz, который определяется однозначно.

Доказательство. Достаточность условия была проверена в примере в) п. 8. Для доказательства необходимости выберем любую точку аеА\ и положим /г -<b(c)-f,(c)°/г Очевидно, /2(0) = - fiia) и Z)(/2) = .0(/2)- По предложению п. 11 /2 = /2- Наоборот, если f2 - ti°U> то / = /2(0)-\\{а); этот вектор не зависит от аеА из-за совпадения линейных частей f\, \2-

14. Аффинные координаты, а) Система аффинных координат в аффинном пространстве (Л, L) есть пара, состоящая из точки СоЛ (начала координат) и базиса {ei, е„} ассоциированного линейного пространства L. Координаты точки аеА в этой системе образуют вектор {хх, х„)е5Ж , однозначно определяе-

мый условием а = Оо + х^е^.

Иначе говоря, отождествим А с L посредством отображения с тождественной линейной частью, переводящего ао в О, и возьмем координаты образа точки а в базисе {еь е„}: это и будут

1.....Хп.

Пусть в пространствах А\, Лг выбраны системы координат, отождествляющие их с Х* , X соответственно. Тогда любое аффинно линейное отображение f: А\-А2 можно записать в виде

/(Г) = в^--у,

где В - матрица отображения D/ в соответствующих базисах Li, L2, а у - координаты вектора f (Сд) - а' в базисе L; а[, - начало координат в Л а - начало координат в Лг. Действительно,

отображение х>- Вх -\- у аффинно линейно, переводит а[ в / (а^) и имеет ту же линейную часть, что и /.

б) Другой вариант данного определения системы координат состоит в том, чтобы заменить векторы {е^.....е„} точками

{йо-i-е\, ..., йо + вп} в Л. Положим Oi = Со + е,-, i=l,...,n. Координаты точки аеЛ находятся тогда из представления

a = aio + X*i( .--о)- Возникает соблазн привести подобные члены и написать выражение справа в виде1 - Е <au+

п

+ Х ;с/а^.Отдельные члены в этой сумме не имеют смысла! Тем

не менее оказывается, что суммы такого вида можно рассматривать, и они весьма полезны.

15. Предложение. Пусть ао, .... as - любые точки аффинного

пространства А. Для любых уо, узЖ с условием У1=1

определим формальную сумму Е Uii выражением вида

% У fit = + £ yi ifli - а), где а - любая точка Л. Утверждается, что выражение справа не

зависит от а. Поэтому точка Е yfii определена корректно. Она

называется барицентрической комбинацией точек ао, Us с коэффициентами Уо, Уз.

Доказательство. Заменим точку а на точку а-\-1, lL. Получим

a + l-Zyi{at-a-l) = a-{-ji{at- а),

т

ибо ~ Yi yit = 0. Мы пользовались здесь правилами, сформулированными в п. 6. Читателю будет полезно провести эту выкладку подробно.

16. Следствие. Система {uq; ai - flo, - Оо}. состоящая

из точки асе А и векторов at - ао в L, образует систему аффинных координат в А тогда и только тогда, когда любая точка А однозначно представима в виде барицентрической комбинации

п п

Ход, XiX, YiXi=l.

1=0 1=0

Когда это условие выполнено, система точек {ао, .... un) называется барицентрической системой координат в А, а числа хо, ...

п

хп - барицентрическими координатами точки Yi tui. Доказательство. Все непосредственно следует из опреде-

п п

лений, если вычислять X tt по формуле Uq + X xi (а^ - ао).

Действительно, так как любая точка А однозначно представляется в виде ао-\-1, let, система {ао, ai -ао, .... а„ -ао} является аффинной системой координат в А тогда и только тогда, когда всякий вектор /е L однозначно представляется в виде линейной

комбинации X Х;(а,-- ао), т. е. если (cj - ао.....а„--ао} образуют базис L. По координатам Xi.....Хя.вектора / барицентрические координаты точки ао -f / восстанавливаются однозначно в

п

виде I -Yjxi <= xq, xi, х„.

17. С барицентрическими комбинациями мржно во многом обращаться так же, как с обычньши линейными комбинациями в линейном пространстве. Например, слагаемые с нулевыми коэффициентами можно выбрасывать. Наиболее полезное замечание состоит в том, что барицентрическая комбинация нескольких барицентрических комбинаций точек ао, ..., а^ в свою очередь является барицентрической комбинацией этих точек, коэффициенты которой можно вычислять по ожидаемому формальному правилу:

5 S S 5 ✓ m \

xl X f/nO.- + XiZ yizUt -]-...+ Xm yimoi = X Xkyikj oi.

Действительно,

s m m s m

E Z xkytk -= xk Z у ik = E 1.

так что последняя комбинация барицентрична. Вычисляя левую и правую части этого равенства по правилу, сформулированному в предложении п. 15, с помощью одной и той же точки аеЛ и применяя формализм п. 6, легко получим, что они совпадают.

т

Наконец, барицентрические комбинации ведут себя как линейные комбинации относительно аффинных отображений.

18. Предложение, а) Пусть f: Ах-Ач - аффинное отображение и йо.....UsAi. Тогда

если JXi-l.

б) Пусть ао, .... п задают барицентрическую систему координат в Al. Тогда для любых точек bo, bnA существует единственное аффинное отображение f, переводящее ai в bi, i - = 1, п.

Доказательство. Выбрав а е Ль получим

f (g К + ?о (?о ~ О

= f ( ) + Z XiDf (at -a) = f{a)-t if ii) - f ( )) = t Xif (a,)

/-0 = 0 =0

no предложению п. 15, что доказывает утверждение а).

Если Go, , образуют барицентрическую систему координат в Ль то по следствию п. 16 всякая точка Л представляется

п

единственной барицентрической комбинацией Е xa,-. Определим тогда теоретико-множественное отображение /: Л1->Л2 формулой f Е Xia= Е Xib,. В силу а) это единственное возможное определение, и нужно лишь проверить, что / - аффинное отображение. Действительно, вычисляя, как в предложении п. 15, получаем

Xfiij - f Е ytaij = Z xib, - E ytbt = 6o + Xi {bi - bo) -

n -in / n n \

- bo-\- Tuyi{bi - bo) == Z ixi - :ji) {bi - fco)=jC)f .Z XiUi - j.

где £)/: LiLg - линейное отображение, переводящее ai - Uo в bi - bo для всех i = 1, ..., п. Оно существует, ибо с i - ао, Un - Go по предпо.яожению образуют базис Lb 19. Замечания. В аффинном пространстве R барицентрическая

т

комбинация cii представляет положение центра масс си- =1

стемы единичных масс, помещенных в точках а,. Этим объясняется терминология. Если а,=(0, 1, 0) (единица на t-м месте), то множество точек с барицентрическими координатами Xi, Хп, OXfl, составляет пересечение линейного много-

образия Z = Ic положительным октантом (точнее, 2 -тантом ).

В топологии это множество называется стандартным {п-I)-мерным симплексом. Одномерный симплекс - это отрезок прямой, двумерный - треугольник, трехмерный - тетраэдр. Вообще, мно-

Е Xia, Xt - l, О < л;,- l есть замкнутый симплекс

с вершинами Ui.....an в вещественном аффинном пространстве.

Он называется вырожденным, если векторы йа-Oi. .... a --ai линейно зависимы.

§ 2. Аффинные группы

1. Пусть А - аффинное пространство над полем Ж. Множество аффинных биективных отображений f: А-А в силу предложения п. 10 § 1 образует группу, которую мы будем называть аффинной группой и обозначать Aff Л.

Ее отображение D: AUAQL{L), где Qh(L) - группа линейных автоморфизмов ассоциированного векторного пространства, является гомоморфизмом. Он сюръективен по предложению п. II § I и имеет своим ядром группу сдвигов {ti\leL} по следствию п. 13 § 1. Эта группа сдвигов изоморфна аддитивной группе пространства L по предложению п. 4 § I. Таким образом, АН А есть расширение группы GL(L) с помощью аддитивной группы L, которая является нормальным делителем в Aff А.

Это расширение является полупрямым произведением GL(Z-) и L. Чтобы убедиться в этом, фиксируем любую точку аеА и рассмотрим подгруппу Go с: Aff Л, состоящую из отображений, оставляющих а на месте. По предложению п. II § I каждый элемент feGa однозначно определяется своей линейной частью Df, и Df можно выбирать как угодно. Следовательно, D индуцирует изоморфизм Ga с GL(L). Для любого отображения /eAffЛ можно найти единственное отображение faQa с той же линейной частью, и f=ti°fa для подходящего leL по следствию п. 13 § 1. Фиксировав а, будем записывать tiofa в виде пары [g; I], где g = Df = DfaeGL{L). Правила умножения в группе Aff Л на языке таких пар имеют следующий вид.

2. Предложение. Имеем

[8и Ц fe; У = [12-. gl (2) + hi

[g: n = [g-;.-g-(0].

Доказательство. Согласно определениям [g; t] переводит точку а-+-теЛ в g{m) -f /, откуда

[gi; h] [g2, /2] (a + m) = [g,; /,] {a + g, (m) + /,) =-

fi + gl {g2 im) -f /2) + /i = fl + g,g2 (m) + gl (4) + /1 =

= [gig2; gl ik) + h] (fi + in),

что доказывает первую формулу. Вычисляя с ее помощью произведение [g; I] [g-; -gil)], получаем [idt; 0]; а эта пара представляет тождественный элемент Aff Л. Это завершает доказательство предложения и показывает, что Aff Л - полупрямое произведение.

8. Пусть теперь Gc:GL(L)-некоторая подгруппа. Множество всех элементов fAUA, линейные части которых принадлежат G, очевидно, образуют подгруппу в Aff Л - прообраз G относительно канонического гомоморфизма Aff Л->-GL(L). Мы будем называть ее аффинным расширением группы G.

Особенно важен случай, когда ассоциированное с Л линейное пространство снабжено дополнительной структурой - скалярным произведением, а G представляет собой соответствующую группу изометрии. Так строятся две важные в приложениях группы: группа движений аффинного евклидова пространства (G = 0( )) и группа Пуанкаре {L - пространство Минковского, G - группа Лоренца). Изучим подробнее группу движений.

4. Определение, а) Аффинным евклидовым пространством называется пара, состоящая из аффинного конечномерного пространства А над полем вещественных чисел и метрики d на нем (в смысле определения п. 1 § 10 ч. 1), которая обладает следующим свойством: для любых точек а, Ь^А расстояние. d{a, b) зависит только от а - bsL и совпадает с длиной вектора а - b в подходящей евклидовой метрике пространства L {не зависящей от а, Ь).

б) Движением аффинного евклидова пространства А называется произвольное отображение f: А^А, сохраняющее расстояния: d(f(a), f(b)) = d(a, b) для всех а, fee Л.

б. Теорема. Движения аффинного евклидова пространства А образуют группу, совпадающую с аффинным расширением группы ортогональных изометрии 0{L) ассоциированного с А евклидова пространства L.

Доказательство. Проверим сначала, что любое аффинное отображение f: А-А с Df eO(L) является движением. В самом деле, согласно определениям

d if {а), f (fc)) = I f{a)-f{b)\ = \Df{a-b)\ = \a-b\dia. b);

в третьем равенстве мы воспользовались тем, что 010Щ.

Основная работа связана с доказательством обратного утверждения.

Прежде всего, очевидно, что композиция движений есть движение. Далее, мы уже установили, что сдвиги являются движениями. Пусть am А - произвольная фиксированная точка, / - движение. Положим g = ta~f{a) ° f- Это движенис, оставляющее точку а на месте. Достаточно доказать, что оно аффинное и что Dg&O (L). Отождествим Л с L, как в п. 12 § 1, с помощью отображения с тождественной линейной частью, переводящего а в О е L. Тогда с превратится в отображение g: L-L со свойствами g(0) = 0 и \gO) - g{m)\ = \l~ т\ для всех /, m е L, и достаточно установить что такое отображение лежит в ОЩ.

Проверим прежде всего, что g сохраняет скалярные произведения. Действительно, для любых I, те L

/р-2(/, m)H-mp = Z-mp = g{0-g(m)P =

= lg(0P-2te(/), g(m))-f g(m)p.

откуда следует требуемое, ибо jgCO = / \g{tn)\ = \т\. Теперь покажем, что g аддитивно: g{l + т) = g{l)-\-g(m). Положив / + т = и воспользовавшись предыдущим свойством, имеем

0 = fi-/-mp = fip-f/p + mp-2(n, /)-2(п. m)-f2(/, = lg( )P-f g(/)P + g(m)p-2(g(n), g{l))-2(g{n), g{m)) +

+ 2{g{l), g{m))==\g{n)~g{l)-g{rn)?,

откуда g[n) = g(l) + g{m).

Наконец, покажем, что g{xl) = xg{l) для всех xeR, /eL. Полагая m = xl, имеем

0 = m-x/p = mp-2x(m, -fxUp

= 1 g(m) p - 2a;(g(m), g(/)) -f g (/) p = g (m) - xg{t) p.

Итак, g -линейное отображение, сохраняющее скалярные произведения, т. е. g е О (L). Теорема доказана.

6. Теорема. Пусть f: Л -> Л - двиокение евклидова аффинного пространства с линейной частью Df. Тогда существует такой вектор let, что Df{l)=l и f = ti°g, где g: А-А - движение, имеющее неподвижную точку ае А.

Доказательство. Прежде всего, выясним геометрический смысл этого утверждения. Отождествив А с L посредством аффинного отображения с тождественной линейной частью, которое переводит а в О, мы получаем, что / является композицией ортогонального преобразования g и сдвига на вектор неподвижный относительно g (ибо Df-Dg). Иными словами, это винтовое движение , если detg=I, или винтовое движение, скомбинированное с отражением, если detg = -1. В самом деле, g вполне определяется своим ограничением go на1 g = gn©idR/, так что g есть вращение вокруг оси R/ (возможно, с отражением).

Приступим теперь к доказательству. Положим Lz - K&v(Df - - idt), L\ - Lo . Имеем L = Li, Li состоит из Df-инвариант-ных векторов, пространство L\ инвариантно относительно Df - idt (ибо Df ортогонален), и ограничение Of -idt на L\ обратимо.

Врлберем сначала произво,пьную точку а'еА и положим g - tr,-!.o-°f. Очевидно, g{a)-a. Положим f{a) - a = -/i4-/2, где UeL he Li. тогда f = tt,°tuog и Df{ti) = li no определению. Покажем, что gttoq имеет неподвижную точку а - а' -т для некоторого m L\. Имеем

tu о g (а' Ч- т) = g ГаЧ- т> + /, = о' -f Df (m) -f Правая часть равна а' -\-т тогда и только тогда, когда

{Df - idi,)m +/1 = 0. Ho, как мы уже отмечали, на Li оператор Df - iUL обратим и AeLi. Поэтому т существует. Мы получили требуемое разложение f = th°g и завершили доказательство.

Движения / со свойством det Df= I называются иногда собственными движениями, а остальные (с detDf = -1) -несобственными. Представим более наглядно информацию о движениях аффинных евклидовых пространств размерности л^З, содержащуюся в теореме п. 6. В следующем пункте сохранены обозначения этой теоремы.

7. Примеры, а) п=1. Поскольку 0(1) = {±1}, собственные движения состоят только из сдвигов. Если / несобственное, то Df = -I, и из Df{l) = l следует, что /==0. Поэтому всякое несобственное движение прямой имеет неподвижную точку и, стало быть, является отражением относительно этой точки.

б) п = 2. Собственное движение f с Z)f = id является сдвигом; если Df id и det Df= 1, то Df, будучи вращением, не имеет неподвижных векторов, так что снова / = 0 и f имеет неподвижную точку, относительно которой / является вращением.

Если / - несобственное движение, то Df есть отражение п.поско-сти относчз-ельно прямой, а / есть комбинация такого отражения и сдвига вдоль этой прямой. Значит, если несобственное движение плоскости имеет неподвижную точку, то оно имеет целую прямую неподвижных точек и представляет собой отражение относительно этой прямой.

в) п = 3. Если detDf= I, то Df всегда имеет собственное значение единица и неподвижный вектор. Поэтому все собственные движения трехмерного евклидова пространства являются винтовыми движениями вдоль некоторой оси (включая сдвиги, т. е. вырожденные винтовые движения с ну.яевым поворотом). Это - так йазываемая теорема Шаля.

Если движение f - tig несобственное и 1ф^, то ограничение g на плоскость, ортогональную к I и проходящую через неподвижную точку а, есть несобственное движение этой плоскости. Поэтому оно является отражением относительно прямой в этой плоскости. Обозначим через Р плоскость, натянутую на / и на эту прямую. Тогда tig есть комбинация отражения относительно плоскости Р и сдвига на вектор /, лежащий в Р.

Наконец, если / = О, т. е. / несобственное и имеет неподвижную точку, то, отождествляя ее с нулем в L, а / с D/ и пользуясь существованием у / собственной прямой Lo с собственным значением минус единица, получаем геометрическое описание / как композиции вращения в Lq и отражения относительно L.

Пользуясь полярным разложением линейных операторов, мы можем также разобраться в геометрической структуре любого обратимого аффинного преобразования евклидова аффинного пространства.

8. Теорема. Всякое аффинное преобразование п-мерного евклидова пространства / может быть представлено в виде композиции трех отображений: а) п растяжений {с положительными ко.эффи-