представление нулевого вектора О 2] x.iei, в котором не все Xi

равны нулю. Поэтому О не однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов {ег}: всегда существует тривиальное

т

представление О = Ое,.

Отсюда уже следует полное утверждение теоремы, поскольку этим мы проверим, что никакой базис не может содержать больше элементов, чем другой базис.

Положим ef - X! £fej>т. Для любых х^еЖ имеем

т т п п / т \

Поскольку {е,} образуют базис в L, нулевой вектор имеет един-

ственное представление виде линейной комбинации {е*}.

т

Поэтому условие Jc,je = О равносильно системе однородных линейных уравнений относительно х*,:

т

JlaikXk = 0, 1=1.....п.

Поскольку число неизвестных т больше числа уравнений п, эта система имеет ненулевое решение. Теорема доказана.

5. Замечания, а) Можно было бы рассматривать произвольные семейства векторов и называть такое семейство базисом, если любой вектор пространства однозначно представляется в виде конечной линейной комбинации элементов семейства. В этом смысле любое линейное пространство имеет базис, и у бесконечномерного пространства базис всегда бесконечен. Однако это понятие не слишком полезно. Как правило, бесконечномерные пространства снабжаются топологией, и определение базиса видоизменяется с учетом этой топологии и возможности определять некоторые бесконечные линейные комбинации.

б) В общих линейных пространствах базисные векторы по традиции нумеруются целыми числами от 1 до п (иногда от О до п), но это совершенно не обязательно. Базис {6s} в F(S) естественно нумеруется элементами множества s е 5. Можно также считать базис L просто подмножеством в L, элементы которого не снабжены никакими индексами (ср. п. 20). Нумерация, или, скорее, порядок элементов базиса, существенны при использовании матричного формализма (см. § 4). В других вопросах может оказаться важной другая структура на множестве индексов базиса. Например, если 5 - конечная группа, то важно, как индексы s бази-

са {6s} перемножаются внутри S, а случайная нумерация S целыми числами может только загромоздить обозначения.

6. Примеры, а) Ж имеет размерность п. б) F(S) имеет размерность rt, равную числу элементов S, если S конечно.

Позже мы научимся вычислять размерности линейных пространств, не строя их базисов. Это очень важно, потому что многие числовые инварианты в математике определяются как размерности ( числа Бетти в топологии, индексы операторов в теории дифференциальных уравнений); базисы мсе соответствующих пространств могут оказаться трудно вычислимыми или не имеющими особого смысла. Но пока мы еще должны поработать с базисами.

Проверка того, что данное семейство векторов {ei, ..., е„} в L образует базис, в соответствии с определением состоит из двух частей. Их отдельное рассмотрение приводит к следующим понятиям.

7. Определение. Линейной оболочкой семейства векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций в L.

Легко проверить, что линейная оболочка является линейным подпространством в L (см. § I, п. 8). Линейную оболочку Xei-{-+ Же2 + также называют подпространством, натянутым на векторы {е,} или порожденным векторами семейства {е,}. Ее можно определить еще как пересечение всех линейных подпространств в L, содержащих все е,- (докажите!). Рангом семейства векторов называется размерность его линейной оболочки.

Первое характеристическое свойство базиса: его линейная оболочка совпадает со всем L.

8. Определение. Семейство векторов {ei) называется линейно независимым, если никакая нетривиальная линейная комбинация

п

{ei} не равна нулю, т. е. если из 5] ij = О следует, что все

а{ = 0. В противном случае оно называется линейно зависимым.

Линейная независимость семейства {ei} означает, что нулевой вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации элементов семейства. Тогда любой другой вектор имеет либо единственное представление, либо ни одного. Действительно, сравнивая два представления

п п п

/ == XI ae = а^е^, находим О = ( - о^) e, откуда = а\.

Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса: его элементы линейно независимы.

Объединение этих двух свойств равносильно первоначальному определению базиса.

Заметим еще, что семейство векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда оно образует базис своей линейной оболочки.

Семейство {еь ..., бп} заведомо линейно зависимо, если среди векторов е, есть пулевой или два одинаковых (почему?).

т

Более общо:

9. Лемма, а) Семейство векторов {ей .... € } линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов в) является линейной комбинацией остальных.

б) Если семейство {вь ..., вя} линейно независимо, а семейство {ei.....en, e +i} линейно зависимо, то e +i является линейной

комбинацией ей е„.

п

Доказательство, а) Если XI г^г = О и О, то ==

п

- 2 {- Щ^ш) ei. Наоборот, если е/= X biei, то е, - Х bfii = 0.

1Ф1 п + 1

б) Если 5 ajCj = О и не все ai равны нулю, то обязательно

£-1

й/1+1 Ф О, иначе мы получили бы нетривиальную линейную зави-

п

симость между ej, .... е„. Поэтому е^, = XI(-а~.,а;)е^.. Лемма доказана.

Пусть £={61, е„} - некоторое конечное семейство векторов в L, F = {ei .... ег ,} - его линейно независимое подсемейство. Назовем F максимальным, если каждый элемент из Е линейно выражается через элементы из F.

10. Предложение. Каждое линейно независимое подсемейство Е' с^Е содержится в некотором максимальном линейно независимом подсемействе F с^Е. Линейные оболочки F и Е совпадают.

Доказательство. Если в Е\Е' есть вектор, не предста-вимый в виде линейной комбинации элементов добавим его к Е'. В силу утверждения б) леммы п. 9 полученное семейство Е будет линейно независимым. Применим то же рассуждение к Е и т. д. Поскольку Е конечно, этот процесс оборвется на максимальном семействе F. Любой элемент линейной оболочки Е, очевидно, линейно выражается через векторы семейства F.

В случае Е' = 0 в качестве Е нужно выбрать ненулевой вектор из Е, если он есть; иначе F пусто.

И. Замечание. Этот результат верен и для бесконечных семейств Е. Для его доказательства следует применить трансфинитную индукцию или лемму Цорна: см. пп. 18-20.

Максимальное подсемейство не обязательно единственно: рассмотрим £={(1,0), (0,1), (1.1)}, £ = {(1,0)} в Ж'. Тогда £ содержится в двух максимальных независимых подсемействах {(1,0), (0,1)} и {(1.0), (1,1)}- Однако число элементов максимального подсемейства определено однозначно; оно совпадает с размерностью линейной оболочки Е и называется рангом семейства £.

Часто бывает полезна следующая теорема.

12. Теорема о продолжении базиса.Пусть £=={еь .... £ }-

линейно независимое семейство векторов в конечномерном пространстве L. Тогда существует базис L, содержащий Е':

Доказательство. Выберем какой-нибудь базис {ет+ь . -

е„} в L и положим Е={еи вт, em+i.....вп). Обозначим

через F максимальное линейно независимое подсемейство Е, содержащее Е'. Оно является искомым базисом.

В самом деле, нужно только проверить, что линейная оболочка F совпадает с L. Но она равна линейной оболочке Е по предложению п. 10, а последняя равна L, потому что в Е содержится базис пространства L.

13. Следствие (монотоннбсть размерности). Пусть М - линейное подпространство в L. Тогда dim М dim L, и если L конечномерно, то из dim М = dim L следует, что M = L.

Доказательство. Если М бесконечномерно, то L также бесконечномерно. Действительно, покажем сначала, что в М можно найти сколь угодно большие независимые семейства векторов. Если семейство из п линейно независимых векторов {еь ..., е„} уже найдено, то его линейная оболочка М' с^М не может совпадать с Л1 -иначе М было бы п-мерно. Поэтому в М есть вектор е„+ь линейно не выражающийся через {еь и утвержде-

ние б) леммы п. 9 показывает, что семейство {еь е„, e +i} линейно независимо. Теперь предположим, что М бесконечномерно, а L п-мерно. Тогда любые п -4- I линейных комбинаций элементов базиса L линейно зависимы по рассуждению в доказательстве теоремы п. 4, что противоречит бесконечномерности М.

Остается разобрать случай, когда М и L конечномерны. Но тогда любой базис М по теореме п. 12 Можно продолжить до базиса L, откуда и следует, что dim М dim L.

Наконец, если dimAf = dimL, то любой базис М должен быть базисом L -иначе его продолжение до базиса состояло бы из > dim L элементов, что невозможно.

14. Базисы и флаги. Один из стандартных способов изучения множеств S с алгебраическими структурами состоит в выделении в них последовательности подмножеств So cz Si сг S2 cz ... или So =5 Si S2 =) ... так, что переход от одного подмножества к следующему устроен в каком-то смысле просто. Общее название таких последовательностей-01/лбграгии (возрастающая и убывающая соответственно). В теории линейных пространств строго возрастающая последовательность подпространств Lqcz Li с ... cz L пространства L называется флагом. (Мотивировка названия: флаг {точка 0} с: {прямая} cz {плоскость}-это гвоздь , древко и полотнище .)

Число п назовем длиной флага Lo cz: Li cz ... cz L .

Флаг LqczL, cz ... czLnCz ... назовем максимальным, если Lo= {0}, \J Li = L и между L,-, Lt+i (для всех /) нельзя вставить подпространство: если LiCzMcLi+i, то либо Lt - M, либо М = 1ш-

По всякому базису {еь ..., е„} пространства L можно построить флаг длины п, положив Lo=={0}, Li - линейная оболочка {еь е,} (при /1). Из доказательства следующей теоремы

будет видно, что этот флаг максимален и что наша конструкция дает все максимальные флаги.

15. Теорема. Размерность пространства L равна длине любого его максимального флага.

Доказательство. Пусть Lqcz Lxcz L2C1 ... - максимальный флаг в L. Для каждого / 1 выберем вектор ei е Li\Li-i и покажем, что {еь ..., е,} образуют базис пространства Li.

Прежде всего, линейная оболочка семейства {ci, e, i) содержится в Li-u а о,- не лежит в L, i, откуда индукцией по / (с - учетом 61 ф 0) следует, что {ei, ..., ei} линейно независимы для всех /.

Теперь индукцией по / покажем, что {ei, .... е,} порождают Пусть это верно для - 1, и пусть Af -линейная оболочка семейства {еь е,}. Тогда Lj i сг Л1 по индуктивному предположению и L, iM из-за того, что e,-L, i. По определению максимальности флага отсюда следует, что М = L,.

Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Если Lqcz Licz ... cz Ln = L - конечный максимальный флаг в L, то векторы {ei, ..., е„}. е, е Li\Lj i, по доказанному образуют базис в L, так что п = dim L. Если в L есть бесконечный максимальный флаг, то эта конструкция дает сколь угодно большие линейно независимые семейства векторов в L, так что L бесконечномерно.

16. Дополнение. В конечномерном пространстве L любой флаг можно дополнить до максимального, и поэтому его длина всегда dim L. Действительно, будем вставлять в-исходный флаг промежуточные подпространства, пока это возможно. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, ибо конструкция систем векторов {еь е,}, е,-е по любому флагу дает линейно независимые системы (см. начало доказательства теоремы п. 15), и потому длина флага не может превзойти dimL.

17. Основной принцип работы с бесконечномерными пространствами: лемма Цорна, или трансфинитная индукция. Большинство теорем конечномерной линейной алгебры нетрудно доказать, опираясь на существование конечных базисов и теорему п. 12 о продолжении базисов: много примеров тому читатель увидит в дальнейшем. Но привычка к базисам затрудняет переход к функциональному анализу. Мы опишем сейчас теоретико-множественный принцип, который в очень многих случаях заменяет апелляцию к базисам.

Напомним (см. Введение в алгебру , гл. 1, § 6), что частично упорядоченным множеством называется множество X вместе с бинарным отношением порядка на X, которое рефлексивно (х^х), транзитивно (если х у, у г, то х г) и антисимметрично (если X у и у X, то X = у). Вполне может оказаться, что пара элементов .v, у X не находится ни в отношении х у, ни в отношении у х. Если же для любой пары либо х у, либо у х, то множество называется линейно упорядоченным, или цепью.

Верхняя грань подмножества У в частично упорядоченном множестве X - это любой элемент х^Х такой, что у х для всех !/ е У. Верхняя грань подмножества может и не существовать: если Х = R с обычным отношением а У = Z (целые числа), то верхней грани у У нет.

Наибольшим элементом частично упорядоченного множества X называется элемент п^Х такой, что х^ п для всех х^ X, а максимальным - элемент m е X, для которого из т^хе X следует х = т. Наибольший элемент всегда максимален, но не наоборот.

18. Пример. Типичный пример упорядоченного множества X - это множество всех подмножеств (S) множества S или некоторая его часть, упорядоченное отношением . Если S имеет больше двух элементов, то (S) частично упорядочено, но не линейно упорядочено (почему?). Элемент S(S) максимальный, и даже наибольший в (S).

19. Лемма Цорна. Пусть X - непустое частично упорядоченное множество, любая цепь в котором обладает верхней гранью в X. Тогда любая цепь обладает такой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в X.

Лемму Цорна можно выводить из других, более приемлемых интуитивно аксиом теории множеств, но логически она эквивалентна так называемой аксиоме выбора , если остальные аксиомы приняты. Поэтому удобно причислять ее к числу основных аксиом, что часто и делается.

20. Пример применения леммы Цорна: существование базиса в бесконечномерных линейных пространствах. Пусть L - линейное пространство над полем Ж. Обозначим через Xc(L) множество линейно независимых подмножеств векторов в L, упорядоченное отношением Е.

Иными словами, У е X, если любая конечная линейная комбинация векторов из У, равная нулю, имеет нулевые коэффициенты. Проверим условие леммы Цорна: если S - некоторая цепь в X, то у нее есть верхняя грань в X Действительно, положим Z= (J Y.

Ясно, что У Е Z для всякого У е S; кроме того, Z образует линейно независимое множество векторов, потому что любое конечное множество векторов {уи Уп} из Z содержится в некотором элементе У е S. В самом деле, пусть yi е ¥{ е S; так как S - цепь, из каждых двух элементов У,-, У,- е 5 один является подмножеством другого; выкидывая по очереди меньшие множества из таких пар, мы получим, что среди Yi есть наибольшее множество; в нем и содержатся все yi, Уп, которые, таким образом, линейно независимы.

Применим теперь заключение леммы Цорна. Здесь достаточна только часть его: существование в X максимального элемента. Согласно определению, это такое линейно независимое множество векторов YeX, что если добавить к нему любой вектор / е L, то множество У и W уже не будет линейно независимым. Точно такое

же рассуждение, как при доказательстве утверждения б) леммы п. 9, показывает тогда, что / есть (конечная) линейная комбинация элементов У, т. е. Y образует базис в L.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть L - пространство многочленов от х степени п - 1 с коэффициентами в поле X. Проверить следующие утверждения:

а) I, X.....д; - образуют базнс в L. Координаты многочлена f в этом

базисе - это его коэффициенты.

б) 1, х - а, (х - а) , .... (х -а) - образуют базис в L. Если сЪгтХ =

( ( la)

= р п, то координаты многочлена f в этом базисе: { f (а), f (а), ---

1)1 j-

(n-l) .

в) Пусть а,.....а„е.Х-попарно различные элементы. Положим gi(x)

JJ (jc - а/) (flj - а/) - Многоч.пены g\(x), ..., gn(x) образуют базис L

( интерполяционный базис ). Координаты многочлена f в этом базисе: {!Ы.....f}-

2. Пусть L - п-мерное пространство, f: LX - ненулевой линейный функционал. Доказать, что М= {/eLf(/) =0} является (п-1)-мерным подпространством в L. Доказать, что все (га-1)-мерные подпространства получаются таким способом.

3. Пусть L - га-мерное пространство, М cz L - m-мериое подпространство. Доказать, что существуют линейные функционалы fi, ..., fn-m е L* такие, что If = {/f,(/)=... = f -, (/)=0}.

4. Вычислить размерности следующих пространств;

а) пространства многочленов степени от п переменных;

б) пространства однородных многочленов (форм) степени р от п переменных;

в) пространства функций из F(S), S < оо, обращающихся в нуль во всех точках из подмножества So с S.

5. Пусть X - конечное поле характеристики р. Доказать, что число его элементов равно р для некоторого га 1. {Указание. Рассмотреть X как линейное пространство над простым подполем, состоящим из всех сумм единиц в X: О, 1, Ц-1, ...)

6. Заменой понятия флага в бесконечномерном случае служит понятие цепи подпространств (упорядоченных по включению). Пользуясь леммой Цорна, доказать, что всякая цепь содержится в максимальной.

§ 3. Линейные отображения

1. Определение. Пусть L, М - линейные пространства над полем Ж. Отображение f: L-M называется линейным, если для всех /, Zi, /г е L, а^Ж имеем

fial) = af(l), /(/, + /2) = /(/.) +/(/2)-

Линейное отображение является гомоморфизмом аддитивны.х групп. В самом деле, f(0) = Of(0) = 0 и /(-/) = Д(-1)/) = =z - f(l). Индукция по п показывает, что для любых а1Ж,

liL имеем f ( X! I = Z if ih)-

Линейные отображения L-*-L называются также линейными операторами на L.

2. Примеры, а) Нулевое линейное отображение /: L-M, f(/) = 0 для всех ZeL. Тождественное линейное отображение: \: L-L, f{l) = l для всех /eL. Оно обозначается id/, или id (от английского слова identity ). Умножение на скаляр а^Ж, или гомотетия f: L-L, fil) = al для всех /eL. При а = 0 получается нулевой оператор, при а = 1 - тождественный.

б) Линейные отображения /: L--Ж - это линейные функции, или функционалы, на L (см. § 1, п. 9). Пусть L - пространство с базисом {еь ..., е„}. Для любого 1 t п отображение е': L-Ж, где e(l) - t-я координата / в базисе {еь е„}, является линейным функционалом.

в) Пусть L-{xeR\x>0} наделено структурой линейного пространства над R, описанной в § 1, пример а) п. 10, Л1 = R Отображение log: L-*-M, хь-logx, R-линейно.

г) Пусть ScT -два множества. Отображение F(T)-F(S), которое всякой функции на Т ставит в соответствие ее ограничение на S, линейно. В частности, если S={s}, s е Т, feF(T), то отображение: (значение f в точке s) линейно.

Конструкция линейных отображений с нужными свойствами часто основывается на следующем результате.

3. Предложение. Пусть L, М- линейные пространства над полем Ж; {h, / }czL и {шь .... тп}<:М - два семейства векторов с одинаковым числом элементов. Тогда:

а) если линейная оболочка {h, ..., In} совпадает с L, то существует не больше одного линейного отображения f: L-M, для которого f{li) = mi при всех i;

б) если {/ь - -., In} к тому же линейно независимы, т. е. образуют базис L, то такое отображение существует.

Доказательство. Пусть f, / - пара отображений с Д/<) = - f(li)z=tni для всех /. Рассмотрим отображение g = f - f, где (/ - n(0=f(0 - Г(0- Легко проверить, что оно линейно. Кроме того, оно переводит в нуль все /, и потому любую линейную комбинацию векторов Значит, f к f совпадают на каждом векторе из L, откуда / =

Пусть теперь {/ь ., L} образует базис L. Так как каждый

п

элемент L однозначно представляется в виде JUili, мы можем

определить теоретико-множественное отображение f: L-M формулой

Его линейность проверяется непосредственно.

В этом доказательстве использовалась разность двух линейных отображений L-M. Это частный случай следующей более общей конструкции.

4. Обозначим через SiL, М) множество линейных отображений из L в М Для f,ge2(L,M) и а^Ж определим af и f + g

формулами

(af) (I) = a(f (/)), (f + g) (I) = f(t) + g (I)

для всех /eL. Точно так же, как в § 1, п. 9, проверяется, что af и / + линейны, так что S(L, М)-линейное пространство.

5. Пусть fS(L,M) и g (M,N). Теоретико-множественная композиция gvf=gf: L-N является линейным отображением. Действительно,

(gf) (/. + l2) = g и (/. + /2)] = g [f ih) + f (/2)] ==g[f (/,)] +g[f ik)]

= gf(l,)+gf{l2)

и, аналогично, (gf) (al) = a(gf (I)).

Очевидно, idM°f = /°idt = /. Кроме того, h(gf) = (hg)f, когда обе части определены, так что скобки можно опустить; это общее свойство ассоциативности теоретико-множественных отображений. Наконец, композиция gf линейна по каждому из аргументов при фиксированном втором: например, g° (a/i + /2)= ( fi)+

+ b(gof2).

6. Пусть /e5(L,Af) -биективное отображение. Тогда у него есть теоретико-множественное обратное отображение /-: M-L. Мы утверждаем, что f автоматически линейно. Для этого следует проверить, что

(т, + шг) = Г' (т,) + f (m). Г' (am.) = (m.)

для всех т\,т2М; аеЖ. Поскольку f биективно, существуют и однозначно определены такие векторы /i,/jeL, что mi = f(li). Написав формулы

/ (/.) + f (к) = /(/, + к), af (/,) = f (ah),

применив к их обеим частям f и заменив в результате /, на f-(mi), получим требуемое.

Биективные линейные отображения f: L-M называются изоморфизмами. Пространства Z, и М называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.

Следующая теорема показывает, что размерность пространства полностью определяет его с точностью до изоморфизма.

7. Теорема. Два конечномерных пространства L и М над полем Ж изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Доказательство. Изоморфизм /: L-M сохраняет все свойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций. В частности, он переводит любой базис L в некоторый базис М, так что размерности L и М совпадают. (Из этого рассуждения следует также, что конечномерное пространство не может быть изоморфно бесконечномерному.)

Наоборот, пусть размерности L и М равны п. Выберем базисы {h, .... In} и {ти .... Шп] в L и М соответственно. Формула

определяет линейное отображение L в Af по предложению п. 3. Оно является биекцией, ибо формула

f- ( Z а<т, j = g а,/.

определяет обратное линейное отображение

8. Предупреждение. Если даже изоморфизм между двумя линейными пространствами L,M и существует, ои определен однозначно только в двух случаях:

а) L = Af = {0},

б) L и Af одномерны, а Ж - поле из двух элементов (попробуйте доказать это!).

Во всех остальных случаях имеется много (если Ж бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется много изоморфизмов пространства L с самим собой. В силу результатов пп. 5 и 6 они образуют группу относительно теоретико-множественной композиции. Эта группа называется полной линейной группой пространства L. Позже мы сможем описать ее в более явном виде как группу невырожденных квадратных матриц.

Иногда бывает, что между двумя линейными пространствами определен некоторый изоморфизм, не зависящий ни от каких произвольных выборов (как выборы базисов в пространствах L и Af в доказательстве теоремы п. 7). Такие изоморфизмы мы будем называть каноническими или естественными (точное определение этих терминов можно дать только на категорном языке, о котором см. § 13). Следует тщательно отличать естественные изоморфизмы от случайных . Мы приведем два характерных примера, очень важных для понимания этого различия.

9. Случайный изоморфизм между пространством и двойственным к нему. Пусть L - конечномерное пространство с базисом {еь е„}. Обозначим через eeL* линейный функционал

l->e{l), где е'(/) -t-я координата вектора / в базисе {ei}

(не путать с /-й степенью; в линейном пространстве она не определена). Мы утверждаем, что функционалы {е\ .... е } образуют базис в L*, так называемый двойственный к {ей е„} базис. Равносильное описание {e} такое: е'(е^) = б,*, (символ Кронекера: I при t = /г, О при 1фк).

В самом деле, всякий линейный функционал f: 1-*-Ж можно представить в виде линейной комбинации {е'}:

f-=tf{ei)eK (-1

Действительно, значения левой и правой части совпадают на любой линейной комбинации а^е^, потому что е' Z (k/kj ~ по определению еК 24