п. Следствие. Определитель любой симплектической матрицы равен гдинице.

Доказательство. Из условия АЧ,А = Iir и теоремы п. Й следует

1 = Pf = Pf (Л'/гИ) == det А Pf /2

что доказывает требуемое.

Мы пользовались этим фактом при доказательстве предложения п. 6.

12. Связь ортогональной, унитарной и симплектической групп.

Пусть R-координатное пространство с двумя скалярными произведениями: евклидовым (,) и симплектическим [,]:

\х, у] = кЧгУ = {х, hry)-

Поскольку /гг- гг оператор hr определяет на R комплексную структуру (см. § 12 ч. 1) с комплексным базисом' {cj-\- le,jf.j\\ = \, г}, относительно которой имеется эрмитово скалярное произведение

-> > > > -> <х, г/) = (х, у) -/[х, {/]

(см. предложение п. 2 § 6).

В терминах этих структур имеем

и (г) = О (2/-) П Sp (2г) = GL (г. С) П Sp (2г) = GL (г. С) П О (2г).

Мы оставляем читателш проверку в качестве упражнения.

§ 14. Теорема Витта и группа Витта

1. В этом параграфе мы изложим результаты Витта, относящиеся к теории конечномерных ортогональных пространств над произвольными полями. Они уточняют теорему классификации из § 3 и могут рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы инерции и понятия о сигнатуре. Начнем с некоторых определений. Как обычно, считаем характеристику поля скаляров не равной двум.

Гиперболической плоскостью называется двумерное пространство L с невырожденным симметричным скалярным произведе-нием (,), имеющее ненулевой изотропный вектор.

Гиперболическим пространством называется пространство, разлагающееся в прямую сумму попарно ортогональных гиперболических плоскостей.

Анизотропным пространством называется пространство, не Имеющее (ненулевых) изотропных векторов.

Над вещественным полем анизотропные пространства L имеют сигнатуру (rt, 0) или (О, п), где rt = dirnL. Мы сейчас покажем,

что гиперболические пространства суть обобщения пространств с сигнатурой (гп, т).

2. Лемма. У гиперболической плоскости L всегда существуют

базисы {е[, е' с матрицей Грама { и {e, е^} с матрицей

Доказательство. Пусть ZeL, (/,/)= 0. Если Zi е L не пропорционален Z, то (Zi,/)=0, ибо L невырождена. Можно считать, что (Zi, Z)=l. Положим ei = l, e2 = h - ~l. Тогда (ei,e,) = (e2,e2) = 0, (е е2)= 1. Положим е; = i. 4=-?!.

Тогда [е\, е|)==1, (е', 62) = -!, (е\, е,) = 0. Лемма доказана Базис {ей ег) мы будем называть гиперболическим. Аналогично, в общем гиперболическом пространстве мы будем называть гиперболическим базис с матрицей Грама, состоящей из диагональных

блоков ( Q)

3. Лемма. Пусть Lac: L - изотропное подпространство в невырожденном ортогональном пространстве L, {ei, вт}-базис в Lo. Тогда существуют такие векторы е[, е'е L, что (gj,

т' т} образуют гипврболичвский базис своей линейной оболочки.

Доказательство. Пусть Z-i -линейная оболочка {ег, ... .... вт}. Так как Li строго меньше Lo, то Li строго больше Lo в Силу невырожденности L. Пусть Ci е Li- \ Lo . Тогда (ей ei) = О при / 2, но (вр gj) =7 0. Можно считать, что (е'[, е,) - 1, так что е ке пропорционален е\. Как в доказательстве леммы п. 2, положим

е\ = е\- ву Тогда {е ej) образуют гиперболический

базис своей линейной оболочки. Ортогональное дополнение к ней невырождено и содержит изотропное подпространство, натянутое на {бг, вт). К этой паре можно применить аналогичное рассуждение, и индукция по т дает требуемое.

4. Теорема (Витт). Пусть L - невырожденное конечномерное ортогональное пространство, L, L aL - два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия f: L->L мажет быть продолжена до изометрии f: L-L, совпадающей с f на L.

Доказательство, Разберем последовательно несколько случаев.

а) L = L и оба пространства невырождены. Тогда L - - L® (L) и можно положить f - f® if5(t/,±-

б) L=5L , diniL = dimL = 1, и оба пространства невырождены. Изометрию f: LL можно продолжить до изометрии Г: L-itL L+ L , положив / (/) = f (О Для /eL, /(0 = = (/)- (/) для lL . Если и-\-L невырождено, то f продолжается до / по предыдущему случаю. Если L + L вырождено, то

ядро скалярного произведения на L + L одномерно. Пусть е\ порождает это ядро, вг порождает L. В ортогональном дополнении к 62 в L найдем такой вектор е\, что базис (е е' порождаемой этими векторами плоскости гиперболичен. Это возможно по лемме п. 3. Покажем, что подпространство Lo, натянутое на{е е\, е^, невырождено, и изометрия \\ LL продолжается до изометрий f: Lo-Lo. После этого можно будет применить случай а).

Невырожденность следует из того, что (ег, е2)¥=0, а матрица Грама векторов (е е[, имеет вид

/0 1 0 4 10 о .

VO о (es, ег)/

Для продолжения f заметим сначала, что ортогональное дополнение к f (ег) в Lo двумерно, невырождено и содержит изотропный вектор е\. Поэтому оно является гиперболической плоскостью, так же как и ортогональное дополнение к ег в Lo. По лемме п. 2, существует изометрия второй плоскости с первой. Ее прямая сумма с / является искомым продолжением.

в) dim и = dim L > 1 и L, L невырождены. Проведем индукцию по dim и. Так как в L имеется ортогональный базис, существует разложение L = Li ф L2 в ортогональную прямую сумму подпространств ненулевой размерности. Так как / - изометрия, то L =1\@С, где Lt==f {Li), и эта сумма ортогональна. По индуктивному предположению ограничение f на Li продолжается до

изометрий fr. L-> L. Она переводит {Li) zd Lr в (Li)r)L2. Снова по индуктивному предположению существует изометрия

[Li) с [L]), которая на L2 совпадает с ограничением f. Дополнив его ограничением / на Li, получим требуемое.

г) L вырождено. Мы сведем этот последний случай к уже разобранному. Пусть Lqcz L - ядро ограничения метрики на L. Выбрав ортонормированный базис в L, мы можем построить прямое разложение L = Li ф Lo, где Li невырождено. В ортогональном дополнении к L, внутри L мы можем найти подпространство Lo такое, что сумма Lo©Li®Lo прямая и пространство Lo@Lo гиперболично, как в лемме п. 3; в частности, Lo©Li©Lo невырождено. Аналогично построим Lo©Li©Lo, исходя из пространства L . Очевидно, изометрия LL продолжается до изометрий этих прямых сумм, ибо все гиперболические пространства одинаковой размерности изометричны. Возможность дальнейшего продолжения этой изометрий следует теперь из случая в). Теорема доказана.

5. Следствие. Пусть Li, Ls - изометричные невырожденные пространства и L\, L2- их изометричные подпространства. Тогда ортогональнт дополнения {Ly}, {l!) к ним изометричны.

6. Следствие. Пусть L - невырожденное ортогональное пространство. Тогда любое изотропное подпространство L содержится в максимальном изотропном подпространстве, и для двух максимальных изотропных подпространств L, L существует изометрия f: L-> L, переводящая U в

Доказательство. Первое утверждение тривиально. Для доказательства второго допустим, что dim L dim L . Любая линейная инъекция f: LL является изометрией L с Im/. Поэтому она продолжается до изометрии /: L-L. Тогда L а /- (L ) и /- {L ) изотропно. Так как L максимально, dim U = dim /- (L ) = = dim L .

7. Следствие. Для любого ортогонального пространства L существует ортогональное прямое разложение Lg® Lh® Ld, еде Lo изотропно, Lh гиперболично и La анизотропно. Для любых двух

таких разложений существует изометрия /: L- L, переводящая одно из них в другое.

Доказательство. Возьмем в качестве Lo ядро скалярного произведения. Разложим L в прямую сумму Lo® Li. В Li возьмем максимальное изотропное подпространство и вложим его в гиперболическое подпространство удвоенной размерности Lh, как в лемме п. 3. В качестве La возьмем ортогональное дополнение к Lu в Li. Оно не содержит изотропных векторов, иначе такой вектор можно было бы добавить к исходному изотропному подпространству, которое не было бы максимальным. Это доказывает существование разложения требуемого вида..

Наоборот, в любом таком разложении Lo® Lh® La пространство Lo является ядром. Далее, максимальное изотропное подпространство в Lh одновременно максимально изотропно в Lh® La, поэтому размерность Lh определена однозначно. Значит, для двух разложений Lo@Lh®La и Lo®Lh® La существует изометрия, переводящая Lo в Lo, Lh в Lh- Она дополняется изометрией Ld в Ld по теореме Витта, что завершает доказательство. Назовем La анизотропной частью пространства L; она определена с точностью до изометрии.

Это следствие есть обобщение принципа инерции на произвольные поля скаляров, сводящее классификацию ортогональных пространств к классификации анизотропных пространств или, на языке квадратичных форм, к классификации форм, не представляющих нуля, для которых из q{l) = 0 следует, что / = 0.

8. Группа Витта. Пусть Ж -поле скаляров. Обозначим через \1{Ж) множество классов анизотропных ортогональных пространств над Ж (с точностью до изометрии), дополненное классом нулевого пространства. Введем на Ш{Ж) следующую операцию слЬження: если Lj, Lg -два анизотропных пространства, [Li], l[L2] -их классы в W{Ji), то [Li]-f-[Lg] - класс анизотропной части Li Ф Lg (справа стоит ортогональная внешняя прямая сумма).

Нетрудно убедиться, что определение корректно. Далее, эта операция сложения ассоциативна, и класс нулевого пространства служит нулем в Более того, имеет место

9. Теорема, а) W{X) с введенной операцией сложения является абелевой группой, называемой группой Витта поля Ж.

б) Пусть Lo означает одномерное координатное пространство над Ж со скалярным произведением аху, аеЖ\{0}. Тогда [La] зависит только от смежного класса а{Ж*), и элементы [La] составляют систему образующих группы \(Ж).

Доказательство. Нам осталось убедиться, что у каждого элемента ]Х^(Ж) существует обратный. Действительно, пусть L - анизотропное пространство с метрикой, которая в ортогональном

п

базисе {ei, ..., е„} задана формой Е <iXr Обозначим через L про-

п

странство L с метрикой - Х^ ,-*/ и покажем, что L®£ гиперболично, так что [L] + lL] = [0] в Действительно, метрика

п

ъ LQЕ задана формой Z (х] - У/)- Но плоскость с метрикой

(х^ - у^), очевидно, гиперболична, ибо форма невырождена, а вектор (1,1) изотропен. То, что [La] зависит лишь от а (Ж*), было проверено в п. 7 § 2. Кроме того, каждое -мерное ортогональное пространство разлагается в прямую ортогональную сумму одномерных пространств вида La. Это завершает доказательство.

§ 15. Алгебры Клиффорда

1. Алгеброй над полем Ж мы будем называть ассоциативное кольцо с единицей А, содержащее поле Ж и такое, что Ж лежит в центре А, т. е. коммутирует со всеми элементами А. В частности, А является Х-линейным пространством.

Рассмотрим конечномерное ортогональное пространство L с метрикой g. В этом параграфе мы построим такую алгебру C{L) и Х-линейное вложение р: L->C{L), что для любого элемента / е L будет выполнено соотношение

Р(0 = (/, 0-1.

т. е. скалярный квадрат каждого вектора из L будет реализован как его квадрат в смысле умножения в C{L). Кроме того, элементы p(L) будут мультипликативными образующими C(L), т. е. любой элемент из C{L) окажется представимым в виде линейной комбинации (некоммутативных) одночленов от элементов p(L). Алгебра C{L) (вместе с отображением р) с такими свойствами будет называться алгеброй Клиффорда пространства L.

2. Теорема, а) Для всякого конечномерного ортогонального пространства L алгебра Клиффорда C{L) существует и имеет размерность 2 над Ж, где п = dim L.

б) Пусть а: L-D -любое Ж-линейное отображение L в Ж-алгебру D, для которого о{1) = g{l, I) 1 для всех 1е L. Тогда существует единственный гомоморфизм Ж-алгебр т: C{L)->D

такой, что о==хор. В частности, C{L) определена однозначно с точностью до изоморфизма.

Доказательство, а) Выберем в L ортогональный базис {ei.....вп), (e e,) = ai. По определению, в C(L) должны выполняться соотношения

Р {Cif = Ui, p{ei)p{e,)= - p (в]) р (ei), i ф j.

Второе из них следует из того, что [p(i + е/)] = p(ei)2-f-+ Р (е<) Р (е/) + Р (е/) р (е,) + р (е,) = р (е^) + р(е,)2. Разложив элементы /ь ..., /т е L по базису {е,} и пользуясь тем, что умножение в L й'-линейно по каждому из сомножителей (это следует из того, что Ж лежит в центре), мы можем представить любое произведение p(/i) ... p(/m) в виде линейной комбинации одночленов относительно р(ег). Заменив р(е,)2 на а, и р(е/)р(е/) при /> / на -р(е/)р(е/), мы можем привести любой-одночлен к виду ар (е/,)... ...р(ег), где аеХ, <i < (2 < - < im. Дальнейших соотношений между такими выражениями не видно; одночленов р(е,)... ... р (ej) имеется 2 * (включая тривиальный одночлен 1 при т = 0).

План доказательства состоит в том, чтобы сделать строгими эти наводящие соображения, действуя более формально.

С этой целью для каждого подмножества Sc={l, п) введем символ es (который впоследствии окажется равным р(е ,)... ... р (е ), если S={iu im}, ii < ... < im); положим также eg)= 1 (0 - пустое подмножество). Обозначим через C{L) Ж-т\-нейное пространство с базисом {es}. Определим умножение в C(L) следующим образом. Если 1 s, / л, положим

(S, 0 =

1 при

- 1 при s>t.

Для двух подмножеств S, {1, .... п} положим

Г)-П(5. о П at,

smS teSDT

где, напомним, ai = g(ei,ei). Пустые произведения считаются равными единице. Наконец, произведение линейных комбинаций ssS bj-e-p С {L); а^.Ь^Ж, определим формулой

(Z 55) (Е ЬтСт) Е asbr а {S, Т) esVr,

где SVT = (S и T)\{S(]T) - симметрическая разность множеств S, Т. Все аксиомы Jf-алгебры проверяются тривиально, за исключением ассоциативности. Ассоциативность достаточно проверить на элементах базиса, т. е. установить тождество

(eey)ejj==e3(ey jj).

Поскольку евет=а{8, T)esVr, имеем

{eser)eg = a{S, T)a{Ss7T, R)esУr)VR, (erfi) = а (S, T\/R)a{T, R)esSiaS!R)-Нетрудно проверить, что

(Svr)V/? = 5v(rv/?) =

= {(suru/?)\[(snr)U(sn/?)U(rn/?)]}U(sn7n/?)-

Поэтому остается убедиться лишь в совпадении скалярных коэффициентов. Часть a(S, T)a{SS/ T,R), относящаяся к знакам, имеет вид

П {S, t) П ( . г).

seS ueSyT

(€=7- refi

Заставив во втором произведении и пробегать сначала все элементы S, а затем все элементы Т (при фиксированном г), мы введем сомножители {и,г), ueS(]T, равные единице, так что этот знак можно записать в симметрическом по S, Т, R виде

П {S, t) П (и, г) П ( . г).

seS ueS иеГ

t(=T геП reR

Аналогично с тем же результатом преобразуется знак, относящийся к а{8,ТУ R)a{T,R). Остается разобрать множители, в которые входят скалярные квадраты а;. Для a{S,T)a(SV Т, R) они имеют вид

П а, П а.

Но i8VT)f\R=i80R)S(T{]R), а 8Г[Т с этим множеством не пересекается, и (Sn7)U [(S П ) V(7Псостоит из тех элементов 5и 7 и/?, которые содержатся более чем в одном из этих трех множеств. Поэтому наш множитель симметрично зависит от 8,T,R. Аналогично с тем же результатом вычисляется нужная нам часть коэффициента а{8, TV R)a(T, R). Это завершает доказательство ассоциативности алгебриС {L).

Определим, наконец, Х-линейное отображение р: L-C{L) условием р(е,)== е{,}. Согласно формулам умножения е0 является единицей в С {L), и

Г а^е^ при

Pii)9i,) = iifw = \ee, при i Ф j.

Поэтому (р, C{L)) есть алгебра Клиффорда для L.

б) Последнее утверждение доказывается формально. Пусть а: L-> D. -линейное отображение с o(l) = g(l, Суще-

ствует единственное Х-линейное отображение т: C(Z,)->D, которое на элементах базиса es определено формулой

Для него тор = а, ибо это так на элементах базиса L. Наконец, т является гомоморфизмом алгебр. Действительно,

T(eser) = T(a(S, r)esvr) = a(S, T)i(esvT),

и нетрудно проверить, что т(е5)т(е7-) можно привести к тому же виду, пользуясь соотношениями

a{eif = ai, а(е{)а{е,) = - а(е,)а(et) при ij. Это завершает доказательство.

3. Примеры, а) Пусть L - двумерная вещественная плоскость с метрикой -{x + t/). Алгебра Клиффорда C{L) имеет базис (1,61,62,6162) с мультипликативными соотношениями

Нетрудно убедиться, что отображение C{L)->H: 11-> 1, eii->1, 62 -5-j, ejegi->к определяет изоморфизм C{L) с алгеброй кватернионов Н.

б) Пусть L -линейное пространство с нулевой метрикой. Алгебра C{L) порождена образующими {ei, е„} с соотношениями

ef=0, е^е^= -6j.6. при ij.

Она называется внешней алгеброй, нли алгеброй Грассмана, линейного пространства L. Мы еще вернемся к ней в части 4.

в) Пусть L = Ж^ - комплексифицированное пространство

Минковского с метрикой х1-х] относительно орторюрмирован-

ного базиса {е,} в Ж, являющегося одновременно базисом Ж*. Покажем, что алгебра Клиффорда С {Ж^) изоморфна алгебре комплексных 4Х4-матриц. С этой целью рассмотрим матрицы Дирака, записываемые в блочном виде:

v.-(o :.). >,=( ,?) =..-

Пользуясь свойствами матриц Паули а,-, нетрудно убедиться, что Y/ удовлетворяют тем же соотношениям в алгебре матриц М4(С) что и р(еу) в алгебре С{Ж^у.

2 - .4,2 - 2 v == 1

(т. е. £4); ytyi + yiyi = 0 при 1ф}. Значит, С-линейное отображение а: Ж'->-М^{С) индуцирует гомоморфизм алгебр т: С{Ж^)-* -М^{С), для которого т-р(б,) = Непосредственным вычислением можно проверить, что отображение т сюръективно, а так как обе С-алгебры С(.#)и М^(С) шестнадцатимерны, т является изо.морфизмом.

Часть 3. АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты

1. Определение. Аффинным пространством над полем Ж называется тройщ (А, 1,4-), состоящая из линейного пространства L над полем Ь^, множества А, элементы которого называются точками, и внешней бинарной операции АуЬ-А: (а, >а-f/, удовлетворяющей следующим аксиомам:

а) (а l)-i- т^а -{-{1- т) для всех а е. А; I, met;

б) а-\-0 = а для всех аеЛ;

в) для любых двух точек а,Ь^А существует единственный вектор let со свойством Ь = а -\-1.

2. Пример. Тройка (L, L,+), где L -линейное пространство, а -f совпадает со сложением в L, является аффинным пространством. Удобно говорить, что она задает аффинную структуру линейного пространства L. Этот пример типичен; позже мы увидим, что всякое аффинное пространство изоморфно такому.

3. Термины. Мы часто будем называть аффинным пространством пару (Л, L) или даже просто Л, опуская указания на +. Линейное пространство L называется ассоциированным с аффинным пространством Л. Отображение А->А: а>->а-\-1 называется сдвигом на вектор /; удобно иметь для него специальное обозначение ti. Мы пишем а - / вместо t-i(a) или а + (-/).

4. Предложение. Отображение Iv-ti определяет инъективный гомоморфизм аддитивной группы пространства L в группу перестановок точек аффинного пространства А, т. е. эффективное действие L на А. Это действие транзитивно, т. е. для любой пары точек, а, be А существует leL с ti(a) = b.

Наоборот, задание транзитивного эффективного действия аддитивной группы L на множестве А определяет на А структуру аффинного пространства с ассоциированным пространством L.

Доказательство. Из аксиом а) и б) следует, что при любых 1е L и а е А уравнение tt (х) = а имеет решение х == = о+(-/), так что все ti сюръективны. Если ti(a)= ti{b), то, найдя по аксиоме в) такой вектор те L, что Ь = а-\- т, получаем a + Z=:(a-l-m)-f/ = (й + /)+т. Но а-f / = (а + 0-f О, поэтому из условия единственности аксиомы в) следует, что га = О, так что а=Ь. Поэтому все ti инъективны.

Аксиома а) означает, что tm°ti = ti+m, а аксиома б)-что fo==id/i. Поэтому отображение li-ti является гомоморфизмом аддитивной группы L в группу биекций А с самим собой. Его ядро равно нулю в силу аксиом б) и в).

Наоборот, пусть LXA-A: (/, a)i->а--/ - эффективное транзитивное действие L на А. Тогда аксиомы а) и б) получаются прямо из определения действия, а аксиома в) - из соединения свойств эффективности и транзитивности.

5. Замечание. По поводу действия групп (не обязательно абелевых) на множествах см. § 2 главы 7 Введения в алгебру . Множество, на котором группа действует транзитивно и эффективно, называется главным однородным пространством над этой Группой.

Отметим, что в аксиомах аффинного пространства не фигурирует явно структура умножения на скаляры в L. Она появляется лишь в определении аффинных отображений и затем барицентрических комбинаций точек А. Но прежде несколько слов о формализме.

6. Правила вычислений. Тот единственный вектор lL, для которого Ь - а-\-1, удобно обозначать b - а. Эта операция внеш-йего вычитания AXA-*-L: {Ь,а)*-*-Ь - а обладает следующими свойствами:

а) {с - b)-\-{b - fl)=c - а для всех а, Ь, се Л; сложение слева - это сложение в L.

Действительно, пусть c = b-f-Z, b == а-\-т', тогда с = =а--(/4-т), так что с - а= Z-f-mi(c - b)-\-(b - а).

б) а - а == О для всех а е Л.

в) {а-\-1) - {Ь-\-т) = {а - Ь)-\-(1-т) для всех а,Ь^А, I, гп S L.

В самом деле, достаточно проверить, что {Ь-\-т)-\-{а - Ь)-\-(/ - m) = fl-f-Z, или 6 +(а - Ь)= а, а это - определение а - Ь.

Вообще, употребление знаков ± для различных операций LXL-L, AXL--L, ЛХЛ-L подчиняется следующим формальным правилам. Выражение ±ai ± 2 ± ... ± От -+- /i + ... ... -\-In для О/А, tkL имеет смысл, если либо щ четно и все drfl/ можно объединить в пары вида а,- - а/, либо т нечетно, и все точки можно объединить в такие пары, кроме одной, входящей со знаком -f-. В первом случае вся сумма лежит в L, во втором - iB Л. Кроме того, она зависит от своих слагаемых коммутативно и ассоциативно: например, fli - Og-f можно вычислять как ( 1 - 2)+/ или (fli-j-/)-02 или а\-( 2 - /); мы позволим себе писать а + /, так же как / -f- а.

Доказывать это правило в общем виде мы не станем. Всякий раз, когда мы будем им пользоваться, читатель без труда разобьет нужную выкладку на серию элементарных шагов, каждый из которых сведется к применению одной аксиомы или формулы а)-в) начала этого пункта.

Заметим, что сумма а-\-Ь, где а, b е А, вообще говоря, смысла не имеет, так же как и выражение ха, где х^Ж (исключение: