Такая традиционная терминология является реликтом докванто-вых представлений о том, что наблюдаемая спина отвечает классической наблюдаемой момент количества движения - характе* ристике внутреннего вращения системы и потому может быть сама представлена вектором в &, который поэтому имеет проекции на оси координат в Это совершенно неверно: состояния системы суть лучи в 5, а не векторы в . Расхождение с классикой становится еще более очевидным при рассмотрении систем со спином s/2, S > 1, для которых dim Ж = -+-!. Точное утверждение дается именно предложением п. 4.

Мы дали идеализированное описание классического эксперимента Штерна - Герлаха (1922). Вместо электронов в нем использовались ионы серебра, проходившие между полюсами электромагнита. Из-за неоднородности магнитного поля ионы, вышедшие в состояниях, близких к Ж+ и Ж- соответственно, пространственно разделялись на два пучка, что и позволило макроскопически отождествить эти состояния. Серебро испарялось в электрической печке, а магнитное поле между полюсами играло роль объединения двух фильтров, пропускающих раздельно состояния Ж+ и <9 .

Продолжим теперь изучение евклидова пространства &.

5. Предложение. (/, g) = 0 тогда и только тогда, когда fg + + gf = 0.

Доказательство. Имеем

if, S) = iTv {fg) = 4 Тг {fg + g/) = 4 Тг [{f + gf -f~ g].

Ho P имеет единственное собственное значение \f\, поэтому все квадраты операторов из & являются скалярными, значит и fg + g/- скалярный оператор, и он равен нулю тогда и только тогда, когда его след равен нулю.

6. Ортонормированные базисы в Из доказательства предложения п. 5 ясно, что операторы {ei, ег, вз} образуют ортонормированный базис тогда и только тогда, когда

el = el = el=\d; + е^е,. = О, i Ф j.

В частности, если в Ж выбран ортонормированный базис, то операторы, заданные в нем матрицами Паули oi, 02, Оз, образуют ортонормированный базис в :

af = a2 = o = Oo=(J J); о.о, + о^о. = 0. i ф j.

Теперь мы можем объяснить математический смысл матриц Паули, доказав обратное утверждение.

7. Предложение. Для каждого ортонормированного базиса в\, ег, ез} пространства & существует ортонормированный базис hi, Лг} пространства Ж, обладающий тем свойством, что

Ae,=ai, Ле,= (Гг или -а^, Ле, = (Гз,

где Ае -матрица оператора е в базисе {hi, hz}. Он определен с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице,

Доказательство. Собственные значения е< суть ± 1. Пусть М = Ж+ Ф где бз действует на Ж+ тождественно, а на Ж~ - изменением знака. Выберем сначала векторы h[ е Ж^, Н^Ж , \h[ =/i2=l. Они определены с точностью до умножения на е'<> , е матрица в базисе [h\, h есть О3.

e,{h\) = e,e,{h[)-e, {h\),

так что е, {h\) есть ненулевой собственный вектор для ег с собственным значением -I. Поэтомуе, {h[)-=ah2. Аналогично e (Л^) = h\

Матрица в базисе {tiu fe} эрмитова, поэтому а=р. Наконец, 6= id, поэтому р = 1 =а|2=р|2. Заменив {h\, на {а

{1 } \А = \У\-, чтобы превратить матрицу ei в новом базисе в Oi, получим

ei == хе\ {hi) = jt atii == а xi/ ~ Лг е, (а,) = yei {ы) = yh\ = ух Ар

Поэтому X, у должны удовлетворять еще условию xy~ - а-; тогда автоматически ал:г/ ~= рг/л- = 1. Можно положить, например, x = I, у = а.

Итак, в базисе {Ai, Аг} имеем Ав, - 0з,Ае, = 01, и этот базис определен с точностью до умножения на скаляр, по модулю равный единице. Те же рассуждения, что для si, показывают, что

в таком базисе Ае, имеет вид^, где 11=1. Кроме того,

условие ортогональности 6162 + 261 = О дает

т. е. y+yO, откуда y = i, либо y = -Поэтому Ае, = а2 или А^ = - Ог-

8. Следствие. Пространство & снабжено отмеченной ориентацией: ортонормированный базис {ci, е^, е^ принадлежит к классу, отвечающему этой ориентации, тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис {hi, А2} в Ж, в котором Ае = Оа,

а= 1, 2, 3.

Доказательство. Мы должны проверить, что если {са} в базисе {А^ и (Р^} в базизе {А^} задаются в точности матрицами Паули, то определитель матрицы перехода от {е^ к {е^} положителен, или что имеется непрерывное движение, переводящее \е^ в {е^. Мы построим такое движение, показав, что {кь} переводится в {hl) унитарным непрерывным движением: существует такая система унитарных операторов ft: Ж-Ж, зависящая от параметра Ze[0, 1], что fo = id, fi{h) = hl и {ft (hi), ft (hi)} образуют ортонормированный базид Ж для р^ех t. Тогда, обозначив

через {g<(ei), gtiei), Я<(ез)) ортонормированный базис , задающийся матрицами Паули в базисе {ft{hi), / (Аг)}, мы построим нужное нам движение в

Пусть {Л h) = {hf, h.U. Поскольку оба базиса ортонормированы, матрица перехода U должна быть унитарна. По следствию п. 7 § 8 ее можно представить в виде ехр ( Л), где А-эрмитова матрица. Тогда для всех teA матрица tA эрмитова, а оператор ехр(/М) унитарен, и мы можем положить

ft {hi, fhi == {Л fhi ехр {itА), О < / < 1.

Это завершает доказательство.

Операторы Oi/2, стг/З, оз/2 в Ж называются наблюдаемыми проекций спина на соответствующие оси в Ж: эту терминологию объясняет квантовомеханическая интерпретация из п. 5. Множитель /г введен для того, чтобы их собственные значения были равны ±/2-

9. Векторное произведение. Пусть {ei, ег, з} - ортонормированный базис в &, принадлежащий отмеченной ориентации. Векторное произведение в ё' определяется классической формулой

{XiCi + Хгег + Хзвз) X (yi, + iJ--i + Уъз) =

= {х^уз - ХзУа) е, + {хзУу - ХхУз) е.2 + {Х1У2 - Х2У1) е^.

Замена базиса на другой, ориентированный так же, не меняет векторное произведение; если же новый базис ориентирован противоположно, то у него меняется знак.

Инвариантную конструкцию векторного произведения нетрудно дать в наших терминах. Вспомним, что антиэрмитовы операторы в Ж с нулевым следом образуют алгебру Ли su(2) (см. § 4 ч. 1). Пространство & можно отождествить с этой алгеброй Ли,

разделив каждый оператор из S на i. Поэтому на j имеется

структура алгебры Ли. Имеем

jOa, 7 Oft

где г\2& = 1 и Zabc кососимметричен по всем индексам, или Поэтому

Za*a< ZVbb =2/(2 XCajxe-SftOft.

так что векторное произведение с точностью до тривиального множителя есть просто коммутатор операторов. Это позволяет без вычислений установить классические тождества

> -> -> ->

хХу== - уХх\

xX(Jx2)+2X(JxJ) + Jx( X)-0.

Есть еще один способ ввести векторное произведение, одновременно связав его со скалярным произведением п кватернионами.

10. Кватернионы. Как и коммутирование, умножение операторов из вообще говоря, выводит нас за пределы S: одновременно нарушается эрмитовость и условие обращения следа в нуль. На самом деле произведение операторов из & лежит в Rid -f l&, причем вещественная часть есть как раз скалярное произведение, а мнимая - векторное. Действительно,

ОаОъ = Къс^с при афЪ, {а, Ь, с} = {1, 2, 3},

о=(;°). =1.2.3.

так что

или, как пишут физики,

{х-а){у'а)= [х- y)Go+i(xXy)-o, о=:(а„ а^, а^).

Отсюда видно, что вещественное пространство операторов Rid + i& замкнуто относительно умножения. Его базис составляют в классических обозначениях элементы

1 == Оо, i = - ioi, j = - iOj, к = - Шз с таблицей умножения

ki = -ik = j; jk = -kj = i,

Иными словами, мы получаем тело кватерн^юнов в одном из традиционных матричных представлений (ср. Введение в алгебру , гл. 9, §4).

П. Гомоморфизм SU(2)SO(3). Фиксируем ортонормированный базис {hi, /12} в Ж п соответствующий ему ортонормированный базис {ей еч, ез} в &, для которого Ае ~ at. Любой унитарный оператор U: переводит {/г А,} в {Aj, Ag), этому последнему базису отвечает базис \е\, е', е', и имеется ортогональный оператор s{lJ); ё-ё, который переводит ej в По

следствию п. 8 s(f/)eS0(3), ибо определитель s(C/) положителен.

Реализовав ё матрицами в базисе {Ai, А2}, мы можем представить действие s(t/) я&ё простой формулой:

s{JJ){A) = VAU-

для любых А^ё. Действительно, это частный случай общей формулы замены матрицы оператора при замене базиса. Мы можем теперь доказать следующий важный результат,

12. Теорема. Отображение s, ограниченное на SU(2), определяет сюръективный гомоморфизм групп SU(2)-SO(3) с ядром {±Ei}.

Доказательство Из формулы s(f/) (Л) == f/Л(У- сразу видно, что s{E)=\d и s{UV)= s{U)s(V), так что s является гомоморфизмом групп. Его сюръективность проверяется так.

Выберем элемент geS0(3) и пусть g переводит базис (oi, Ог, Оз) в в новый базис (с\, а О3). Построим по нему базис {h\, h. ь Ж, в котором операторы а\ задаются матрицами а,-. По предложению п. 7 {h\, Щ существует с точностью до того, что матрица а^, возможно, равна -Oi, а не сг. На самом деле эта возможность исключена по следствию п. 8, ибо g е SO (3) сохраняет ориентацию &. Оператор U, переводящий в {Л^Л,} удовлетворяет условию s((/) = g. Правда, он может принадлежать лишь U(2), а не SU(2). Если det 6/= е'*?, то e-Vf/e SU(2). Матрица e-f/f/ переводит {Л hi) в {e-fЧг\, e-<f%}, а этому базису в Ж по-прежнему отвечает базис {а[, а^, Од} в . Следовательно, также s(e-4>/2t/)= g, и мы получаем, что s: SU(2)->SO(3) сюръективен.

Ядро гомоморфизма s: U(2)SO(3) состоит только из скалярных операторов {eid}: это следует из предложения п. 7, согласно которому базис {h[, h2} восстанавливается по {е[, е\, е' как раз

с точностью до умножения на е'. Пересечение группы {е'* id) с SU(2) равно в точности {iid}, что и завершает доказательство.

Смысл построенного гомоморфизма выясняется в топологии: группа SU(2) односвязна, т. е. любую замкнутую кривую на ней можно непрерывным движением стянуть в точку, тогда как для S0(3) это неверно. Таким образом, SU(2) является универсальным накрытием гр.уппы SO(3).

Мы воспользуемся доказанной теоремой для того, чтобы разо-.-браться в структуре группы S0(3), играя на том, что SU(2); устроена проще. Здесь уместно процитировать Р. Фейнмана:

Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были пт1цами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи . (Ф е й н м а н Р., Л е й т о н Р. С э н д с М. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8, гл. 4. - М.: Мир, 1978, с. 101).

13. Структура SU(2). Прежде всего, элементы SU(2) суть 2Х2-матрицы с комплексными элементами, для которых U= D и det и - I. Отсюда сразу же следует, что

SU(2) = ( °)ap + (6p=l.

Множество пар {(о, 6) fl2-f-= 1} в С* превращается в сферу единичного радиуса в овеществлении С^, т. е. R*:

(Re af + (Im af + (Re bf + (Im 6f = 1.

Итак, группа SU (2) топологически устроена как трехмерная сфера в четырехмерном евклидовом пространстве.

Теперь напишем некоторую систему образующих группы SU (2), вдохновляясь следствием п. 7 § 8, согласно которому отображение ехр: u(2)U(2) сюръективно. Непосредственное вычисление экспоненты от трех образующих пространства su(2) дает:

ехр(- йо,)

ехр (y 02) ехр (- йоз)

±\

L\ 2

Любой элемент представить в виде

ехр (у гфОз) ехр (~ /Gcti) ехр Фоз) =

SU(2), для которого аЬфО, можно

е

cos-e

. . е

sin - е

. . е i

I sin - е

cos-e

где О ф < 2я, О < е < я, -2я положить a = cos-5-. arg а

е ф-Ь я!) к ф -Ф-Ья

ф < 2я. Для этого достаточно 2 , argfc = -=l-+. (Эле-

менты SU (2) с b = О, очевидно, имеют вид ехр /фОз) ; мы

оставляем читателю возможность разобраться с элементами, для которых а = 0.)

Углы ф, 9, ф называются углами Эйлера в группе SU(2).

14. Структура S0(3). Мы отоледествили SU(2) топологически с трехмерной сферой. При гомоморфизме s: SU(2)SO(3) в одну точку S0(3) переходят пары элементов ±f/eSU(2). На сфере они образуют концы одного из диаметров. Поэтому S0(3) топологически есть результат склеивания трехмерной сферы по парам противоположных точек. С другой стороны, пары противоположных точек сферы находятся во взаимно однозначном соответствии с прямыми в четырехмерном вещественном пространстве, соединяющими точки пары. Множество таких прямых называется трех-

мерным вещественным проективным пространством и обозначается иногда RP; позже мы изучим проективные пространства подробнее. Таким образом, S0(3) топологически эквивалентна RP.

Посмотрим теперь, во что гомоморфизм s переводит образующие SU(2), описанные в предыдущем пункте. В стандартном базисе {сь Ог, Оз} пространства к имеем

ехр 1 ехр ( - Yitai) = а„

ехр (- itGi о, ехр - \itai = (cos /) с, - (sin t) сгз, ехр (~ йа,) Оз ехр ( - -J с,) = (sin О Oj -f (cos t) a. Поэтому

fexp (~ itOi) == I 0 cosf - sin f )

VO Sinf COS/ /

является вращением & на угол t вокруг оси Roi. Совершенно аналогично проверяется, что s ехр (~ Оа)) есть вращение на

угол t вокруг оси Ok также для k = 2,3. В частности, любое вращение из S0(3) разлагается в произведение трех вращений относительно Оз, Gu 03 на углы Эйлера \)), 0, ф, причем ф можно считать меняющимся от О до 2л.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать тождества

-> > > -> -> ->

(хХ у, 2) = (х, уХг).

-* -> -> -> -> -> > -> > > -> -> (x X у)Хг-х Х{у X г) = (х. у)г-х {у. г).

{Указание. Воспользоваться ассоциативностью умножения в алгебре кватернионов.)

2. В трехмерном евклидовом пространстве выделены две оси z и г', образующие между собой угол ф. Пучок электронов с проекцией спина +1/2 иа ось г подается на фильтр, пропускающий лишь электроны с проекцией спина -f 1/2 на

ось z. Показать, что доля прошедших через него электронов будет равнасоз-.

§ 12. Пространство 1У\инковского

1. Пространством Минковского М называется четырехмерное вещественное линейное пространство с невырожденной симметричной метрикой сигнатуры (1,3) (иногда работают с сигнатурой (3,1)). Прежде чем приступить к математическому изучению этого пространства, укажем основные принципы его физической интерпретации, лежащие в основе специа.аьной теории относительности Эйнштейна.

а) Точки. Точка (или вектор) пространства есть идеализация физического события, локализованного в пространстве и времени, типа вспышки , излучения фотона атомом , столкновения двух элементарных частиц и т. п. Начало координат Л следует представлять себе как событие, происходящее здесь и сейчас для некоторого наблюдателя; оно фиксирует одновременно начало отсчета времени и начало отсчета пространственных координат.

б) Единицы измерения. В классической физике длины и времена измеряются в разных единицах. Поскольку Ж есть модель пространства-времени, в специальной теории относительности должен быть способ пересчета пространственных единиц во временные и наоборот. Принятый способ эквивалентен принципу постоянства скорости света с : он состоит в том, что выбранной единице времени ставится в соответствие единица длины /о = с^о -расстояние, проходимое светом за время (например, световая секунда ). Одна из единиц k или Ц считается далее выбранной раз навсегда; после того как вторая зафиксирована условием /о = cto, скорость света в этих единицах становится равной 1.

в) Пространственно-временной интервал. Если 1у,12Ж - две точки пространства Минковского, скалярное произведение {h - h, и - h) называется квадратом пространственно-временного интервала между ними. Этот квадрат может быть положительным, нулевым или отрицательным; в физических терминах соответственно еремениподобным, светоподобным или прострамственноподобным. (Некоторое объяснение этих терминов будет дано ниже.) Если k = О, эти же термины применяются к вектору h в зависимости от знака {h,

г) Мировые линии инерциальных наблюдателей. Если на прямой Е<Ж хоть один вектор времениподобен, то и все векторы времениподобны. Такие прямые называются мировыми линиями инерциальных наблюдателей. Хорошим приближением к отрезку такой линии может служить множество событий, происходящих в космическом корабле, который движется свободно (с выключенными двигателями) вдали от небесных тел (учет их тяготения требует изменения математической схемы описания пространства-времени и перехода к искривленным моделям общей теории относительности). Заметим, что мы ввели пока в рассмотрение только мировые линии, исходящие из начала координат. Инерци-альный наблюдатель, не бывший здесь и сейчас , движется по некоторому сдвигу /-fZ, времениподобной прямой L. Пусть А,/г - две точки на мировой линии инерциального наблюдателя. Тогда {h~k,h - h)>Q, и интервал /, -/г! = (/] -/2,/i -/2) есть собственное время этого наблюдателя, протекшее между событиями h, h и измеренное по показаниям движущихся вместе с ним часов. Мировая линий инерциального наблюдателя есть его собственная река времени .

Физический факт направленности времени (из прошлого в будущее) математически выражается заданием ориентации каждой

времениподобной прямой, так что длина / времениподобного вектора может быть снабжена знаком, отличающим векторы, направленные в будущее и в прошлое. Ниже мы увидим, что имеет смысл представление о согласованности этих ориентации, т. е. о существовании общего направления времени - но не самих времен!- для разных инерциальных наблюдателей.

д) Физическое пространство инерциального наблюдателя. Линейное подмногообразие

= / + LJ-

интерпретируется как множество точек мгновенного физического пространства для инерциального наблюдателя, находящегося в точке / своей мировой линии L. Ортогональное дополнение берется, разумеется, относительно метрики Минковского в М. Нетрудно убедиться, что J( = L®L и что на индуцируется структура трехмерного евклидова пространства (только с отрицательно определенной метрикой вместо обычной положительно определенной). Все события, отвечающие точкам L, интерпретируются наблюдателем как происходящие сейчас ; для другого наблюдателя они не будут одновременными, ибо Ф при L\ ф L.

е) Инерциальные системы координат. Пусть L -времениподоб-ная прямая с ориентацией, во - положительно ориентированный вектор на ней длины единица, {е е^, ез}-ортонормированный базис в L-L; (е е,) = -1 для / = 1,2,3. Система координат в Л, отвечающая базису {ео, - ез}, называется инерциальной системой. В ней

3 3 \ 3

Поскольку лго = с/о, где to - собственное время, пространственно-временной интервал от начала до точки Е jb равен {сЧ\ -

3 ч1/2

- Е /1 Каждая инерциальная система координат в Ж опре-деляет отождествление Ж с координатным пространством Мин-R *, xl - Е Изометрий Ж (или координатного пространства) образуют группу Лоренца; изометрий, сохраняющие ориентацию во времени, -ее ортохронную подгруппу.

ж) Световой конус. Множество точек I е Ж с (/,/)= О называется световым конусом С (начала координат). В любой инерциальной системе координат С задается уравнением

ковского

i = 1

При xq>0 точка {хо, дг Х2, Хз) на световом конусе отделена от положения наблюдателя (лго, О, О, 0) пространственноподобным

интервалом с квадратом - Е == - Хц, т. е. находится на рас-

стоянии, которое за время Хо пройдет квант света, выпущенный из начала координат в начальный момент времени. (При хо < О множество таких точек отвечает вспышкам, которые произошли в момент собственного времени хо и могли наблюдаться в точке начала отсчета: приходящее излучение .) Соответственно нулевые прямые , целиком лежащие в С, - это мировые линии частиц, испущенных из начала координат и летящих со скоростью света, например, фотонов. Читатель может увидеть базу приходящей полы светового конуса, выглянув в окно, -это небесная сфера.

Прямые в Ж, состоящие из векторов с отрицательным квадратом длины, не имеют физической интерпретации. Они должны были бы отвечать мировым линиям частиц, летящих быстрее света,- гипотетических тахионов , не обнаруженных экгперимен-тально.

Перейдем теперь к математическому изучению Ж.

2. Реализация Л как пространства метрик. Как в § 9, фиксируем двумерное комплексное пространство Ж- и рассмотрим на кем множество Ж эрмитово симметричных скалярных произведений. Оно является вещественным линейным пространством. Если выбран базис {hi,hi) в Ж, то матрицы Грама этих метрик будут всевозможными эрмитовыми 2 X 2-матрицами. Поставим в соответствие метрике / е Ж определитель ее матрицы Грама G, который будем обозначать det/. Переход к - базису {Лр Ag} -С^г-М^ приведет к замене G на С = VGP, и det G= det det G. В частности, если V е SL(2, С), то det G = det G. Поэтому вычисление det / в любом из базисов Ж, лежащих в одном классе относительно действия SL(2, С), приведет к одному и тому же результату. Впредь мы фиксируем такой класс базисов Ж, и все det будем вычислять относительно него. Замена класса только умножает det на положительный скаляр.

3. Предложение, а) Ж является четырехмерным вещественным пространством.

б) На Ж имеется единственная симметричная метрика {1,т), для которой {I, /)=det/. Ее сигнатура равна (1, 3), так что Ж представляет собой пространство Минковского.

Доказательство, а) Пространство эрмитовых 2Х2-матрнц

имеет базис ао= =£2; oi, 02, 03, где oi, il, - матрицы

Паули. Поэтому длтЖ = 4.

б) Покажем, что в матричной реализации Ж функция det/ представляет собой квадратичную форму, поляризация которой имеет вид

(/, /п) = Y (Тг / Тг m - Тг 1т\

явно симметричный и билинейный. В самом деле, если к, jii -собственные значения /, то det / = Яц, Тг / = Я + ц, Тг / = -[- ц^, так