г) кратные собственные значения и геометрия. В наших предыдущих вычислениях запрет на кратное собственное значение %о проистекал из желания обратить Н , - К, на е^ и формально выражался в появлении разностей Яо - Я<> в знаменателях. Можно получить формулы и в общем случае, надлежащим образом изменив рассуждения, но мы ограничимся разбором геометрических эффектов кратности. Они видны на типичном случае Яо = 1с1: все собственные значения равны единице. Малое изменение Яо приводит к следующим эффектам.

Собственные значения становятся разными, если это изменение достаточно общее: этот эффект в физике называется расщеплением уровней , или снятием вырождения . Например, одна спектральная линия может расщепиться на две или больше либо при увеличении разрешения прибора, либо при помещении системы во внешнее поле. Математическая модель в обоих случаях будет состоять в учете малой поправки к Яо, ранее неучтенной (впрочем, иногда и в изменении исходного пространства состояний).

Теперь обдумаем, что может происходить с собственными векторами. В полностью вырожденном случае Яо диагонализируется в любом ортобазисе. Малое изменение Яо, снимающее вырождение, означает выбор ортобазиса, вдоль осей которого происходят растяжения, и коэффициентов этих растяжений. Коэффициенты должны мало отличаться от исходного Яо, но сами оси могут идти в любых направлениях. Таким образом, вблизи вырожденного собственного значения его собственные направления начинают зависеть от возмущения очень сильно. Два сколь угодно малых возмущения единичного оператора с простым спектром могут диа-гонализироваться в двух фиксированных и жестко повернутых друг от друга ортобазисах. Это показывает внутреннюю причину появления разностей Яо - Я^> в знаменателях.

§ 10. Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов

1. Этот параграф посвящен изучению геометрии графиков квадратичных форм q на вещественном линейном пространстве, т. е. множеств вида x +i=q{xi, Хп) в R +, и описанию некоторых приложений. Одна из важнейших причин, по которой эти классические результаты вызывают живой интерес и в наши дни, состоит в том, что квадратичные формы дают следующее (после линейного) приближение к любой дважды дифференцируемой функции и потому являются ключом к пониманию геометрии искривления любой гладкой многомерной поверхности.

В § 3 и 8 мы уже доказали общие теоремы о классификации квадратичных форм с помощью любых линейных или только ортогональных преобразований, поэтому здесь мы начнем с прояснения их геометрических следствий. Будем считать, что мы работаем

п

в евклидовом пространстве со стандартной метрикой Е х-,. Забве-

ние евклидовой структуры означает лишь введение более грубого отношения эквивалентносги между графиками. План геометрического исследования состоит в том, чтобы разобраться с малыми размерностями, где форму графика можно представить себе наглядно, и затем посмотреть на маломерные сечения многомерных графиков в разных направлениях. Читателю рекомендуется рисовать картинки, иллюстрирующие наш текст. Мы считаем ось Хп+\ направленной вверх, а пространство R расположенным горизонтально.

2. Одномерный случай. График кривой Х2=Кх1 в R имеет три основных формы: чаша (выпуклость вниз) при Я > О, купол (выпуклость вверх) при Ж О и горизонтальная прямая при К = 0. Относительно линейной классификации, допускающей произвольное из1менение масштаба вдоль оси xi, эти три случая исчерпывают все возможности: можно считать, что Я, = ±1 или 0. При ортогональной классификации к является инвариантом: \к\ определяет крутизну стенок чаши или купола, она тем больше, чем

больше \к\. Другая характеризация \к\ состоит в том, что

есть радиус кривизны графика на дне или в вершине (0,0). Действительно, уравнение окружности радиуса R, касающейся оси xi в начале, имеет вид + (- г-?) = и вблизи нуля имеем

2R

3. Двумерный случай. Чтобы разобраться в нем, перейдем к ортонормированному базису в R, в котором q приводится к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами: <?( /], У2)=к^у^-\- к.,у\. Прямые, натянутые на элементы этого базиса, называются главными осями формы q; они, вообще говоря, повернуты относительно исходных осей. Числа к\ и кч определены однозначно, будучи собственными .значениями самосопряженного оператора А, для кото-

рого q{x) = x Ах j(b старых координатах). При к\Фк2 сами оси также определены однозначно, но при к\ = к^ их можно выбирать произвольно (лишь бы они были ортогональны). Для каждого из коэффициентов ки кг есть три основные возможности {ki > О, к, < О, Я, =0), но соображения симметрии позволяют ограничиться четырьмя основными случаями (из которых только первые два невырождены).

а) х.~к^у]-\-к2у1, Я Я2>0. График является эллиптическим параболоидом, имеющим форму чаши. Прилагательное эллиптический объясняется тем, что проекции горизонтальных сечений A,yf +

+ XoHi - f при с > О суть эллипсы с полуосями -ckfK направленными вдоль главных осей формы (при ki = Яг - окружности). (Эти проекции являются линиями уровня функции q.) Существительное параболоид объясняется тем, что сечения графика вертикальными плоскостями ау1 -f Ьуч = О суть параболы (при Я1 = Яг график является параболоидом вращения).

Случай h, 2<0 -это та же чаша, но опрокинутая.

б) Хз = Я,г/ - Kyl, > 0. График является гиперболическим параболоидом. Линии уровня q суть гиперболы, непустые для всех значений хз, так что график уходит и выше, и ниже плоскости хз = 0; сечения вертикальными плоскостями - по-прежнему параболы. Линия уровня хз = О-это вырожденная гипербола , сводящаяся к своим асимптотам, двум прямым

VAif/i ± V2 2 =Эти прямые в называются асимптотическими направлениями формы q. Если рассматривать q как (неопределенную) метрику в R, то асимптотические прямые состоят из всех векторов длины нуль. Асимптотические прямые делят R на четыре сектора. Линии уровня q = Xs при Хз > О лежат в паре противоположных секторов; когда хз->-}-0 сверху, они прижимаются к асимптотам, превращаются в них при хз = О и при Хз < О, пройдя насквозь , оказываются в другой паре противоположных секторов. Вертикальные сечения графика плоскостями, проходящими через асимптотические прямые, суть сами эти прямые, распрямившиеся параболы .

Случай - + 2/2. Я Л^ > О, получается из разобранного заменой знака Хз.

в) з = Яг/, Я > 0. Поскольку от у2 функция не зависит, сечения графика вертикальными плоскостями г/2 = const имеют один и тот же вид: весь график заметается параболой х^ = Ку в плоскости (г/1, хз) при ее движении вдоль оси г/2 и называется параболическим цилиндром. Линии уровня суть пары прямых i/i = d:-XjX ; при хз = 0 они склеиваются в одну прямую; весь график лежит над плоскостью хз == 0.

Случай х^=Ху\, Я, <С О получается опрокидыванием .

г) Хз = 0. Это - плоскость.

4. Общий случай. Теперь мы в состоянии понять геометрию графика Xn+i==q{xu х„) при произвольных значениях п. Перейдем к главным осям в R , т. е. к ортонормированному

т

базису, в котором q [y, , / )= Е lUl ... КтФ 0. Как выше,

они определяются однозначно, если т = п и hi при i ф j или если т==п - \ к фК, при 1ф j. От координат у^+и у„ форма q не зависит, поэтому весь график получается из графика

Ziyi R +переносом вдоль подпространства, натянутого на

{ет+1.....п). Иными словами, вдоль этого подпространства график цилиндричен . Нетрудно убедиться, что оно является как раз ядром билинейной формы, полярной к q, и тривиально тогда и только тогда, когда q невырождена.

Пусть q невырождена, т. е. m = п. Можно считать, что Ki, ... Яг > О, Яг+а < О, т. е. (а, s)~ сигнатура формы q.

Если форма q положительно определена, т. е. г = п, s=0, то

график имеет вид п-мерной чаши: все его сечения вертикальными плоскостями суть параболы, а все линии уровня = с > О суть эллипсоиды с полуосями /у/сЯг', направленными вдоль главных осей. Уравнение такого эллипсоида имеет вид

т. е. он получается из единичного шара растяжениями вдоль ортогональных направлений. В частности, он ограничен: целиком лежит в прямоугольном параллелепипеде х^ д/сЯг', [ = = 1, .... п. Ниже мы убедимся, что изучение вариации длин полуосей разных сечений эллипсоида (тоже эллипсоидов) дает полезную информацию о собственных значениях самосопряженных операторов.

При г = О, s = п получается купол. В обоих случаях график называется (п-мерным) эллиптическим параболоидом.

Промежуточные случаи rs¥=0 приводят к многомерным гиперболическим параболоидам разных сигнатур. Ключом к их геометрии является снова структура конуса асимптотических направлений С в R , т. е. нулевого уровня формы д{у\, уп) = 0.

Конусом он называется потому, что заметается своими образующими: прямая, содержащая один вектор из С, целиком лежит в нем. Чтобы составить себе представление о базе этого конуса, рассмотрим его пересечение, скажем, е линейным многообразием Уг, = 1:

Видно, что база является множеством уровня квадратичной формы от п-1 переменной. Простейший случай получается, когда она положительно определена: тогда это множество уровня есть эллипсоид, в частности, оно ограничено, и наш конус похож на школьные трехмерные конусы. Этот случай отвечает сигнатуре (п-1,1) или (1,п-1); при п = 4 пространство (R*, 9) есть знаменитое пространство Минковского, которое будет подробно изучено ниже. Для других сигнатур С устроен заметно сложнее, ибо его база уходит на бесконечность . Сечения графика q вертикальными плоскостями, проходящими через образующие С, совпадают с этими образующими. Для любых других плоскостей получаются либо чаши , либо купола - асимптотические направления разделяют эти два случая. Поэтому конус С делит пространство R \C на две части, сплошь заметаемые прямыми, вдоль которых q соответственно положительна или отрицательна. Одна из этих областей называется совокупностью внутренних пол конуса С, другая - его внешностью. Геометрический смысл сиена-туры {г, s) грубо, но наглядно можно описать следующей фразой: график формы q по г направлениям уходит вверх, а по s - вниз.

Хотя мы работали все время с вещественными квадратичными формами, те же результаты применимы к комплексным эрмитовым формам. Действительно, овеществление С есть R , и ове-

п

ществление эрмитовой формы Е о-цхх = йц, есть вещественная квадратичная форма. При овеществлении все размерности удваиваются: в частности, комплексная сигнатура (а, s) превращается в вещественную сигнатуру (2г, 2s).

Опишем теперь вкратце и без доказательств два приложения этой теории в механике и топологии.

5. Колебания. Представим себе сначала шарик, который может кататься в плоскости R под действием силы тяжести по желобу формы л;, = Яа.. Точка (0,0) во всех случаях является одним из возможных движений шарика - положением равновесия. При Я, > О это положение устойчиво: небольшое начальное отклонение шарика по положению или скорости нриведет к его ко.пебаниям около дна чаши. При X < О оно неустойчиво: шарик свалится вдоль одной из двух ветвей параболы. При Я = 0 оно безразлично относительно отклонений но положению, но не ло скорости: шарик может оставаться в любой точке прямой Х2==0 либо равномерно двигаться в любую сторону с начальным импульсом.

Оказывается, что математическое описание большого класса механических систем вблизи их положений равновесия хорошо мо.челируется качественно многомерным обобщением этой картинки: движением шарика вблизи начала координат по многомерной поверхности Xn+\ = q{x\, х„) нод действием силы тяжести. Если q положительно определена, любое малое движение будет близко к суперпозиции малых колебаний вдоль главных осей формы q. Вдоль нулевого пространства формы возможен уход на бесконечность с постоянной скоростью. Вдоль направлений, где q отрицательна, возможно сваливание вниз. Наличие как нулевого пространства, так и отрицательной компоненты сигнатуры свидетельствует о неустойчивости положения равновесия п сомнительности приближения малых колебаний . Важно, однако, что когда это равновесие устойчиво, малые изменегшя формы чаши, по кото рой катается шарик (или, более технически, потенциала нашей системы), не нарушают этой устойчивости.

Чтобы понять это, вернемся к сделанному в начале параграфа замечанию о приближенном представленнн любой (скажем, трижды дифференцируемой) вещественной функции f (х -, х„). Вблизи нуля она имеет вид

/ (х,-----х„) = / (О, ..., 0) -f Е fi,-v,- + Z biiXiXf + o(Z\Xif]

где

.. = (0,.... 0), ь,=,5(о..... 0).

Вычтя из / ее значение в нуле и линейную часть, получаем, что остаток квадратичен с точностью до членов более высокого порядка малости. Это вычитание означает, что мы рассматриваем отклонение графика f от касательной гиперплоскости к этому графику в нуле. Обозначив эту касательную плоскость через R , обнаруживаем, что поведение f вблизи нуля определяется квадратичной формой с матрицей С'. , 0) по крайней мере,

когда эта форма невырождена, - иначе нужно учитывать члены более высокого порядка малости. (Например, график = xl слева уходит вниз, а справа - вверх; графики квадратичных функций так себя не ведут Двумерный график х.= х]х\-это обезьянье седло , в одном криволинейном секторе x-{-xl<0 уходящее вниз - для хвоста .)

п

Точка, в которой дифференциал df = -~- dxi обращается

называется

в нуль т. е. - = 0 для всех i=\, п^.

критической точкой функции f (в наших примерах это было начало координат). Она называется невырожденной, если в ней

п

квадратичная форма дх дх евьфождена. Пред-

шествующее обсуждение можно резю.мировать в одной фразе: вблизи невырожденной критической точки график функции расположен относительно касательной гиперплоскости, как график ее квадратичной части. После этого можно доказать, что малое изменение функции (вместе с ее первыми и вторыми производными) может лишь слегка сдвинуть положение невырожденной критической точки, но не меняет сигнатуры соответствующей квадратичной формы и потому общего поведения графика (в малом).

Можно также доказать, что вблизи невырожденной критической точки можно сделать такую гладкую и гладко обратимую (хотя, вообще говоря, нелинейную) замену координат yi = - yi(xu Хп), i=y, .., п, что в новых координатах / будет задаваться в точности квадратичной функцией:

п

!{у\.....y ) = f(o, . 0)+Zb/jf f/j.

Строгое изложение теории малых колебаний читатель сможет найти в книге В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М.: Наука, 1974, гл. 5).

6. Теория Морса. Представим себе в (n-f 1)-мерном евклидовом пространстве R + n-мерную гладкую ограниченную гиперповерхность V, вроде яйца или баранки (тора) в R. Рассмотрим сечения V гиперплоскостями x +i = const. Предположим, что имеется только конечное число значений с\, Сщ таких, что

гиперплоскости Хп+\ = с,- касаются V и притом в единственной точке Vi е V. Вблизи этих точек касания V можно приблизить графиком квадратичной формы Xn+i = с,- -- qi (Х| - х^ (у,), ...

Хп - XniVi)), если только V находится в достаточно общем положении (например, бублик не должен лежать горизонтально). Оказывается, что важнейшие топологические свойства V, - в частности, так называемый гомотопический тип V - вполне определяются набором сигнатур форм qi, т. е. указанием того, по скольким направлениям V вблизи Vi уходит вниз и по скольким - вверх. Самое замечательное то, что, хотя информация о сигнатурах qi чисто локальна, восстанавливаемый по ней гомотопический тип V есть глобальная характеристика формы V. Например, если имеются только две критические точки Ci и сг с сигнатурами (п, 0) и (О, п), то V топологически устроена как мерная сфера.

Подробности читатель сможет найти в книге Дж. Милнора Теория Морса (М.: Мир, 1965).

7. Самосопряженные операторы и многомерные квадрики. Пусть теперь L - конечномерное евклидово или унитарное пространство, /: L-L - самосопряженный оператор. Нас интересуют свойства его спектра. Расположим собственные значения / в порядке убывания с учетом кратностей: ... Я, и выберем соответствующий ортонормированный базис {ei,<?2, Сп}-Вернемся к точке зрения п. 4 § 8, согласно которой задание \ равносильно заданию новой симметричной или эрмитовой формы iHh),h) или же квадратичной формы qf{t) = {f{l)J) (в унитарном случае она квадратична на овеществленном пространстве). В базисе {еь ..., е„} она приобретает вид

п п

9f(-v,. >; )=Z/ или EaJx-P

и, таким образом, направления Re,- (ила Се,) суть главные оси qf.

Простейшее экстремальное свойство собственных значений Xt выражается следующим фактом.

8. Предложение. Пусть S={leL\\l\=\}-единичная сфера пространства L. Тогда

Я[= тах^КО, Я„=: minf(/).

Доказательство. Поскольку х,0 и Я, ... Я,г, очевидно

На единичной сфере левая часть есть а правая кх. Эти значения достигаются на векторах (О, О, 1) и (1, О, 0) соответственно (координаты берутся в базисе {еь .... е„}, диагонализи-рующем /).

9. Следствие. Пусть L- - линейная оболочка семейства {ей б*}. L+- линейная оболочка семейства {ек, е„}. Тогда

Я, = m ах {<7f (О I / е S ПЛ = min (<7f (О I / е S П Доказательство. Действительно, в очевидных координа-

п

тах ограничение на имеет вид EjJ*jP ограничение на

ft - вид Е %

Следующее важное усиление этого результата, в котором вместо Z, рассматриваются любые линейные подпространства в L коразмерности k- I, называется теоремой Фишера - Куранта. Она дает минимаксную характеристику собственных значений дифференциальных операторов.

10. Теорема. Для любого подпространства L аЬ коразмерности k - 1 справедливы неравенства:

kk<max {qf (О Uе SПL% Я„ б+,>min {<7f (ОU еSП L%

Эти оценки точны для некоторых L [например, и L- ,, соответственно), так что

kk = mm max {q (/) / e S П L}, kn.-k+s = max min {qf (l)\l e Sf] L).

Доказательство. Поскольку

dimL + dimL = (rt-й+ 1) + й = и+ 1,

a dim (/,+ Jft) dim L = и, из теоремы п. 3 § 5 ч. 1 следует, что dim (LflL) I- Возьмем вектор е LП L П 5. Согласно следствию 9 X.=: min {(/) /е S П L}, так что kqlQ и тем более Я* max{9f (/) /е SflL}. Второе неравенство теоремы проще всего получить, применив первое неравенство к оператору-/ и заметив, что знаки и порядок собственных значений при этом обращаются.

11. Следствие. Пусть dimL/Lo= 1 р -оператор ортогонального проектирования L -> Lo. Обозначим через Я, > Я-2 > ... > к' , собственные значения самосопряженного оператора pf: Ц Lo. Тогда

1 >я;>я.,>я;> ... > я;,>я ,

т. в. собственные значения операторов f и pf перемежаются.

Доказательство. Ограничение формы qf на L,i совпадает с qpf- (/(0.0 = (р/(0. 0. если / е Lo. Поэтому

max{q{l)\le SП L} = max {9(01/s Sf)L}

для подходящего подпространства а Lo, имеющего коразмерность k-1 в Lo. Значит, в L оно имеет коразмерность k, откуда K iKf. Записав это неравенство для -f вместо /, получим - Я, < - Я'д., т. е. Kl < К/. Это завершает доказательство.

Мы предоставляем читателю возможность убедиться в том, что следствие п. 11 имеет следующий простой геометрический смысл. Будем считать, что Я) Яг ... Я„ > О и вместо функции qf{l) на 5 рассмотрим эллипсоид е: qi{l) = 1. Тогда его сечение ео подпространством Lo также представляет собой эллипсоид, длины полуосей которого перемежаются с длинами полуосей эллипсоида е. Вообразите себе, например, эллипсоид е в и его сечение плоскостью ео. Большая полуось ео не превосходит большой полуоси в ( очевидно ), но не меньше, чем средняя полуось б. Малая полуось ео не меньше малой полуоси е ( очевидно ), но не больше средней полуоси е. Контрольный вопрос: как получить в сечении окружность?

§ 11. Трехмерное евклидово пространство

I. Трехмерное евклидово пространство является основной моделью физического пространства Ньютона и Галилея. Четырехмерное пространство Минковского Ж, снабженное симметричной метрикой сигнатуры (а+, г ) == (1, 3), является моделью пространства-времени релятивистской физики. Уже поэтому они заслуживают более пристального изучения. С математической точки зрения они также имеют особые свойства, существенные для понимания устройства мира, в котором мы живем: связь вращений в с кватернионами и существование векторного произведения; геометрия векторов нулевой длины в Ж.

Эти специальные свойства весьма удобно излагать на языке связи геометрии п Ж с геометрией вспомогательного двумерного унитарного пространства Ж, называемого пространством спиноров. Эта связь имеет также глубокий физический смысл, ставший ясным лишь после появления квантовой механики. Мы избрали именно такое изложение.

2. Итак, фиксируем двумерное унитарное пространство Ж. Обозначим через вещественное линейное пространство самосопряженных операторов в д6 с нулевым следом. Каждый оператор \e.S имеет два вещественных собственных значения; они отличаются только знаком, ибо след, равный их сумме, обращается в нуль. Положим

I f I = Vl f I ~~ положительное собственное значение f.

3. Предложение. с нормой \ \ является трехмерным евклидовым пространством.

Доказательство. В ортонормированном базисе Ж операторы / представлены эрмитовыми матриЩами вида

т. е. линейными комбинациями

Re 6 ai + Im Ь ag + ciat где Gi, 02, сгз - матрицы Паули (см. упражнение 5 к § 4 ч. 1):

Так как о\, ог, Оз линейно независимы над R, dimp = 3. Положим теперь

if, ) = Тг ifg).

Это билинейное симметричное скалярное произведение, и если собственные значения f равны ±Я, то

lfP=-jTr(P) = i-(A + A2) = detf.

Очевидно, к^ = 0 тогда и только тогда, когда f = 0. Это завершает доказательство.

Назовем направлением в & множество векторов вида

R4-f-Wl >ob

где f - ненулевой вектор из Иными словами, направление - это полупрямая в ё. Направление, противоположное к R+f, - это R+(-/).

4. Предложение. Имеется взаимно однозначное соответствие между направлениями в ё и разложениями Ж в прямую сумму двух ортогональных одномерных подпространств Ж+®Ж-. Именно, направлению R+f отвечают Ж+ - собственное подпространство Ж для положительного собственного значения f, Ж-то же для отрицательного собственного значения.

Доказательство. Ж+ и Ж- ортогональны по теореме п. 4 § 7. Замена / на af, а > О, не меняет Ж+ и Ж- Наоборот, если ортогональное разложение Ж = Ж+® Ж- задано, то множество операторов f S, растягивающих Ж в Q раз вдоль Ж+ и в -Я, -< О раз вдоль образует направление в ё.

5. Физическая интерпретация. Отождествим S с физическим пространством, например, посредством выбора ортогональных координат в S w в пространстве. Отождествим Ж с пространством внутренних состояний квантовой системы частица со спином Д. локализованная вблизи начала координат (например, электрон). Выбрав направление R+fc, включим магнитное поле в физическом пространстве вдоль этого направления. В этом поле система будет иметь два стационарных состояния, которые как раз и суть Ж+ и Ж-.

Если направление R+/ отвечает, скажем, верхней вертикальной полуоси избранной координатной системы в физическом пространстве ( ось z ), то состояние Ж+ называется состоянием с проекцией спина-Ь'Д на ось 2 (или спин вверх ), а - соответственно состоянием с проекцией спина -/г (или спин вниз ).