смотрим вспомогательный оператор

Легко проверить, что

{Я, М\ = НМ~ МИ = - 2 (- - д;) = -2М.

Отсюда следует, что если / есть собственная функция оператора И с собственным значением Х, то М\ есть собственная функция оператора И с собственным значением Х - 2:

ИМ\ == \Н, M]f + MHf = - 2Mf + IMf = {К-2) Mf.

Поскольку и (ei)=- е- , мы получаем, что М' (е /)есть собственная функция для И с собственным значением - (2п+ 1) при всех п 0. С другой стороны, прямая проверка показывает, что

е>т (e-if {х)) = е- {e~-J (х)),

откуда вытекает, что

e-i-H (х) = ( - l) M (е ),

что завершает доказательство второго утверждения, г) Многочлен Чебышева

есть собственный вектор с собственным значением -оператора

П. Нормальные операторы. Как унитарные, так и самосопряженные операторы в унитарном пространстве являются частным случаем нормальных операторов, кото1)ые можно описать двумя равносильными свойствами:

а) Это операторы, диагонализируемые в ортонормированном базисе.

б) Это операторы, коммутирующие со своим сопряженным оператором.

Проверим равносильность.

Если {а}-ортонормированный базис с f(ei)=%ei, то 1*{е,) = = XiCi, так что [f, /*] = О, и из а) следует б).

Для доказательства обратной импликации выберем собственное значение X оператора / и положим

Проверим, что (*{Lx)ci R самом деле, если I е L, то

/{/ ())=-/ (/W) = Г = (I).

поскольку * =/*/. Отсюда вытекает, что пространство / инвариантно: если (/, /о) = О для всех /о е L, то

(/(О, /о) = (/, r(W) = o.

Такое же рассуждение показывает, что /*-инвариантно. Ограничения f и /* на L, очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности L, мы можем считать, что на f диагонализируется в ортонормированном базисе. Так как то же верно для L} это завершает доказательство.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть /: L~*-L- оператор в унитарном пространстве. Доказать, что если I (/(О, О для всех / е /.. и некоторого с > 0. то

!(/(/), m)\ + \{l,i(m})\2c\l\\m\

для всех l,tneL.

2. Пусть \: L-L - самосопряженный оператор. Доказать, что

1(1 (/), 01<1/11

для всех / е L, где индуцированная норма f, и если с < \f\, то существует вектор le.L с

1)\>с\1\\

3. Самосопряженный оператор \ называется неотрицательным, f О, если {/(0,00 для всех /. Доказать, что что условие равносильно неотрицательности всех точек спектра /.

4. Доказать, что отношение f g: f - g О является отношением порядка на множестве самосопряженных операторов.

5. Доказать, что произведение двух коммутирующих неотрицательных самосопряженных операторов неотрицательно.

6. Доказать, что из каждого неотрицательного самосопряженного оператора можно извлечь единствепныч неотрицательный квадратный корень.

7. Вычислить явно поправку второго приближения к собственному вектору и собственному значению оператора Ню + еН,

8. Пусть / - самосопряженный оператор, м е С, Im со О Доказать, что оператор

g={/-wicl) (f-Mid)-

унитарен, его спектр не содержит единицы и

/ =(cog -wid) (g-id) .

9. Наоборот, пусть g - унитарный оператор, спектр которого не содержит единицы. Доказать, что оператор

f= (cog-Mid) (g-id)-

самосопряжен и

g=(f-cold) (f-coid)-.

(Описанные здесь отображения, которые связывают самосопряженные и унитарные операторы, называются преобразованиями Кэли. В одномерно.м случае

а - а

от отвечают отооражению а i-> , которое переводит вещественную ось в

единичную окружность.)

10. Пусть /: L->L -любой линейный оператор в унитарном пространстве. Доказать, что f*l-неотрицательный самосопря>ке[[пин опери iop и что ои положителен тогда и только тогда, когда / обратим.

11. Пусть f обратим и r = ff*, r?2 = ff. где ri. гг - положительные самосопряженные операторы. Доказать, что

где Ml, М2 унитарны. (Эти представления называются полярными разложениями линейного оператора f, где ut, иг - соответственно правый и .тевый фазовые множители f. В одномерном случае получается представление ненулевых комплексных чисел в виде re*.)

12. Доказать, что полярные разложения f = r{Ui = иггг единственны.

13. Доказать, что полярные разложения существуют также для необратимых операторов f, но однозначно определяются лишь ri, rz, а не унитарные сомножители.

§ 9. Самосопряженные операторы в квантовой механике

1. Мы продолжаем здесь обсуждение основных постулатов квантовой механики, начатое в п. 8 § 6.

Пусть - унитарное пространство состояний некоторой квантовой системы. Для характеризации конкретных состоянии в физике пользуются возможностью определить на них ( измерить ) значения некоторых физических величин таких, как энергия, спин, координата, импульс и т. п. Если единица измерения каждой такой величины, а также начало отсчета ( нуль ) выбраны, то возможные значения являются вещественными числами (это по существу определение скалярных величин), и мы всегда будем считать это условие выполненным.

Третий (после принципа суперпозиции и интерпретации скалярных произведений как амплитуд вероятности) постулат квантовой механики состоит в следующем.

Каждой скалярной физической величине, значения которой можно измерять на состояниях системы с пространством состояний Ж, можно поставить в соответствие самосопряженный оператор f: Ж-Ж со следующими свойствами:

а) Спектр оператора f есть полное множество значений величины, которое можно получить, производя измерения этой величины на разных состояниях системы.

б) Если е Ж - собственный вектор оператора f с собственным значением К, то при измерении этой величины на состоянии

с достоверностью получится значение К.

в) Более общо, измеряя величину f на состоянии ii=l, мы можем получить значение % из спектра оператора f с вероятностью, равной квадрату нормы ортогональной проекции if на полное собственное подпространство Ж{Х), отвечающее %.

Так как в силу теоремы п. 4 § 8 3 разлагается в ортогональ-

т

ную прямую сумму Ж (Я,), я,- Ф 1, при i ф \, мы можем разло-(=[

жить в соответствующую сумму проекций i]j,e5(,), г= 1, ... .... т. Теорема Пифагора

m (-1

интерпретируется тогда как утверждение о том, что, производя измерения [ на любом состоянии ф, мы с вероятностью I получим хоть какое-нибудь из возможных значений /.

Физические величины, о которых мы говорили выше, и соответствующие им самосопряженные операторы также называют наблюдаемыми. Постулат о наблюдаемых иногда трактуется более широко и считается, что любому самосопряженному оператору отвечает некоторая физическая наблюдаемая.

В бесконечномерных пространствах Ж эти постулаты несколько меняются. В частности, вместо б) и в) следует рассматривать вероятность того, что при измерении / в состоянии tli значения попадут в некоторый интервал (a,b)czR. Этому интервалу также можно поставить в соответствие подпространство Ж(а,ь)С1 - образ ортогонального проектора Р(а. на ф Ж {Xi) в конечно-

.мерном случае, - и искомая вероятность равна

I Pia. Р = йа. 6)11)-

Кроме того, в бесконечномерном случае операторы наблюдаемых могут оказаться опрелеленными лишь на некотором подпространстве Жо с= Ж.

Связь этой терминологии с понятиями, введенными в п. 8 § 6, такова. Фильтр Ву -это прибор, который измеряет наблюдаемую, отвечающую ортогональному проектору на подпространство, порожденное /. Ей приписывается .значение 1, если система прошла через фильтр, и О в противном случае. Печка Aij, - это комбинация прибора, производящего систему, вообще говоря, в разных состояниях, и фильтра й,., пропускающего затем лишь системы в состоянии г|;. Рецепт вычисления вероятностей, данный в п. 8 § 6, очевидно, согласуется с ре1;ептом, данным в свойствах б), в) выше

На этом примере видно, что прибор, измеряющий некоторую наблюдаемую, скажем В;, в состоянии г]?, вообще говоря, меняет это состояние: с вероятностью х) он превращает его в у^, а с вероятностью 1-х) уничтожает систему. Поэтому термин измерение в применении к такому акту взаимодействия системы с прибором может привести к совершенно неадекватным интуитивным представлениям. Классическая физика основана на предположении о том, что акт измерения можно в принципе произвести, сколь угодно мало повлияв на состояние системы, под-!зергшейся измерению. Тем не менее термин измерение общепринят в физических текстах, и мы сочли необходимым ввести его }десь, начав ранее с менее обычных, но интуитивно более удобных .5печек и фильтров .

2. Средние значения и принцип неопределенности. Пусть f -

некоторая наблюдаемая, {X,} -ее спектр, = ф (Я;) - соответствующее ортогональное разложение. Как было сказано, на состоянии ф, ф|=1, / принимает значение Я; с вероятностью (itPfl)i где Pi - ортогональный проектор на Siki). Поэтому

среднее значение Ixf, величины f на состоянии взятое по многим измерениям, можно вычислить так:

(повтвряем, что ИМ= О-

Наша величина в обозначениях Дирака выглядит так:

Часть этого символа ff> есть результат действия оператора / на кет-вектор а <.x\f - результат действия

сопряженного оператора на бра-вектор <:х

Вернемся к средним значениям. Если операторы f, g самосопряжены, то оператор fg, вообще говоря, не является самосопряженным:

(fgr-gT = gf¥=fg,

если f,g не коммутируют. Однако f, f - K (XeR) и коммутатор

Y f S] =у (/§ - gf) по-прежнему самосопряжены.

Среднее значение [(/ -наблюдаемой (f-Q) в состоянии if есть среднеквадратичное отклонение значений f от их среднего значения, или дисперсия (разброс) значений f. Положим

A?t = V[(f-0%-

3. Предложение (принцип неопределенности Гейзенберга). Для

любых самосопряженных операторов f, g в унитарном пространстве

Доказательство. Пользуясь очевидной формулой [/ -Т^. g-g]=[/. 1,

самосопряженностью операторов /, g и неравенством Коши - Бу-няковского - Шварца, находим (/, = f - = g - g)

I (If. g] . I = I {(hgi - gih) я];) I = I (gi, f,T)) - (/,11), g,!])) I = = 2Im(g,al;, /,il))<2(g,al /.if) <

<2 V(/,, fi) \/{gx, g,il))==2A/Ag..

Это показывает, что средний разброс значений некоммутирую-щих наблюдаемых /, g, вообще говоря, не может быть одновременно сделан как угодно малым. Говорят еще, что некоммути-рующие наблюдаемые не измеримы одновременно; к этой формулировке следует относиться с теми же предосторожностями, что и к термину измерение .

Особую роль играет применение неравенства Гейзенберга к случаю канонически сопряженных пар наблюдаемых, которые по

определению уловлетворяют соотношению j?l = i(1 Для них

каково бы ни было состояние ф. Заметим, что в конечномерных пространствах таких пар нет, ибо Тг [/, g] = О, Tri(1 = dim5. Однако в бесконечномерных пространствах они сушествуют. Классический пример:

1 г \ d

/ L ( dx

= id.

Эти операторы появляются в квантовых моделях физических систем, которые на классическом языке называются частица, дви-жушаяся в одномерном потенциальном поле .

Опишем эти и некоторые другие наблюдаемые подробнее.

4. а) Наблюдаемая координаты. Это оператор умножения на X в пространстве комплексных функций на R (или некоторых подмножествах R) со скалярным произведением { f (х) ё (-х) dx. Подразумевается квантовая система: частица, движущаяся по прямой, во внешнем поле .

б) Наблюдаемая импульса. Это оператор y-j в аналогичных пространствах функций. (При нем обычно пишут множителем постоянную Планка Й; это относится к выбору системы единиц, на котором мы не останавливаемся.)

в) Наблюдаемая энергии квантового осциллятора. Это - оператор ---[ +х^]у снова в подходящих единицах.

г) Наблюдаемая проекции спина для системы частица со спином 1/2 . Это любой самосопряженный оператор с собственными значениями ±1/2 на двумерном унитарном пространстве. Дальнейшие подробности о нем будут даны позже.

В примерах а) - в) мы намеренно не уточняли, в каких унитарных пространствах действуют наши операторы. Они существенно бесконечномерны и строятся и изучаются средствами функционального анализа. О примере г) мы скажем кое-что еще ниже.

5. Наблюдаемая энергии и эволюция системы во времени. В описание любой квантовой системы вместе с ее пространством состояний Ж входит задание фундаментальной наблюдаемой Н: Ж-Ж, которая называется наблюдаемой энергии, или оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

В ее терминах формулируется последний из основных постулатов квантовой механики.

Если в момент времени О система находилась в состоянии и за промежуток времени t развивалась как изолированная система, в частности, над ней не производились измерения, то в мо-

мент времени f она будет находиться в состоянии ехр(--(Я/) (ijj), где

(см. § и ч. 1).

Оператор ехр(-iHt)=U{t) унитарен. Однопараметрическая группа унитарных операторов {U{t)\t eR} целиком определяет эволюцию изолированной системы.

Физическая размерность (энергия)X (время) называется действием . Многие эксперименты позволяют определить универсальную единицу действия - знаменитую постоянную Планка h = = 1,055-Ю- * Дж-с. В нашей формуле подразумевается, что Ht

измеряется в единицах Н, и чаще ее пишут в виде exp-j-ф.

Мы будем опускать h для сокращения записи.

Заметим еще, что, поскольку оператор е- линеен, он переводит лучи в гЭ в лучи и в самом деле действует на состояния системы, а не просто на векторы

Закон эволюции можно записать в дифференциальной форме:

или, полагая tli(Z) = е'\:,

= - Шг Н^, если помнить о единицах .

Последнее уравнение называется уравнением Шрёдингера. Впервые оно было написано для случая, когда реализованы как функции в физическом пространстве и Н представлен дифференциальным оператором относительно координат.

В следующих комментариях мы, как обычно, ограничимся в основном конечномерными пространствами состояний Ж

6. Энергетический спектр и стационарные состояния системы. Энергетический спектр системы -это спектр ее гамильтониана Н. Стационарные состояния - это состояния, которые не меняются со временем. Отвечающие им лучи до-пжны быть инвариантны относительно оператора е , т. е. быть одномерными собственными подпространствами этого оператора. Но эти подпространства те же, что и для оператора Н. Собственному значению £, гамильтониана, или энергетическому уровню системы, отвечает собственное значение е'/ = cos IE, + i sin tE, оператора эволюции, меняющееся со временем.

Если Н имеет простой спектр, то пространство Ж снабжено каноническим ортонормированным базисом, состоящим из векторов стационарных состояний (они определены с точностью до фазовых множителей ef). Если кратность энергетического уровня Е больше единицы, этот уровень и соответствующие состояния называются вырожденными, а кратность Е - степенью вырождения.

Все состояния, отвечающие нижнему уровню, т. е. наименьшему собственному значению Н, называются основными состояниями системы; основное состояние единственно, если нижний уровень невырожден. Этот термин связан с представлением о том, что квантовая система никогда не может рассматриваться как полностью изолированная от внешнего мира: с некоторой вероятностью она может излучить или получить порцию энергии. В некоторых условиях гораздо вероятнее, что энергия будет потеряна, чем приобретена, и система будет иметь тенденцию свалиться в свое нижнее состояние и в дальнейшем в нем оставаться. Поэтому неосновные состояния называются иногда возбужденными.

п. 4 был написан гамильтониан квантового -{-X . в разделе в) п. 10 § 8 было

В примере г осциллятора: --i--

показано, что функции е~Нп{х) образуют систему стационарных состояний гармонического осциллятора с уровнями энергии

Еп = п -\- . 11=1, 2, 3, ... (Более подробный анализ показывает, что энергия измеряется здесь в единицах Йсо, где константа со отвечает частоте колебаний соответствующего классического осциллятора.) Разумным образом определив унитарное пространство, в котором следует работать, можно показать, что это полная система стационарных состояний. При п > О осциллятор может излучить порцию энергии Е„ - Ет = {п - т)Йю и перейти из состояния фп в состояние фт. в применении к квантовой теории электромагнитного поля об этом говорят как об излучении п - т фотонов частоты ы . Обратный процесс будет поглошением п - m фотонов; при этом осциллятор перейдет в более высокое (возбужденное) состояние. Важно, что энергия может быть получена или передана лишь целыми кратными Йш.

В основном состоянии осциллятор имеет ненулевую энергию

-/гю, которая, однако, никак не может быть передана - более

низких энергетических состояний осциллятор не имеет. Электромагнитное поле в квантовых моделях рассматривается как суперпозиция бесконечно многих осцилляторов (отвечающих, в частности, разным частотам ю). В основном состоянии - вакууме - оказывается поэтому, что поле имеет бесконечную энергию, хотя с классической точки зрения оно является нулевым - раз от него нельзя отнять энергию, оно не может ни на что воздействовать! Эго простейшая модель глубоких трудностей современной квантовой теории поля. Ни математический аппарат, ни физическая интерпретация квантовой теории поля не лостигли какой-либо степени законченности. Это открытая и увлекательная наука.

7. Формулы теории возмущений. В аппарате квантовой механики важную роль играют ситуации, когда гамильтониан Н системы может рассматриваться как сумма Но + гНу, где Но - не-возмущеннып гамильтониан, а fZ/j - малая добавка, возмуихе-ние . С физической точки зрения возмущение часто обусловливает

взаимодействие системы с внешним миром (например, внешним магнитным полем) или компонент системы между собой (тогда Но отвечает идеализированному случаю системы, состоящей из свободных, невзаимодействующих компонент). С математической точки зрения такое представление оправдано, когда спектральный анализ невозмущенного гамильтониана Но проще, чем Н, и спектральные характеристики Н удобно представлять рядами по степеням е. первые члены которых определяются через Но- Мы ограничимся следующими наиболее употребительными формулами и качественными замечаниями к ним.

а) Поправки первого порядка. Пусть Иоео=Хоео, ео= 1. По пытаемся найти собственный вектор и собственное значение Но -Ь гН\, близкие к ео и Ло соответственно, с точностью до членов второго порядка малости по е, т. е. решить уравнение

(Но + еЯ,) (ео -г ее,) = ( + еЯ,) (е^ + ее,) + о (е^).

Приравнивая коэффициенты при е, получаем

(Яо-Яп)е, = (Л,-Я,)ео-

Неизвестные здесь - это число Я, и вектор е,. Их можно найти по очереди с помощью следующего приема. Рассмотрим скалярное произведение обеих частей последнего равенства на ео. Слева будет нуль в силу самосопряженности Н - Ко.

((Но - К) ей ео) = (е„ (Но - К) о) = П.

Поэтому ((Я, - Нх)ео,ео) = 0 и в силу нормированности е;

Я, = (Я,ео, ео).

Это поправка первого порядка к собственному значению Хо. сдвиг энергетического уровня еЯ, равен (еЯ1ео,ео), т. е. по результатам п. 12 совпадает со средним значением энергии возмущения еЯ, на состоянии Cq.

Для определения е, теперь нам нужно обратить оператор Яо - Яо. Разумеется, он необратим, ибо Яо - собственное значение Яо; но правая часть уравнения, (Я,-Я,)ео, ортогональна к е^. Поэтому достаточно, чтобы Яо -Яо был обратим на ортогональном дополнении к ео, которое мы обозначим е,. Это условие (в конечномерном случае), очевидно, равносильно тому, чтобь' кратность собственного значения Хо У Яо была равна единице т. е. невырожденности энергетического уровня Хо-

Если это так, то

е, = ((Яо-Яо)-(Я,-Я,)е„

что дает поправку первого порядка к собственному вектору.

Выберем ортонормированный базис {ео = е'°, е*, е* }, в котором Яо дкагопален с собственными значенпями Хо = Х^-,

Я(\ .... Я' \ в базисе ..., ) пространства имеем

I

(=1 1 1

-L >,->.-

Интуитивно ясно, что эта поправка первого порядка может быть хорошим приближением, если энергия возмушения мала по сравнению с расстоянием от уровня до соседнего: е должно компенсировать знаменатели Ко-К'-К Физики так обычно и считают.

б) Поправки высших порядков. По аналогии с разобранным случаем покажем, что когда собственное значение ко невырождено, можно индуктивно найти поправку (г+1)-го порядка к (ко, во), считая, что поправки порядков уже найдены. Пусть 1. Мы решаем уравнение

(Но + еЯ,) ( е еч) = (е е'г) ( z е'р,) + о {в')

относительно e,+i, ki\ Приравнивая коэффициенты при е'+\ получаем

(Яп - Яо)е,+1 = (Я, -- Hi)e{ + е Xiei i i + ki+yeo.

(= 2

Как выше, левая часть ортогональна во, откуда

i+i = ((1 - А|) о) - е {et+i-i, eo),

ei+x = ((Яо - ко) II)- [(A, - Я,)+ e hei+x-1

Таким образом, все поправки сушествуют и единственны.

в) Ряды теории возмущений. Формальные ряды по степеням е

е^гв. е^г^.

где ki и е,- находятся по выписанным рекуррентным формулам, называются рядами теории возмущений. Можно доказать, что в конечномерном случае они сходятся при достаточно малых е. В бесконечномерном случае они могут расходиться; тем не менее несколько первых членов часто приводят к предсказаниям, хорошо согласующимся с экспериментом. Физическая роль рядов теории возмущений в квантовой теории поля очень велика. Их математическое исследование приводит к многим интересным и важным задачам.