нальными (соответственно унитарными) матрицами, т. е. матрицами и, которые удовлетворяют соотношениям

= £ или Uй^ = Еп.

Множества таких матриц размера л X были введены впервые в § 4 ч. 1; они обозначались 0(п) и \J(n) соответственно. Аналогично, матрицы изометрий в ортонормированных базисах сигнатур (р, я), удовлетворяющие условиям г) предложения 2, обозначаются 0(p,q) и \J(p.q)\ при р, qфO они называются иногда псевдоортогональными и псевдоунитарными соответственно. В этом параграфе мы будем заниматься только группами 0{п) и U( ). Фундаментальная для, физики группа Лоренца О(1,3) будет изучена в § 10.

3. Группы U(l), 0(1) и 0(2). Из определения немедленно следует, что

и(1) = {оеС llfll = 1} = {е'1феЯ}, 0(1) = {± l} = U(l)nR. Далее, если UeO{n), то UU= Еп, откуда (dett/)2=l и det С = ±1. Если t/= ° -ортогональная матрица с определителем -1, то ( ) - ортогональная матрица с определителем 1, принадлежащая SO(2). Матрицы нз SO(2) имеют вид

(° *)orf fcc = a2 + fc2 = c2 + d2 = 1, ас -ы = 0.. Очевидно, любую такую матрицу можно представить в виде

V sin ф COS ф /

т. е. она задает евклидов поворот на угол ф. Отображение

U(l)-S0(2)-<Pr°f- P) V sin ф cos ф У

является изоморфизмом. Его геометрический смысл объясняется следующим замечанием: овеществление одномерного унитарного пространства (С, гР) есть двумерное евклидово пространство {h, x-\-xfj, а овеществление унитарного преобразования гь-е'г задается матрицей поворота на угол ф.

В § 9 мы построим значительно менее тривиальный эпиморфизм SU(2)->SO(3) с ядром {±1}.

/ cos (Г - sin ф Ч , g.

Повороты (gjj coscf J Ф О, Л не имеют соб-

ственных векторов в R2 и потому не диагонализируемы. Наоборот, все матрицы UeO{2) с detL = -1 диагонализируемы. Точнее говоря, характеристический многочлен матрицы

/ cos ф - sin (f \ V. - sin ф - cos ф J

равен f- 1 и имеет корни ±1. Легко проверить непосредственно, что соответствующие этим корням собственные подпространства ортогональны; ниже это будет доказано в гораздо большей общности. Поэтому любой оператор из О (2) с det t/ = -1 является отражением относительно некоторой прямой: он действует тождественно на этой прямой и меняет знак векторов, ортогональных к ней.

Пользуясь этой информацией, мы можем теперь установить структуру общих ортогональных и унитарных операторов.

4. Теорема, а) Для того чтобы оператор f в унитарном пространстве был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированном базисе и имел спектр, расположенный на единичной окружности в С.

б) Для того чтобы оператор f в евклидовом пространстве был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в подходящем ортонормированном базисе имела вид

Л (ф.)

О

о

\ sin ф COS <f /

где на пустых местах стоят нули.

в) Собственные векторы ортогонального или унитарного оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство а) Достаточность утверждения очевидна: если U = d\ag(Xi, h,), - 1, то UU - Еп, так что и - матрица унитарного оператора. Наоборот, пусть /- унитарный оператор, X - его собственное значение, Z. - соответствующее собственное подпространство. По предложению п. 2 § 3 имеем

Подпространство Lt, одномерно, /-инвариантно, и

ограничение / на Lk является одномерным унитарным оператором, поэтому >ieU(l), т. е. ?i=l. Если мы покажем, что подпространство также /-инвариантно, то индукцией по dim L отсюда можно будет вывести, что L разлагается в прямую сумму /-инвариантных попарно ортогональных одномерных подпространств, что докажет требуемое.

в самом деле, если /о е L%, 1оФ0 и (/о, /) = О, то

(/о, /(/)) = (/(Я-U /(/)) = (Я-/о, /) = Л-(/о. /)-0.

так что е LjJ-.

б) В ортогональном случае рассуждения аналогичны: непосредственно проверяется достаточность условия и затем проводится индукция по dimL. Случаи dimL = 1,2 разобраны в предыдущем пункте. Если dimL3 и f имеет вещественное собственное значение X, нужно снова положить L = LL и рассуждать, как выше (заметим, что здесь обязательно Я,=±1). Наконец, если / не имеет вещественных собственных значений, то следует выбрать двумерное /-инвариантное подпространство Lo с= L, которое существует по предложению п. 16 § 12 ч. 1. На нем матрица ограничения / в любом ортонормированном базисе будет иметь вид А (ф) в силу предыдущего пункта. Поэтому остается проверить, что подпространство Ц также /-инвариантно. Действительно, если (/о, /) = О для всех /о е Lo, то

(/о, /(/)) = (/(Г'(/о)). /(/)) = (Г'(/о). /) = 0.

ибо /-(/o)eLo для всех /о е Lo. Это завершает доказательство.

в) Пусть /(/()= hli, /=1,2. Тогда

(/., k)=-{Kh)>nh))-XMh, к)-

Так как Я 2=1, при Х^фХ имеем ХхУ^.чФ. Следовательно, {1\,к) = - Это рассуждение применимо одновременно к унитарному и ортогональному случаю. Доказательство окончено.

5. Следствие ( теорема Эйлера ). В трехмерном евклидовом пространстве любое ортогональное отображение /, не меняющее ориентацию {т. е. элемент группы SO(3)), является вращением относительно некоторой оси.

Доказательство. Так как характеристический многочлен / имеет степень 3, у него обязательно есть вещественный корень. Если он единственный, то он должен быть равен 1, ибо del / = 1. Если есть больше одного вещественного корня, то все корни вещественные, и возможны комбинации (1, 1, 1) или (1, -1, -1). В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собственное подпространство является осью вращения, а в ортогональной к нему плоскости индуцируется элемент SO(2), т.е. вращение на некоторый угол.

§ 8. Самосопряженные операторы

1. В первой части мы видели, что простейший и наиболее важный класс линейных операторов образуют диагонализируемые операторы. Оказывается, что в евклидовых и унитарных пространствах совершенно особую роль играют операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в некотором ортонормированном базисе. Иными словами, эти операторы осуществляют вещественные

растяжения пространства вдоль системы попарно ортогональных направленнй.

Пусть {ei, <; }-ортонормированный базис в L и f: L- L - оператор, для которого f(ei) = %iei, Я,-е R, / = 1, ..., п. Нетрудно убедиться, что он обладает следующим простым свойством:

(fUi), /2)==(i, iih)) для всех / hL. (1)

Действительно,

(/ (Z xiei), Z У 11) = Z hXiVi или Z iXiyi,

(Z Xiei, f (Z e/)) = Z Mi./i или Z iXiyi

(в унитарном случае вещественность X, использовалась во второй формуле). Операторы со свойством (1) называются самосопряженными, и мы установили, что операторы с вещественным спектром, диагонализируемые в ортонормированном базисе, самосопряжены. Вскоре мы докажем и обратное утверждение, но сначала исследуем свойство самосопряженности более систематично.

2. Сопряженные операторы в пространствах с билинейной формой. В первой части курса мы показали, что для любого линейного отображения /: L- М существует единственное линейное отображение f*: М* -> L*, для которого

(Пт). 1) = (т\ П1)),

где т* е М*, 1 L и где скобки означают канонические билинейные отображения L* X L -> , М*У М-Ж.

В частности, при М = L оператору f: L-L отвечает оператор /*: L*-L*. Предположим теперь, что на L имеется невырожденная билинейная форма g: определяющая изоморфизм g: L-L*. Тогда, отождествив L* с L посредством g-\ мы можем рассмотреть /*, точнее g~of*°g, как оператор на L. Мы по-прежнему будем обозначать его /* (точнее было бы писать, например, !* но /* в старом смысле в этом параграфе больше не будет фигурировать). Очевидно, новый оператор /* однозначно определяется формулой

g{rU).ni) = g{t, fim)).

Он по-прежнему называется сопряженным с / (относительно скалярного произведения g).

В полуторалинейном случае g определяет изоморфизм L с L*, а не с L*. Поэтому на Z. с помощью этого изоморфизма следует

переносить оператор f*: L*-L*, который определяется как

f*{m) = f*(m). Перенесенный оператор #-of*°g: L-L линеен. Следовало бы обозначить его /+, но мы сохраним более традиционное обо.значение f*. Тогда и в полуторалинейном случае будет справедлива формула

gird), m)=gd.f{m)).

Операция f>~-f* линейна, если g билинейна, и антилинейна, если g полуторалинейна.

Операторы f: L L со свойством /* = / в евклидовых и конечномерных унитарных пространствах называются самосопряженными, в евклидовом случае -также симметричными, а в унитарном- эрмитовыми. Эта терминология объясняется следующим простым замечанием.

3. Предложение. Если оператор f: L- L в ортонор.мированном базисе задается матрицей А, то оператор f* задается в .этом же базисе матрицей А' {евклидов случай) или А' {унитарный случай).

В частности, оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична или эрмитова.

Доказательство. Обозначая скалярное произведение в L скобками, а векторы - столбцами их координат в ортонормированном базисе, имеем

if У) = (ЛхУ у = (хМ) у = х' {А'у) = {х, Г {у))

(евклидов случай). Отсюда и следует, что матрица /* равна А*. Унитарный случай разбирается аналогично.

4. Самосопряженные операторы и скалярные произведения.

Пусть L - пространство с симметричным или эрмитовым скалярным произведением ( , ). Для любого линейного оператора /: L-L мы можем определить новое скалярное произведение (, )/ на L, положив

Ни yf = (f(/i), /2)-

Предположим, что L невырождено, так что мы можем пользоваться понятием сопряженного оператора. Тогда

(/2. A)f = (f(/2), /l) = a2. Г (/.)) = (Г (/l), /2) = (/.. l2)r

В евклидовом случае, и аналогично

(/2. /.)f = (/(/2). /.) = (/2. Г (/.))==(/ (/.). к)-={1и h)f

в унитарном. Следовательно, если оператор f самосопряжен, то построенная по нему новая метрика (/i,/г)/ будет по-прежнему симметричной или эрмитовой. Верно и обратное, как нетрудно убедиться прямо или с помощью предложения п. 3.

Таким образом, мы установили биекцию между множествами самосопряженных операторов, с одной стороны, и симметричных скалярных произведений в пространстве, где одно невырожденное скалярное произведение задано, -с другой. В евклидовом и унитарном случае после выбора ортонормированного базиса соответствие легко описывается на матричном языке: матрица Грама ( , )f транспонирована к матрице отображения /.

Теперь мы докажем основную теорему о самосопряженных операторах, параллельною геореме п. 4 § 7 об ортогональных и унитарных операторах и тесно с ней связанную.

5. Теорема, а) Для того чтобы оператор f в конечномерном евклидовом или унитарном пространстве был самосопряжен, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированном базисе и имел вещественный спектр.

б) Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственны.м значениям, ортогональны.

Доказательство, а) Достаточность мы проверили в начале этого параграфа Вещественность спектра в унитарном случае устанавливается просто; пусть А, - собственное значение оператора /, 1 L~соответствующий собственный вектор. Тогда

i) = (f{l), l) = (l, /{/)) = Я (/, 0.

откуда Я. = Х, ибо (1,1)Ф0. Ортогональный случай сводится к унитарному следующим приемом: рассмотрим комплексифицирован-ное пространство L* и введем на нем полуторалинейное скалярное произведение по формуле

(/, + Иг, h + iU) = (lb /з) + di, U) + (к, k) - i Ни U)-

Легкая прямая проверка показывает, что превращается в унитарное пространство, а f - в эрмитов оператор на нем. Спектр оператора / совпадает со спектром оператора ибо в любом R-базисе L, являющемся в то же время, С-базисом L, 1 и задаются одинаковыми матрицами. Поэтому спектр оператора / веществен.

Дальше оба случая можно рассматривать параллельно и провести индзкцию по dim L. Случай dim L = 1 тривиален. При dim L > 1 выберем собственное значение к и отвечающее ему собственное подпространство /.о, затем положим L== L[ По предложению п. 2 § 3 имеем L = Lq,® L\. Подпространство Li инвариантно относительно /, потому что если /о е Lo. /о ¥= О и Z е L\, т.е. (/о,/) = 0, то

(к, f(l))-=(f(lo), l)-=k(lo, /) = 0,

так что /(/)eL. По индуктивному предположению ограничение f на Li диагонализируется в ортонормированном базисе Li. Добавив к нему вектор /о е Lc, /о|= 1, получим требуемый базис в L. б) Пусть /(/,) = Я,/1, /(2)= Ы2. Тогда

h(lu /2) = (/(.). У ==(!. /(/2)) = 2(/,. /а).

откуда следует, что если Xi Ф кч, то (1\, /2) = 0.

6. Следствие. Любая вещественная симметричная или комплексная эрмитова матрица имеет вещественный спектр и диагонализируема.

Доказательство. Построим по матрице А самосопряженный оператор в координатном пространстве R или С с канони-

ческой евклидовой или унитарной метрикой и применим теорему п. 5. Из нее видно даже больше: матрицу К такую, что Х^АХ диагональна, можно найти в 0(п) или в U(n) соответственно.

7. Следствие. Отображение ехр: u(n) U(n) сюръективно.

Доказательство Алгебра Ли u(n) состоит из антиэрмитовых матриц (см. § 4 ч. 1), а любая антиэрмитова матрица имеет вид iA, где /4 - эрмитова матрица. Чтобы решить относительно А уравнение ехр( 1)= U, где U e\J(n), реализуем U как унитарный оператор / в эрмитовом координатном пространстве С . После этого но теореме п. 4 § 7 найдем в С новый ортонормированный базис {си е„}, в котором матрица оператора f имеет вид

diag(e f.....е'М, зададим в этом базисе оператору матрицей

diag(фl, ф„) и обозначим через А матрицу оператора g в исходном базисе. Очевидно, exp{ig)=f и exp{iA)=U.

8. Следствие, а) Пусть gi, gi - две ортогональные или эрмитовы формы в конечномерном пространстве L, и одна из них, скажем gl, положительно определена. Тогда в пространстве L существует базис, матрица Грама которого относительно gi единична, а относительно gi диагональна и вещественна.

б) Пусть gl. gl - две вещественные симметричные или комплексные эрмитово симметричные формы относительно переменных Xi, Хп, Ух, Уп, и gl положительно определена. Тогда с помощью невырожденной линейной замены переменных {общей для

X и у) эти две формы можно привести к виду

-> > А >

ёх {х, у) = L Х1У1; gl {х, у)2 hxiyi, К е R,

или

gl {х, г/)= Ё ХгУй g2{x, у)=- Ё iXiyt, Я-е R.

Доказательство, Очевидно, обе формулировки эквивалентны. Чтобы доказать их, рассмотрим {L,g[) как ортогональное или унитарное пространство, переобозначим gi{li,li) через {lull) и представим giihh) в виде {lx,li)f, где /: L-L - некоторый самосопряженный оператор, как это было сделано в п. 4. После этого найдем ортонормированный базис в L, в котором / диагона-лизируется. По замечанию в конце п. 4 этот базис будет удовлетворять требованиям следствия (точнее, утверждения а)).

9. Ортогональные проекторы. Пусть L - линейное пространство над Ж и пусть дано его разложение в прямую сумму: L - = Z.1 Ф Ll. Как было показано в ч. 1, оно определяет два проек-TODa рс L-L таких, что 1т pi = Li, \Al = Pi -j- pi, P\Pi = PiPx = 0, p-p. Собственные значения проекторов равны О или 1.

Если /. - евклидово или унитарное пространство к L = Lf-, то соответствующие ортогональные проекторы диагонализируются в ортонормпропапном базисе L - объединеппн таких базисов Li и Ll - и потому самосопряжены. Наоборот, любой самосопряженный

проектор р есть оператор ортогонального проектирования на подпространство. Действительно, Кегр и Im р натянуты на собственные векторы р, отвечающие собственным значениям О и 1 соответственно, так что Кегр и Imp ортогональны по теореме п. 5 ц L - Кег р Ф Im р.

Далее, если самосопряженный оператор / диагонализируется в ортонормированном базисе {е,}, f{ei) = kiei, и р,- - ортогональный проектор L на подпространство, натянутое на е,-, то

f-thPi- (2)

i = l

Эта формула называется спектральным разложением оператора /.

Можно считать, что Xi пробегает только попарно различные собственные значения, а pi есть оператор ортогонального проектирования на полное корневое подпространство L{Xi); формула (2) останется верной.

Теорема п. 5 обобщается также на ограниченные по норме (и, с осложнениями, на неограниченные) самосопряженные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Однако это обобщение требует очень нетривиального изменения некоторых основных понятий. Главные проблемы связаны со структурой спектра: в конечномерном случае X является собственным значением f тогда и только тогда, когда оператор Xid-/ необратим, тогда как в бесконечномерном случае множество точек необратимости оператора Xid - / может быть больше множества собственных значений f: для неизолированных в спектре точек Хо собственных векторов, вообще говоря, нет. С другой стороны, именно множество точек необратимости оператора Xid - / служит правильным обобщением спектра в бесконечномерном случае. Эта нехватка собственных векторов требует изменения многих формулировок. Основной результат является обобщением формулы (2), где, однако, суммирование заменяется интегрированием.

Мы ограничимся описанием нескольких важных принципов на примерах, где эти затруднения не возникают.

10. Формально сопряженные дифференциальные операторы. Рассмотрим какое-нибудь пространство вещественных функций на отрезке [а, Ь] со скалярным произведением

(/. g)=\f{x)g{x)dx.

Предположим, что оператор переводит его в себя. Согласно формуле интегрирования по частям

+ (/. ) = fg\l = f Ф) g(b) - f (а) g (а).

Поэтому, если пространство состоит только из функций, принимающих на концах интервала одинаковые значения, то

(l. )-(.-iif)-

т. е. на таком пространстве оператор - сопряжен с оператором

Используя формулу интегрирования но частям несколько раз или пользуясь формальным операторным соотношением (/ ° °/ )* - }п° °Г,> получаем, что на таких пространствах

п

-i = 0

г w.

где запись

(а-)для оператора означает, что, применяя его

к функции /(л:), мы сначала умножаем ее на а,(а') и затем дифференцируем i раз по X. Формула (3) определяет операцию (формального) сопряжения дифференциальных операторов: D-D*. Оператор D называется (формально) самосопряженным, если D = D*. Слово формальный здесь напоминает о том, что в определении не указано явно пространство, на котором D реализуется как линейный оператор.

Если скалярное произведение определяется с помощью веса G(x):

ь

(f, g)c--\G(x)f(x)g(x)dx,

то очевидные вычисления показывают, что вместо D* следует рассматривать оператор Q- > D* о G (считая, что G не обращается в нуль); именно он является кандидатом на роль сопряженного оператора к D относительно (/, б)о-

Покажем, что ортогональные системы функций, рассмотренные в § 4, состоят из собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов.

а) Вещественные многочлены Фурье степени N. Оператор

-j, формально самосопряженный, переводит это пространство

в себя и самосопряжен на нем. Кроме того, его собственные значения равны О (кратность I) и -1, -2, -Л' (кратность 2). Соответствующие собственные векторы суть i и {cosnx, sin nx}, I n yV.

б) Многочлены Леокандра. Оператор

(х- - 1) -7--, -I 2х - =

(.Г

формалыю самосопряжен и переводит пространство многочленов степени Л' в себя. Имеет место очевидное тождество

откуда по формуле Лейбница, примененной к обеим частям.

п+\ г

+ n(n+l)-£{x~ir = 2nxy-ir+2n(n+l)£;(x-ir.

Разделив последнее равенство на 2 п1 и вспомнив определение многочленов Лежандра, получим отсюда

- IF + W = ( + 1) Р„ (X).

Таким образом, оператор (х^ - \)-\-2хна пространстве

многочленов степени Л/ диагонализируется в ортогональном базисе из многочленов Лежандра и имеет простой вещественный спектр. Стало быть, он самосопряжен.

Разумеется, самосопряженность на этом пространстве можно было бы проверить и непосредственным интегрированием по частям: член типа fg пропадет здесь из-за множителя х^-1 в коэффициентах оператора. Тогда из результатов этого пункта и теоремы п. 4 получается другое доказательство попарной ортогональности многочленов Лежандра.

Мы оставляем читателю часть проверок и интерпретацию в терминах линейной алгебры соответствующих фактов для многочленов Эрмита и Чебышева (помнить о весовых множителях G{x)\).

в) Многочлен Эрмита Я„ (х) = ( - 1) e*- (еесть собственный вектор с собственным значением -2п оператора

dx dx

Функция e-i Нп (х) = ( - (е-* ) является собствен-

ным вектором оператора

С собственным значением -{2п-\- 1).

Первое, утверж.депие проверяется прямой индукцией по п, которую мы опускаем. Для доказательства второго утверждения рас-