вблизи ее поверхности . Например, объем шарового кольца между сферами радиуса 1 и 1 -е равен fc [l -(1 -е) ], что при фиксированном сколь угодно малом е, но растущем п стремится к Ьп-Двадцатимерный арбуз радиуса 20 см с толщиной корки 1 см чуть не на две трети состоит из корки:

Это обстоятельство играет большую роль в статистической механике. Рассмотрим, например, простейшую модель газа в резервуаре, состоящего из п атомов, которые будем считать материальными точками массы 2 (в подходящей системе единиц). Представим мгновенное состояние газа п трехмерными векторами

{vi, Vn) скоростей всех молекул в физическом евклидовом пространстве, т. е. точкой Зп-мерного координатного пространства R . Квадрат длины векторов в R имеет прямой физический смысл энергии системы (суммы кинетических энергий атомов):

Для макроскопического объема газа в нормальных условиях порядок п есть 102 (число Авогадро), так что состояние rasa описывается точкой на сфере огромной размерности, радиус которой есть корень квадратный из энергии.

Пусть два таких резервуара соединены так, что они могут обмениваться энергией, но не атомами, и сумма их энергий Еу -\-j-E2 = E остается постоянной. Тогда энергии f, и Е2 большую часть времени будут близки к таким, которые максимизируют объем пространства состояний , доступный объединенной системе, т. е. произведение

vol B(£p)vol fi(f)

(мы заменили площади сфер объемами шаров, что буквально не верно, но почти не влияет на результат). Так как с ростом Ei и убыванием Е2 (Е, -(- = const) первый объем невероятно быстро растет, а второй убывает, имеется резкий пик этого произведения при некоторых значениях Ей Е2, отвечающий наиболее вероятному состоянию объединенной системы. Очевидно, это происходит там,где

log vol , в (Ef) = log vol- B(£f).

Обратные к этим величинам суть (с точностью до пропорциональности) температуры резервуаров, и наиболее вероятное состояние отвечает равенству температур.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что угол Ф наклона прямой в плоскости R, проходящей из начала координат в среднеквадратичном как можно ближе к т заданным точкам (at, 6,), i - 1, ..., m, определяется формулой

(Указание. Найти наилучшее приближенное решение> системы уравнений

й,х = bt.)

2. Пусть Рп(х)-п-й многочлен Лежандра. Доказать, что старший коэффи-

2 (п\у

циент многочлена п (х) - -- Рп {х) равен единице и что минимум интеграла 1(и)= u(xYdx на множестве многочленов ы(ж) степени п со старшим -1

коэффициентом 1 достигается при и = ыя. (Указание. Разложить и по многочленам Лежаидра степени </г.)

3. Пусть (S, fi) - пара, состоящая из конечного множества S и вещественной функции 5 R, удовлетворяющей двум условиям: \i(s) О для всех saS и У р. 1. Рассмотрим иа пространстве вещественных функций/(S)

на S (со значениями в R) линейный функционал Е: F(S) -*R:

Обозначим через fo(S) ядро Е.

(S, ц) называется конечным вероятностным Пространством, элементы F(S)- случайными величинами на нем, элементы fo (5) - нормированными случайными величинами, число £(/)-математическим ожиданием величины /. Случайные величины образуют кольцо относительно обычного умножения функций.

Доказать следующие факты.

а) F(S) и Fo(S) имеют структуру ортогонального пространства с квадратор! дливы вектора /, равным £(/). Пространство F(S) евклидово тогда и только тогда, когда n(s) > О для всех s е 5.

б) Для любых случайных величин f,g е F(S) и с, 6 eR положим

Р(/ = а)= Е P(f=:gb) У l(s)

( вероятности того, что / принимает значение а или / == в и => fc одновременно ). Назовем две случайные величины независимыми, если

P{f==a; g=b)=P(f==a)P(g=b)

при всех а, 6 s R. Доказать, что если нормированные случайные величины /,gefo(S) независимы, то они ортогональны.

Построить пример, показывающий, что обратное неверно.

Скалярное произведение величин f,gsFo(S) называется их ковариацией, а косинус угла между ними - коэффициентом корреляции.

§ 6, Унитарные пространства

1. Определение. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство L с эрмитовым положительно определенным скалярным произведением.

Как в § 5, мы будем писать (1,т) вместо g{l,m) и / вместо (/, ly. Ниже мы убедимся, что / является нормой на L в смысле § 10 ч. 1. Унитарные пространства, полные относительно этой нормы, называются также гильбертовыми. В частности, конечномерные унитарные пространства гильбертовы.

Из результатов, доказанных в § 3-4, следует, что:

а) всякое конечномерное унитарное пространство имеет ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1;

б) поэтому оно изоморфно координатному унитарному пространству С (п = dim L) со скалярным произведением

{х, у) = £ Xiyi, I дг I = (Е \Xifj

Ряд свойств унитарных пространств близок к свойствам евклидовых, главным образом по следующей причине: если L - конечномерное унитарное пространство, то на его овеществлении Lr имеется (единственная) структура евклидова пространства, в которой норма / вектора та же, что и в L. Существование видно из предыдущего абзаца: если {еь е„}-ортонормированный базис L, а {ei,ie\, ег,/ег, е^, te }-соответствующий базис Lr, то

Е х,е, [ = Е \x,f Е ((Re x,f -f (Im x,f), и выражение справа есть евклидов квадрат нормы вектора

п п

Е Re лГуС/-f-Е дгу (шу) в ортонормированном базисе {е/,/е,}.

Единственность следует из п. 9 § 3.

Однако скалярные произведения в унитарном пространстве L и евклидовом Lr не совпадают: второе принимает только вещественные значения, а первое - комплексные. На самом деле, эрмитово скалярное произведение на комплексном пространстве приводит не только к ортогональной, но и к симплектической структуре на Lr с помощью следующей конструкции.

Временно мы возвращаемся к обозначению g{l,m) для эрмитова скалярного произведения на L и положим

а{1, т) = Regit, т),

b [1, m) = \mg (I, т).

Тогда имеют место следующие факты:

2. Предложение, а) а{1,т) -симметричное, а b(1, т) - антисимметричное скалярное произведение на Ьц \ оба они инвариантны относительно умножения на i, т. е. канонической комплексной структуры на Lj:

а(й, im) = a{l, т), b(il, im)= b(t, т);

б) а и b связаны следующими соотношениями:

а (/, т) = Ь (it, т), Ь{1, т) = - а {it, т);

в) любая пара связанных Соотношениями б) 1-инвариантных форм а, Ь на Lr, первая из которых симметрична, а вторая антисимметрична, определяет эрмитово скалярное произведение на L по формуле

g (1,т) = а (/, т) + ib (/, т);

г) форма g положительно определена тогда и только тогда, когда форма а положительно определена.

Доказательство. Условие эрмитовой симметрии g(hm)== = g{m, l) равносильно тому, что

а (I, т) + ib (/, т) = а (т, I) - ib (т, /),

т. е. симметрии а и антисимметрии Ь. Условие g{il,im) - = lig{l, т) = g{l, т) равносильно /-инвариантности а и fc. Условие С-линейности g по первому аргументу означает R-линейность и линейность относительно умножения на i, т. е.

а (il, т) + ib (11, m) = g (it, т) = ig (l, m) = - b (I, m) + ia (I, m),

откуда следуют соотношения б) и утверждение в). Наконец, g(l,l)= а(1,1) в силу антисимметрии Ь, откуда следует г).

3. Следствие. В прежних обозначениях, если g положительно определена и {ей е„}-ортонормированный базис для g, то {ei, ..., вп, iei, .... ien} является ортонормированным базисом для а и симплектическим для Ь.

Наоборот, если L - 2п-мерное веш,ественное пространство с евклидовой формой а и симплектической Ь, а также базисом {е\, вп, вп+и бгп}, ортонормированным для а и симплектическим для Ь, то, введя на L комплексную структуру с помощью оператора

Hei) = en+i, 1</<п; J(e,) = - e,n, n-l-l</<2n,

и скалярное произведение g(l, т)=а(1, т)-\- ib(l, т), мы получим комплексное пространство с положительно определенной эрмитовой формой, для которого {е\, е„} является ортонормированным базисом над С.

Доказательство получается простой проверкой с помощью предложения п. 2, и мы оставляем его читателю.

Вернемся теперь к унитарным пространствам L. Комплексное неравенство Коши - Буняковского - Шварца имеет следующий вид:

4. Предложение. Для любых h, /г е L

/2)P<i/iPl/2p.

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы lu k пропорциональны.

Доказательство. Как в п. 2 § 5, для любых вещественных / имеем

U/i + /2p = /l/iP + 2/Re(/b /2) + /2р>0.

Случай /1 = 0 тривиален Считая, что li ф О, выводим отсюда, что

hf\h\

(Re(/ k)f<.\hf\kf-

Но если (/i,/2) = (/b/2)leP, ф g R, то Re(e- PZ /2) = ! (Zi,/г) . Поэтому

Строгое равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда I/oe~iZi +/21 = О для подходящего <oR. что завершает доказательство.

В точности так же, как в евклидовом случае, отсюда выводятся следствия:

5. Следствие (неравенство треугольника). Цля любых U, k, h е е L

\h+k\<\h\+\hi \h~k\<\lx-k\ + \h-h\-

6. Следствие. Унитарная длина вектора \1\ является нормой на L в смысле определения в п. 4 § 10 ч. 1.

(Здесь несколько изменяется проверка свойства а/ = а|/:

\al\ = (al, alf = {аа (I, /)) = I а 11 / .)

7. Углы. Пусть ll, ке L - ненулевые векторы. В силу предложения п. 4

I Ни h)

/. 11/2

<1.

Поэтому существует единственный угол ф, О ф л/2, для которого

Однако в важнейших естественнонаучных моделях, использующи:-:

унитарные пространства, эта же величина (точнее, ее

квадрат) интерпретируется не как косинус угла, а как вероятность. Опишем вкратце постулаты квантовой механики, включающие такую трактовку.

8. Пространство состояний квантовой системы. В квантовой механике постулируется, что с такими физическими системами, как электрон, атом водорода и т. п., можно связать (неоднозначно!) математическую модель, состоящую из следующих данных.

а) Унитарное пространство Ж, называемое пространством состояний системы. Такие пространства, рассматриваемые в стандартных учебниках, но большей части являются бесконечномерными гильбертовыми пространствами, которые реализуются как пространства функций на моделях физического пространства или пространства-времени. Конечномерные пространства Ж

гзозникают, грубо говоря, как пространства внутренних степеней свободы системы, если она рассматривается как локализованная нли если ее движением в физическом пространстве можно так или иначе пренебречь. Таково двумерное унитарное пространство спиновых состояний электрона, к которому мы еще вернемся.

б) Лучи, т. е. одномерные комплексные подпространства в <Ж, называются (чистыми) состояниями системы.

Вся информация о состоянии системы в фиксированный момент времени определяется заданием луча L Ж или ненулевого вектора ф G L, который называется иногда р-функцией, отвечающей этому состоянию, или вектором состояния.

Фундаментальный постулат о том, что ф-функции образуют комплексное линейное пространство, называется принципом супер-

п

позиции, а линейная комбинация z a,j, а, е С, описывает

суперпозицию состояний фь Ф'г- Заметим, что, поскольку физический смысл имеют только лучи Сг) а не сами векторы ф коэффициентам а/ также нельзя приписать однозначно определенного смысла. Однако, если выбирать % нормированными, i5,2=r

и линейно независимыми, а также нормировать z /Ф/> то произ-

вол в выборе вектора ф, в своем луче сводится к умножениям на числа е'<Р/, которые называются фазовыми множителями; таков же будет произвол в выборе коэффициентов а которые мы сможем тогда сделать вещественными и неотрицательными, что вместе

с условием нормировки

= 1 позволяет определить их

однозначно.

Сильно идеализированные предположения о связи этой схемы с реальностью состоят в том, что у нас имеются физические при боры ( печки ), способные приготовлять много экземпляров нашей системы в мгновенных состояниях г)) (точнее, Cii) для различных ф G 5. Сверх того, имеются физические приборы By ( фильтры ), на вход которых подаются системрл в состоянии яр, на выходе обнаруживаются они же в некотором (возможно, другом) состоянии X, или же не обнаруживается ничего (система не проходит через фильтр В ).

Второй основной (после принципа суперпозиции) постулат квантовой механики состоит в том, что:

система, приготовленная в состоянии я]- е 3, может быть сразу же после этого обнаружена в состоянии с вероятностью

В дальнейшем, по мере вве.тения дополнительных геометрических понятий, мы уточним математическое описание печек и фильтров . Сверх того, мы объясним, что произойдет, если приготовленную в состоянии г)) систему ввести в фильтр не сразу, а

по истечении времени t: оказывается, что в промежутке состояние г];, а вместе с ним и скалярное произведение (ф, %) будет меняться, и это изменение также прекрасно описывается в терминах линейной алгебры.

Если X нормированы, го указанная выше вероятность равна !(1>Х)Р> 3 само скалярное произведение являющееся

комплексным числом, называется амплитудой вероятности (перехода от 15 к х)- Заметим, что физики вслед за Дираком обычно рассматривают скалярные произведения, антилинейные по первому аргументу, и записывают наше (г|), х) в виде <х|>, так что начальное и конечное состояние системы расположены справа налево. Скобки < > по английски называются bracket . Соответственно, Дирак называет символ кет-вектором , а символ <Сх - соответствующим бра-вектором . С математической точки зрения, есть элемент Ж, а <:\ - соответствующий ему элемент пространства антилинейных функционалов г*, и <х|Ф> есть значение х на

Если , X ортогональны, т. е. (>,%) = 0, то систему, приготовленную в состоянии ih, нельзя будет (сразу же после приготовления) обнаружить в состоянии х, т. е. она пе пройдет через фильтр (наоборо,т, через фильтр она пройдет с достоверностью). Во всех остальных случаях некулевая вероятность перехода от f к X имеется.

Элементы любого ортонормированного базиса .....\)з„} образуют набор базисных состояний системы. Предположим, что у нас есть фильтры В,, .... В^. Многократно пропуская через них

п

системы, приготовленные в состоянии Il = Е ajij) О 1

(вектор считается нормированным), мы обнаружим с вероятностью dj. Таким образом, коэффициенты этой линейной комбинации могут быть измерены экспериментально, однако в принципиально статистическом опыте. Это одна из причин, по которым квантовомеханические измерения требуют обработки большого статистического материала. Впрочем, часто системы в состоянии г|) идут в фильтр потоком и на выходе вероятности а^ получаются в виде интенсивностей, чего-то вроде спектральных линий ; эти интенсивности сами по себе уже являются результатом статистического усреднения. В дальнейшем мы уточним связь этой схемы с теорией спектров линейных операторов.

9. Правила Фейнмана. Пусть в Ж выбран ортонормированный базис ilJn}- Для любого вектора состояния f е5 имеем

п

Ф - X

п

(Ф. Х)= 1(% 1р.)(%. X). i-l

Аналогично, ;)==Е(Ф' Фг): полставляя эту формулу

в предыдущую, получим

п

И вообще для любого т 1

п

(Ф, X) =. Е (Ф, bi) (S(ii, b.) X).

Эти простые формулы линейной алгебры можно интерпретировать, по Фейнману, как законы комплексной теории вероятностей , относящиеся к амплитудам вместо вероятностей. Именно, будем рассматривать последовательности типа i, ф , %)

как классические траектории системы, последовательно пробегающей состояния в скобках, а число (ф, Ф<,)(Фг,. (Ф<, х) - как амплитуду вероятности перехода из ф в х вдоль соответствующей классической траектории. Эта амплитуда является произведением амплитуд переходов вдоль последовательных отрезков траектории.

Тогда приведенная выше формула для (ф, х) означает, что эта амплитуда перехода есть сумма амплитуд перехода от яз к х всевозможным классическим траекториям ( одинаковой длины ).

Бесконечномерный и более рафинированный вариант этого замечания, в котором основную роль играют пространственно-временные (или энергетически-импульсные) наблюдаемые, Р. Фейн-ман положил в основу своей полуэвристической техники выражения амплитуд через континуальные интегралы по классическим траекториям . Пространство траекторий является бесконечномерным функциональным пространством, и математикам до сих пор не удалось построить общую теорию, в которой были бы оправданы все замечательные вычисления физиков.

10. Расстояния. Расстояние между подмножествами в унитарном пространстве L можно определить точно так же, как в евклидовом:

d(U, l/) = inf{/,-/2l/,et/, kV).

Расстояние от вектора / до подпространства Lo также равно длине ортогональной проекции / на Lq- Доказательство ничем не

отличается от евклидова случая. В частности, если {ei.....6} -

ортонормированный базис Lo, то

d{l, Lo) =

как в евклидовом случае, и

{/, ei)ei

= El(. ei)f<\lf

no теореме Пифагора. 1за

11. приложение к пространствам функций. Как в § 5 и 4, мы

можем вывести неравенства для комплекснозначных функций:

b ь

f(x)g(x)dx K\\f(x)?dx\\g(X)Рdx.

(г

llWP

\f{x) + g(x)fdx

!Шйх

а ч1/2

а также для их коэффициентов Фурье. Рассматривая функции на отрезке [0,2я] и полагая

получаем, что в пространстве со скалярным произведением

2л

f{x)g{x)dx сумма

n~-N

является ортогональной проекцией / на пространство многочленов Фурье степени Л^ и минимизирует среднеквадратичное отклонение / от этого пространства. В частности,

п--N О

так что ряд Е а„Р сходится.

§ 7. Ортогональные и унитарные операторы

1. Пусть L - линейное пространство со скалярным произведением g. Множество всех изометрий /: L-L, т. е. обратимых линейных операторов с условием

g{f{h), fih)) = gilu к)

для всех h, L, очевидно, образует группу. Если L - евклидово пространство, такие операторы называются ортогональными, а если L унитарно, то унитарными. Симплектические изометрий будут рассмотрены позже.

2. Предложение. Пусть L - конечномерное линейное пространство с невырожденным скалярным произведением ( , ), симметричным или эрмитовым. Для того чтобы оператор f: L-L был

изометрией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий:

(/(О. /()) = (. О - в'х L (здесь предполагается, что характеристика поля скаляров отлична от двух);

б) пусть {ei, вп}-базис в L с матрицей Грама G, А - матрица оператора f в этом базисе. Тогда

AGAG,. или AGA = G;

в) / переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис;

г) если сигнатура скалярного произведения равна (р, q), то матрица оператора f в любом ортонормированном базисе {ей ...

вр, бр+ь .... бр+р} с (ei, при ip и (ei, ei) = -l

при р + 1 г р + <7 удовлетворяет условию

или

в симметричном и эрмитовом случае соответственно.

Доказательство, а) В симметричном случае это утверждение следует из н. 9 § 3: если f сохраняет квадратичную форму {I, I) = , то / сохраняет и ее поляризацию

(/. m) = [q(l + m)-q(l)-q(m)].

В эрмитовом случае имеем аналогично

Re (1,-т) \[q(l + m)-q(l)-q (т)]

и предложение п. 2 § 6 показывает, что (i, т) однозначно восстанавливается по Re(/, т) по формуле

(/, т) = Re (/, т) - i Re ( . m)

и потому \ сохраняет (/, т).

б) Если f - изометрии, то матрицы Грама базисов {ei, е„} и {f(ei), f(en)) совпадают. Но последняя матрица Грама равна АЮА в симметричном в AGA в эрмитовом случае. Наоборот, если I переводит базис (е ..., е„} в {е\, .. , eJ и матрицы Грама базисов (eJ и (е'.} совпадают, то f - изометрия в силу формул координатной записи скалярного произведения из п. 2 § 2.

в), г). Эти утверждения являются частными случаями предыдущих.

Из предложения п. 2 следует, что ортогональные (соответственно унитарные) операторы - это операторы, которые в одн м (и потому в любом) ортонормированном базисе задаются ортого-