Фурье) называются конечные линейные комбинации функций cosnx, smnx ИЛИ конечные линейные комбинации функций е' п е Z. Обычно первые применяются в теории вещественнозначных функций, а вторые -комплекснозначных. Поскольку 6 *= = cos пхisin пх, над С оба пространства многочленов Фурье совпадают. Над R используется билинейная метрика, над С - полуторалинейная. Функции {1, cos пх, sin пх\п 1} и {e \neZ} линейно независимы (как над R, так и над С). Кроме того, они образуют ортогональную систему, как следует из легко проверяемых формул:

2л 2я ,

при т---п>0, при тф п,

cos тх sin nxdx = 0

2л при т==п.

2л 2я .

COS тх cos nxdx= sin тх sin пд: dx =

при тфп. Системы

поэтому ортонормированы. Скалярные произведения любой функции / на [0,2л] с элементами этих ортонормированных систем называются коэффициентами Фурье этой функций:

2л

Л/ VTT.

о

\f(x)dx.

а„ =fix) cosnx dx, nl,

b=-fL=-\ f{x) sinnxdx, n>I,

для вещественных функций / и

для комплексных функций. Если сама функция f является многочленом Фурье, то по формуле разложения из п. 6 § 3 имеем

для вещественных функций f и

для комплексньгх функций f. Суммы справа, разумеется, конечны в рассматриваемом случае. Бесконечные ряды такой структуры называются рядами Фурье. Вопрос об их сходимости вообще и сходимости к той функции f, коэффициентами Фурье которой являются а , Ьп, в частности, исследуется в одной из важнейших глав анализа.

7. Многочлены Лежандра. Здесь 0 = 1, {а,Ь)==(- I, I). Многочлены Лежандра Ро{х), Pi(x), Р2{х), ... определяются как результат процесса ортогонализации, примененного к базису {1,х,х^, ...,} пространства вещественных многочленов. Обычно они нормируются условием Р„(1)= 1. В такой нормировке их явный вид дается следующим результатом:

8. Предложение. РоW = I, Р„(л:) = -j{х^-\у, > 1. Доказательство. Так как степень многочлена [х^-1)

равна 2п, степень -зyг( ~ 1) равна п, так что Pi.....Р,- порождают то же пространство над R, что и \, х, х'. Поэтому для проверки ортогональности Р,-, Р,-, i ф j, достаточно убедиться, что

J xP (x)cfx = 0 при k<n. -1

Интегрируя по частям, получим

\ x-ix-lTdx -1

k 5 x--ix-irdx. -1

Первое слагаемое обращается в нуль, ибо (х^-1) в точках ±1 имеет корень кратности п, а каждое дифференцирование снижает кратность корня на единицу. Ко второму слагаемому можно применить аналогичную процедуру; после k шагов получится интеграл, пропорциональный

Далее, по формуле Лейбница

в точке л: = 1 не обращается в нуль только слагаемое, отвечающее k = n, так что

.=.= 24! I- I-2 =I.

ЧТО завершает доказательство.

9. Многочлены Чебышева. G= ,-L==r, (а, 6) = (- 1, 1). Мно-

гочлены Т„{х), п^О, суть результат ортогонализации базиса {1,х,х^, ...}. Явные формулы:

пМ = =ЩГ- -jprii - хУЧ' = cos (п arc cos х).

Нормировка:

1 С О при тфп,

[bLSM = \nl2 при т = пФО,

при m = n = 0.

10. Многочлены Эрмита. 0 = 6 , (а,6) = (-оо, оо). Многочлены Я„(л;) суть результат ортогонализации базиса {1,х,х^, ...}. Явные формулы:

НАх)==(-1Ге-~г{е--).

Нормировка:

f ( О при тфп,

\ e-H (x)HJx)dx = \ ,

jJ (.2 /г1л/л при т = п.

Мы оставляем доказательства читателю в качестве упражнения.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что эрмитова ти ортогональная форма g неотрицательно определена, т. е. g (/, /) О для всех I fe L, тогда и только тогда, когда все диагональные миноры ее матрицы Грама неотрицательны.

2. Доказать утверждения п. 9 и 10 Ьтого параграфа.

§ 5. Евклидовы пространства

1. Определение. Евклидовым пространством называется конечномерное вещественное линейное пространство L с симметричным положительно определенным скалярным произведением.

Мы будем писать {1,т) вместо g{l,m) и \1\ вместо (/,/)/; число /[ будем называть длиной вектора /.

Из результатов, доказанных в § 3-4, следует, что:

а) во всяком евклидовом пространстве есть ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину I;

б) поэтому оно изометрично координатному евклидову пространству R (п == dim L), в котором

Ключом КО многим свойствам евклидова пространства является многократно переоткрывавшееся неравенство Коши - Буняков-ского - Шварца:

2. Предложение. Для любых h, L имеем

Ни У</.1/2-

Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы 1\, k линейно зависимы.

Доказательство. В случае li - O имеет место раве1Ство и и, 1ч линейно зависимы. Будем считать, что 1\ ф 0. Для любого вещественного числа / имеем

1 1 + /2 F = ( 1 + 1ъ ih + /2) = I /, Р + 2/ (/ у + I /2 Г > О

в силу положительной определенности скалярного произведения. Поэтому дискриминант квадратного трехчлена справа неположителен, т. е.

ih, /2f-UiPI4P<o.

Он равен нулю тогда и только тогда, когда этот трехчлен имеет вещественный корень to- В этом случае

ио/1 + /2р = 0/2 = -Уь

что завершает доказательство.

3. Следствие (неравенство треугольника). Для любых h, k, hL

I/. + /2KI/1I + I/2I, \h-h\<\ll-k\-\l2~k\-

Доказательство. Имеем /. + 2р = /.Р + 2(/ k) + \k?<,\h?-2\h\\k\-V\kf-

={\h\+\k\f-

Заменив здесь h на h - к и h на h - к, получим второе неравенство.

4. Следствие. Евклидова длина вектора \1\ является нор.ной на L в с.чысле определения е п. 4 § 10 ч. \, а функция d{U m) = = / - т\ - .метрикой в смысле определения п. 1 там же.

Доказательство. Остается проверить только, что [а/ = = I а j I / для всех а g R, ио

\al\ = {al, aiy- = ( 21 / р)/ = а 11 / .

5. Углы и расстояния. Пусть 1], - ненулевые векторы.

В силу предложения п. 2

-<<-

Поэтому существует единственный угол ф, О ф к, для ко го-рого

/,/2

Он называется углом между векторами h, к. Поскольку скалярное произведение симметрично, это неориентированный угол , чем и объясняется интервал его значений. В соответствии со щкольной геометрией угол между ортогональными векторами равен зх/2. Можно систематически развить евклидову геометрию на основе данных определений длины и угла и убедиться, что в размерностях два и три она совпадает с классической.

Например, многомерная теорема Пифагора есть тривиальное следствие определений: если векторы h, In попарно ортогональны, то

Обычная формула косинусов в геометрии плоскости, примененная к треугольнику со сторонами h, k, h, утверждает, что

/зР = и.Р + и2р-2/, Г/21С05ф,

где ф -угол между h и к. В векторном варианте k = h~k, и эта формула превращается в тождество

/.-/2p = IAP + U2p-2(/ /2)

в соответствии с нашим определением угла.

Пусть и, VcL - два множества в евклидовом пространстве. Расстоянием между ними называется неотрицательное число

d{U, V)==ml{\h-k\\liSU, kV}.

Рассмотрим частный случай: U = {1} (один вектор), V = LoCiL - линейное подпространство. В силу предложения п. 2 § 3 имеем L = Lo®Lo и l = lo + lo, где /osLo, й^Ь-з. Векторы 1, й суть ортогональные проекции I на Lo, Lo соответственно.

6. Предложение. Расстояние от I до Lo равно длине ортогональной проекции I на Lif.

Доказательство. Для любого вектора mLo имеем

\l-mf = \lo-{-k-mf = \lo-mf+\lof

в силу теоремы Пифагора, ибо векторы Iq - те Lq и /о е Lo ортогональны. Следовательно,

т

и равенство достигается только в случае т = /о, что доказывает требуемое.

Если в Lo выбран ортонормированный базис {ei, вщ}, то проекция / на Lq определяется формулой

т

Действительно, левая и правая части имеют одинаковые скалярные произведения со всеми et, поэтому их разность лежит в L, Окончательно,

т

d{l. Lo) =

есть наименьшее значение / - т\, когда т пробегает Lq.Поскольку /о| Ul по той же теореме Пифагора, имеем

т

7. Приложения к пространствам функций. Рассмотрим в качестве примера пространство непрерывных вещественных функций на [а, &]cz R со скалярным произведением

ь

{f,g)=\fgdx. ,

Оно бесконечномерно, но все наши неравенства будут относиться

к конечному числу таких функций, так что каждый раз можно

будет считать, что мы работаем в конечномерном евклидовом про-ь ь

странстве: f{x)dx0 и если f{x)dx - 0, то /(x) = 0.

а а

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца приобретает вид \f{x)g {х) rf.v ] < 5 / {xf dx \ g {xf dx.

a a a

Неравенство треугольника:

Сь \l/2 / Ь \ 1/2 / Ъ \ 1/2

\{\(A-gmdx <\\J{xfdx Л-\\g{xf dx .

Если (а,Ь) = (0,2зх) и а,-, - коэффициенты Фурье функции f{x), как в п. 6 § 4, то многочлен Фурье

vfc °

12.0

является ортогональной проекцией f{x) на линейную оболочку (1, cosnx, sinnx I 72 yV). Поэтому коэффициенты Фурье f{x) при каждом минимизируют среднеквадратичное отклонение f{x) от многочленов Фурье степени :Л/. Неравенство /лгЛ^ приобретает вид

al+Y,{ai + bb<\f{xfdx. (~\ о

Поскольку правая часть не зависит от N, а а,-, О, ряд

сходится для любой непрерывной функции f{x) на [О, 2я]. Можно

доказать, что он сходится в точности к f {xf dx.

о

Совершенно аналогичные соображения применимы к многочленам Лежандра, Чебышева и Эрмита. Мы оставляем их в качестве упражнения читателю.

8. Метод наименьших квадратов. Рассмотрим систему т линейных уравнений для п неизвестных с вещественными коэффициентами

п

y\ciiiXi = b[, i=i, т. ,-1

Предположим, что эта система переопределена , т. е. m > п и ранг матрицы коэффициентов равен п. Тогда она, вообще говоря, не имеет решений. Но можно попробовать найти такие значения неизвестных х°, .... чтобы суммарное среднеквадратичное отклонение левых частей от правых

т / п \i

принимало наименьшее возможное значение. Эта задача имеет существенные практические приложения. Например, при геодезических работах местность разбивается на сеть треугольников, некоторые элементы которых измеряются, а другие вычисляются по формулам тригонометрии. Поскольку все измерения приближенные, рекомендуется сделать их больше, чем строго необходимо для вычисления остальных элементов, но по той же причине тогда уравнения для этих элементов почти наверняка окажутся несовместными. Метод наименьших квадратов позволяет получить приближенное решение , более надежное из-за большего количества вложенной в систему информации.

Покажем, что наша задача может быть решена с использованием результатов п. 7. Интерпретируем столбцы матрицы коэффи-

циентов е,- = (ац, ami) и столбец свободных членов f = bm) как векторы координатного евклидова пространства R со стандартным скалярным произведением. Положив

е = 2. х,е„ =1

получим,что

т / п ч2 п

Z Е o.i\Xi - bi = Z ~

Поэтому минимум среднеквадратичного отклонения достигается

п

тогда, когда Z xfii является ортогональной проекцией / на подпространство, натянутое на е,-. Это означает, что коэффициенты л: должны находиться из системы п уравнений с п неизвестными

(Z £/) == (/. е,). / = 1, ..п,

так называемой нормальной системы . Ее определитель есть определитель матрицы Грама ((е,-, е/)), где

Он отличен от нуля, ибо предполагалось, что ранг исходной системы, т. е. системы векторов (е,), равен п (см. упражнение 5 к § 2). Поэтому решение существует и единственно.

Вернемся теперь к теме измерения в евклидовом пространстве .

9. п-мерный объем. На одномерном евклидовом пространстве простейшим фигурам - отрезкам и их конечным объединениям - можно поставить в соответствие длины и суммы длин. На евклидовой плоскости школьная геометрия учит измерять площади таких фигур, как прямоугольники, треугольники и, с некоторым трудом, круги. Обобщение этих понятий дает глубокая общая теория меры, естественное место которой не здесь. Мы ограничимся списком основных свойств и элементарными вычислениями, связанными со специальной мерой фигур в п-мерном евклидовом пространстве- их п-мерным объемом.

п-мерный объем есть функция vol , определенная на некоторых подмножествах п-мерного евклидова пространства L, называемых из.черимыми, и принимающая неотрицательные вещественные значения или ОО (на ограниченных измеримых множествах - только конечные значения). Совокупность измеримых множеств достаточно богата. Мы просто постулируем следующий список свойств vol и измеримость фигурирующих в них множеств, не доказывая существование функции с такими свойствами и не указывая естественную область ее определения.

а) Функция vol счетно аддитивна, т. е.

/ оо \ оо

vol ( U t/ij=E,vol > если Ui[\Uf = 0 при 1Ф j;

vol (точка)=0; vol (отрезок)= длина отрезка. Отрезок в одномерном евклидовом пространстве есть множество векторов вида 1 -f (1 - t)t2, Otl; его длина есть /i - /2.

б) Если UsV,ro vol и < vol V.

в) Если L = Ll ф 1,2 (ортогональная прямая сумма), dim Ll = т, dim L2 = п, U сг U, V cz L2, то для WXV = = {(/i, /2) /i eU, he V}eLi e L2 имеем

vor+ {UXV) = vor и vol V.

r) Если /: L-L - произвольный линейный оператор, то vol (/ {U)) = I det/ I vol U, n= dim L.

Свойства, a), 6) едва ли нуждаются в комментариях. Свойство в) является сильным обобщением формулы площади прямоугольника (произведение длин сторон) или объема прямого цилиндра (произведение площади основания на длину образующей). Заметим, что из свойства в) вытекает, что (т-f п)-мерный объем ограниченного множества W в L, лежащего в подпространстве Li размерности т<.т-п, равен нулю. Действительно, тогда L = ==L,©L/- и ir/=l/X{0}, наконец, vol ({0}) = 0 при п>0 в силу а) ив).

Смысл свойства г) менее очевиден. Оно является основным вкладом линейной алгебры в теорию евклидовых объемов и служит причиной появления якобианов в формализме многомерного интегрирования. Возможно, наиболее интуитивное объяснение его состоит в замечании, что оператор растяжения в aeR раз вдоль одного из векторов ортогонального базиса должен умножать объемы на \а\ в силу свойств а) ив). Но любой ненулевой вектор можно дополнить до ортогонального базиса, поэтому диагонализируемый оператор / с собственными значениями а\, OnR должен умножать объемы на ai ... a =:det/. Наконец, изометрий должны сохранять объемы, и, как мы убедимся позже, любой оператор есть композиция диагонализируемого и изометрий (см. § 8, упражнение 11).

Теперь, пользуясь этими аксиомами, приведем список объемов простейших и наиболее важных и-мерных фигур.

10. Единичный куб. Это множество {ei + ... -f <пеп|0г^1}, где {ей еп) - некоторый ортонормированный базис L. Из свойств а) и в) из п. 9 сразу следует, что его объем равен единице.

Куб со стороной а > О получится, если разрешить пробегать значения О f,- а. Так какой является образом единичного куба относительно гомотетии - умножения на а, - его объем равен а .

И. Параллелепипед со сторонами {/i, / }. Это множество {t\h-\- ... + tnL\Gti \). Мы покажем, что его объем равен

VI detG I, где О =((/ , ))-матрица Грама сторон. В самом деле, если {li, / } линейно зависимы, то соответствующий параллелепипед лежит в подпространстве размерности <dimL и его п-мерный объем равен нулю по замечанию в п. 9. В то же время матрица G вырождена.

Поэтому остается разобрать случай, когда {/i, ..., / } линейно независимы. Пусть {ei, е„}-ортонормированный базис в L, а f - линейное отображение L-*-L, переводящее е, в /,-, /==1, ... п. Если А - матрица этого отображения в базисе {е,}:

ih, / ) = (е„ .... вп)А,

то матрица Грама {h} равна А*А, ибо матрица Грама {е,} единичная. Следовательно,

Vl det GI = л/\ШЩА)\ = I det л .

С другой стороны, detЛ|==detf, и / переводит единичный куб в наш параллелепипед. В силу свойства г) из п. 9 объем параллелепипеда равен det/, что завершает доказательство. 12. п-мерный шар радиуса г. Это множество векторов

ВЧг)=={1\ \1\<г}.

или, в ортогональных координатах.

Так как В (г) получается из В (1) растяжением в г раз, имеем vol В (г) = vol В (1) г .

Константа vol B (l) = & может быть вычислена лишь аналитическими средствами. Рассекая (п+ Г)-мерный шар п-мерными линейными подмногообразиями, ортогональными к некоторому направлению, получим индуктивную формулу

О

Разумеется, &i =2, bn, 63==л.

13. n-мерный эллипсоид с полуосями Ги г„. Он задается в ортогональных координатах уравнениями

<1.

Поскольку он получается из В (1) растяжениями в ri раз вдоль t-й полуоси, его объем равен ЬпГх ... Гп.

14. Одно свойство п-мерного объема. Оно состоит в том, что при очень больших п объем п-мерной фигуры сосредоточен