(го, r+, Г-), которая не зависит от выбора ортогонального разложения (это утверждение называется теоремой инерции).

Доказательство, а) Пусть (L,g)-симплектическое пространство или ортогональное пространство над С. Рассмотрим его

п

прямое разложение L = Li, как в теореме п. 3, и покажем,

что Го совпадает с числом одномерных пространств в этом разложении, вырожденных для g. На самом деле сумма этих пространств Lo совпадает с ядром g. Действительно, очевидно, что она содержится в этом ядре, ибо элементы Lo ортогональны как к Lq, так

и к остальным слагаемым. С другой стороны, если Lq = Ш L,- и

п

I = h h 3/ > Го, I, ¥= О,

git, l,) = gilt, l,)¥=0 в ортогональном случае, и существует вектор Ij е L, с

g{i, ii)=g{i /;)=о

в симплектическом случае, ибо иначе ядро ограничения g на L,-было бы нетривиально, и g на L, была бы нулевой по п. 10 § 2, вопреки тому, что / > го- Поэтому / (ядро g), и Lo == (ядро g). Если теперь (L,g) и iL,g) - два таких пространства с одинаковыми п и Го, то, построив их ортогнальные прямые разложения

L = 0 L; и l = ф Li, для которых (ядро g) = ф L и (ядро g) = 1 (=1 (=1

= ф L;, МЫ можем определить изометрию (L, g) с (L, g-) как 1=1

прямую сумму изометрий фf,-, fi. Li-Li, которые существуют в силу результатов пп. 7 и 10 § 2.

б) Пусть теперь (L, g) и (L, g) - пара ортогональных пространств над R или эрмитовых над С с сигнатурами (го, /+, г-) и (о + ), определенными с помощью некоторых ортогональных

разложений L = фL, L = фLг, как в теореме п. 3. Предположим, что между ними существует изометрия. Тогда прежде всего dim L = dim L, так что -f .г^ +г = г'-{- г' + г' . Далее, точно так же, как в предыдущем пункте, проверяется, что го совпадает с размерностью ядра g, а fo - c размерностью ядра g, а эти ядра суть суммы нулевых пространств L,- и L в соответствующих разложениях. Поскольку изометрия определяет линейный изоморфизм между ядрами, имеем = и -f г = г' + г' . Остается проверить, что г^ = г', г =г'. Положим

L = Lu 0 L+ ф L-, l = Lo ф L+ ф L-, где Lo, L+, L - суммы

нулевых, положительных и отрицательных подпространств исходного разложения L, и соответственно для L. Предположим, что г+ = dim г' - dim L, и придем к противоречию; возможность < г' разбирается аналогично. Ограничим изометрию /: LL на L+czL. Каждый вектор однозначно представляется в виде суммы

/(/) = f(Oo + f(/)4- + f(/)-.

где f{l)..L\. и т. п. Отображение L+->L+, /н-линейно. Так как по предположению dim L+ > dim L+, существует ненулевой вектор lL+, для которого О, так что

f (О = f(/)o+/(/)-

Но g{l,l)>0, потому что и L+ есть ортогональная прямая

сумма положительных одномерных пространств. Так как / - изометрии, мы должны иметь также g(f(l), f(l))>0. С другой стороны,

g if (/). f (/)) gif (Do + f (0- , f(/)o + / (/)-) = g if (/)-. / (/)-) < 0.

Это противоречие завершает доказательство того, что у изомет-ричных пространств сигнатуры, вычисленные по любым ортогональным разложениям, одинаковы.

Наоборот, если {L,g), (L,g) - ma пространства с одинаковыми сигнатурами, то между подпространствами из их ортогональных разложений L==Li и L= Li можно установить взаимно однозначное соответствие Li Li, сохраняющее знак ограничения g яа Li и g на Li соответственно. По результатам пп. 7 и 8 § 2 существуют изометрии f j: Lj Li, и их прямая сумма будет изометрией между L и L.

Теперь мы выведем несколько следствий и переформулировок теорем пп. 3 и 5, которые подчеркивают разные аспекты ситуации.

6. Базисы. Пусть (L,g-)-пространство со скалярным произведением. Базис {ei, е„} в L называется ортогональным, если (е<, е/) - О для всех /. Из теоремы п. 5 следует, что у любого ортогонального или эрмитова пространства имеется ортогональный базис. Действительно, достаточно построить разложение L = ©L; на ортогональные одномерные подпространства и затем выбрать ei е Li, ei ф 0.

Ортогональный базис {е,} называется ортонормированным, если g(ei, е,) = 0 или ±1 для всех i. Обсуждение в конце § 2 показывает, что у любого ортогонального пространства над R или Сиу любого эрмитова пространства имеется ортонормированный базис. Теорема п.- 5 показывает, что числа элементов е ортонорми-рованного базиса с g(e,e) - О, 1 или -i ие зависят от базиса для J{!==R (ортогональный случай) и Ж = С (эрмитов случай). В ортогональном случае над С всегда можно добиться того, что

е,) = 0 или 1, и количества таких векторов в базисе не зависят от самого базиса. Матрица Грама ортонормированного базиса имеет вид

(при надлежащем упорядочении). Чаще всего понятие ортонормированного базиса применяют в невырожденном случае, когда векторов е,- с g(е,-, е,) == О нет. Следующая простая, но важная формула позволяет явно написать коэффициенты разложения любого вектора е е L по ортогональному базису (в невырожденном случае) :

L g (ei, ei) i-

Действительно, скалярные произведения левой и правой части со всеми е,- совпадают, а из невырожденности следует, что если g{e,ei) = g{e,ei) для всех i, то е = е', ибо е - е' лежит в ядре формы g.

В симплектическом пространстве ортогональный базис, очевидно, может существовать, только если g = 0. Теорема п. 3 обеспечивает, однако,существование симплектическогобазиса {еьбг, е/, вг+и бгг; бгг+ь е„}, который характеризуется тем,

что

gii, e+i) = - g{er+i, ei) = l, i=l, r,

a все остальные попарные скалярные произведения равны нулю. Действительно, следует разложить L в ортогональную прямую сумму двумерных невырожденных подпространств Ц, 1 i г, и одномерных вырожденных L/, 2г -f 1 / п, и в кач[естве {d, Cr+i} для 1 I г взять базис Li, построенный в п. 10 § 2, а в качестве е,- для 2г -f 1 / п взять любой ненулевой вектор из L/..

Матрица Грама симплектического базиса имеет вид

Ранг симплектической формы, по теореме п. 5, равен 2г. В частности, невырожденное симплектическое пространство обязательно четномерно.

Пусть L - невырожденное симплектическое пространство, {еь ..., Сг, Сг+и е2г} - симплектический базис в нем. Пусть Ll -линейная оболочка {ei,...,er}; L2 - линейная оболочка {ег+1.....егг}. Очевидно, пространства L\ и L2 изотропны, имеют

половинную размерность и Z, = Li0Z,2- Каноническое отображение g: L-L* определяет отображение

g,: L2->Ll; (Z) (/i) = g (/2. h)-

Это отображение является изоморфизмом, ибо dim L2 = dim Li = = dim L*i и Ker g, = 0: вектор из Ker gi ортогонален к L2, ибо L2 изотропно, и к Li по определению, а L невырождено.

Отсюда следус!, что любое невырожденное симплектическое пространство изометрично пространству вида L=L\® L\ с сим-плектической формой

giif, I), if, l)) = fil)-f{l); f, fsLl. /, Iu.

Дал^)не11шие подробности см. в § 12.

7. Матрицы. Описывая скалярные произведения их матрицами Грама и переходя от случайного базиса к ортогональному или симплектическому, мы в силу результатов п. 2 § 2 и п. 6 этого параграфа получаем следующие факты:

а) Всякую квадратную симметричную матрицу G над полем Ж можно привести к диагональному виду преобразованием Qt-AGA, где А невырождена. При Ж = R можно добиться, чтобы на диагонали стояли только О, ±1, а при J{f = С - только О, 1; количества О и ±1 (соответственно О и 1) будут зависеть лишь от G, но не от А.

б) Всякую квадратную антисимметричную матрицу G над полем Ж характеристики Ф2 можно привести преобразованием Gt-AGA, где А невырождена, к виду

Число 2г равно рангу G.

в) Всякую эрмитову матрицу G над С можно привести к диагональному виду с числами О, ±1 на диагонали преобразованием Q\-AGA, где А невырождена. Количества О и ±1 зависят .пишь от G.

8. Билинейные формы. Если векторы пространства (L, g) с фиксированным базисом записываются координатами в этом базисе, то выражение g через координаты является билинейной формой от 2п переменных, п = dim L:

g = {xi, ..., х„; Уи tJn)= ,L gifXiyj = X Gy,

где О - матрица Грама базиса. Замена базиса сводится к линейному преобразованию переменных Х\.....л: и у\, ..., уп с помощью одной и той же невырожденной матрицы А в билинейном

случае (или матрицы А для х, А для у в полуторалинейном слу-

чае). Предыдущие результаты означают, что в зависимости от свойств симметрии матрицы G форму можно привести таким преобразованием к одному из следующих видов, называемых каноническими.

Ортогональный случай над любым полем: sG, 1)= Е aiXitjt;

над полем R можно добиться того, чтобы а, = 0, ±1; над полем С - чтобы / = О или 1.

Эрмитов случай (форма полуторалинейная):

Qi = О или I.

Симплектический случай: п==2г-\-Го, и форма имеет вид g (х, V) = X {Xiyr+i - yiXr+t).

9. Квадратичные формы. Квадратичной формой q на пространстве L называется такое отображение q: Ь^Ж, для которого существует билинейная форма h: ЬУЬ-Ж со свойством

q{l) = h (1, I) для всех leL.

Покажем, что если характеристика поля Ж не равна 2, то для всякой квадратичной формы q существует единственная симметричная билинейная форма g со свойством (]{1) = g{l, I), называемая поляризацией q.

Для доказательства существования положим q(l) = h(l,l), где Л -исходная билинейная форма, и

g{l, m) = l[/i(/, m) + /i(m, /)].

Очевидно, g симметрична, т. е. g{l,m) - g{m,l). Кроме того,

g{l, l) = j[h(l, l) + h{l, l)] = q{t).

Билинейность g сразу же следует из билинейности Л.

Для доказательства единственности заметим, что если q{l) = = gi{Ul) - giiUl), где gl, g2 симметричны и билинейны, то форма g = g\ - g2 тоже симметрична и билинейна, и g(l,l) = 0 для всех Z е L. Но по рассуждению в доказательстве теоремы п. 3 отсюда следует, что g{l,m) = 0 для всех /, niL, что завершает доказательство. Заметим, что если q(l) = g{l., l),g симметрична, то

g{l. m) = -l[qilm)-q{l)-q{m)].

Мы установили, таким образом, что ортогональные геометрии (над полями характеристики ф2) можно рассматривать как гео-

метрии пар {L,q), где q: - квадратичная форма. В коор-

динатах квадратичная форма записывается в виде

9©= z aijXiXj,

i, /=1

где матрица (а,-,) определяется однозначно, если она симметрична: ац = ttji. Например,

Теоремы классификации означают, что невырожденной линейной заменой переменных квадратичную форму можно привести к сумме квадратов с коэффициентами:

Если Ж = R, можно считать, что щ = 0, ±1; количества го, г+, г-нулей и плюс-минус единиц определены однозначно и составляют сигнатуру исходной квадратичной формы; r+-fr -это ее ранг. Если Ж=С, можно считать, что а,-= 0,1; количество единиц - это ранг формы; он также определен однозначно.

§ 4. Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены

В этом параграфе мы опишем классические алгоритмы для отыскания ортогональных базисов и важрые примеры таких базисов в пространствах функций.

1. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Пусть

п

q (xi, .... х„) = е j aijXiXj, = а,-,-,

- квадратичная форма над полем Ж характеристики Ф2. Следующая процедура дает удобный практический способ отыскания линейной замены переменных х приводящей q к сумме квадратов (с коэффициентами).

Случай 1. Существует ненулевой диагональный коэффициент. Перенумеровав переменные, мы можем считать, что йцфО. Тогда

q {х,.....х,;) = g x2 + X, (2g,2X2 + + 2g, x ) + q (X2, .... x ),

где - квадратичная форма от -1 переменных. Выделяя полный квадрат, находим

q{xi, .... x ) = a (xi-f х -{- ... + Jf-х„) + (Xg, х„),

где q - новая квадратичная форма от tn - l переменных. Полагая

У1 = Xi -f Gil (G12X2 -f . . + Gi X ), У2==Х2, Уп = X ,

мы получаем в новых переменных форму

ОиУ? + ? (У2 Уп)>

и следующий шаг алгоритма состоит в применении его к q . Случай 2. Все диагональные коэффициенты равны нулю.

п

Если вообще q = 0, то делать ничего не нужно: q = xf.

Иначе, перенумеровав переменные, можно считать, что ¥= 0. Тогда

Q(xi.....Хп) =

= 20121X2 + (хз, л; ) + л;2/2(хз, .... л; ) + (хз, .... х„), где ll, /2 - линейные формы, а q - квадратичная. Положим Xi=--yi-\- Уч, Х2 = У1 - У2, Xi = yi, i > 3.

Б новых переменных форма q приобретает вид

2ai2{yi~yl)-i-q {yi, 2. Уп)

где q не содержит членов с yi, у\. Поэтому к ней можно применить способ выделения полного квадрата и снова свести задачу к меньшему числу переменных. Последовательное применение

п

этих шагов приведет форму к виду Jlr Окончательная линейная замена переменных будет невырожденной, так как таковы все промежуточные замены.

Последняя замена переменных Ui = Vl о. I при а1фО в случае Ж = К а Ui==/aiZi при а, =5О в случае Ж=С приведет форму к сумме квадратов с коэффициентами О, ±1 или О, 1.

2. Алгоритм ортогонализации Грама - Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но формулируется в более геометрических терминах. Мы будем рассматривать одновременно ортогональный и эрмитов случай.

Исходными данными являются: пространство {L,g) с ортогональной или эрмитовой метрикой, заданной в базисе {е[, е'. Пусть L( - подпространство, натянутое мг е\, ..., е\, i = \, ..., п. Процесс ортогонализации, примененный к базису \е\, е', можно рассматривать как конструктивное доказательство следующего результата:

3. Предложение. Предполоэюим, что в описанных обозначениях все подпространства L\, ..., Ln невырождены. Тогда существует такой ортогональный базис {ei, ..., е„} пространства L, что линейная оболочка {ci.....Ci) совпадает с Ц для всех i=l, п.

Он называется результатом ортогонализации исходного базиса [е[, ..., е }. Каждый вектор е,- определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой скаляр.,

Доказательство. Построим et индукцией по i. В качестве е\ можно взять е\. Если ей , уже построены, будем искать d в виде

Так как {е[, <} порождают Ц. а {е{.....и {е ...

порождают L-i, любой такой вектор вместе с еь ... е, 1 будет порождать Li. Поэтому достаточно добиться того, чтобы ei был ортогонален к ei, ei-u или, что то же самое, к е\.....е' 1. Эти условия означают, что g (е,., е^)==0, k= I, ...

i - 1, или t-i

Е x,g{е], е;) = g{е' е',), k=l, ....

Это система i-1 линейных уравнений для /-1 неизвестных xj. Ее матрица коэффициентов есть матрица Грама базиса {е', .,e. j пространства Li-i. По предположению, она невырождена, так что X/ существуют и определены однозначно. Любой ненулевой вектор ei, ортогональный к должен быть пропорционален е,-.

Более простая и решаемая сразу система уравнений получится, если искать е,- в виде

ei = <-Е у,-Ж,

считая ei, ... ел уже найденными. Поскольку ей e, i попарно ортогональны, из условий g(ei,ef) - 0, lji-1, находим

Весь смысл этого доказательства состоит в явном выписывании систем линейных уравнений, последовательное решение которых определяет е;. Заметим, что матрица коэффициентов первой системы суть последовательные диагональные миноры матрицы Грама исходного базиса:

Gi-iHr <))

Если бы мы не стремились к алгоритмичности, проще всего было бы рассуждать так: в силу предложения п. 2 § 3 и невырожденности Li-i имеем

Li = Li i © Li-i; A\m.LJ--\ = dim Li - dim Li-i = 1.

Возьмем теперь в качестве е,- любой ненулевой вектор из lIu 4. Замечания и следствия, а) Процесс ортогонализации Грама - Ш.мидта чаще всего применяется в ситуации, когда g(l, I) >0

для всех I е L, I =ф О, г. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые мы подробно изучим позже. В этом случае все подпространства L автоматически невырождены, и ортогонализи-ровать можно любой исходный базис. Форма g с таким свойством называется положительно определенной, и ее матрицы Грама называются положительно определенными.

б) В случае Ж =R или С можно строить сразу ортонормиро-ванный базис. Для этого, отыскав вектор ег, как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на \g{ei,ei)\-ei или g{ei,ei)-4i (для ортогональных пространств над С).

в) Любой ортогональный базис невырожденного подпространства Lo сг L можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства L.

Действительно, L = Lq 0 Lo . и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис Lo . Искать его можно методом Грама- Шмидта, если сначала как-нибудь дополнить базис Lo до базиса L, позаботившись о невырожденности промежуточных подпространств.

г) Пусть {е', ..., е;} - базис (L, g), а {ei, ..., е„}- его ортогонализации. Положим о,-= g (ег, ег) - это единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса {ег}. Будем считать, что g эрмитова или g ортогональна над R. Тогда все числа Ог вещественны, и сигнатура g определяется количеством положительных и отрицательных чисел ai. Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама G = \g{e\, е^)}. Пусть Ог -i-й диагональный минор, т. е. матрица Грама (е е^}. Если Ai- матрица перехода к базису (ei, ег}, то

det {g (ck, e,))i < ft. ,< г = ai.. .ог = det {A\QiAi) = det Сг (det Aif

в ортогональном случае или

G,.. .аг = det (ЛгОгЛг) = det Gi\ det Ai f

в эрмитовом случае. Поэтому всегда

знак Gi...a£ = 3HaK detG;.

Итак, сигнатура формы g определяется числом положительных и отрицательных элементов последовательности

det Сг det С„

det Gl,

det С,detG i

В частности, форма g (и ее матрица G) положительно определена тогда и только тогда, когда все миноры det Gi положительны (напомним, что G либо вещественна и симметрична, либо комплексна и эрмитово симметрична). Этот результат называется критерием Сильвестра.

Более общо, для невырожденной квадратичной формы над любым нолем тождество

G,...Gj = det Gi[6e\A{f

Ш

показывает, что исходную форму с симметричной матрицей G и невырожденными диагональными минорами Gi можно линейным преобразованием переменных привести к виду

detG,

6уЬ detCo=l.

ибо квадраты (detAi), мешающие непосредственно выразить at через det С/, можно внести сомножителями в переменные. Этот результат называется теоремой Якоби.

5. Билинейные формы на пространствах функций. Рассмотрим функции fi, f2, заданные на отрезке (а, Ь) вещественной прямой (возможно, а = -сю, b = оо) и принимающие вещественные или комплексные значения. Пусть G(x)-фиксированная функция от х^(а,Ь). Билинейные формы на пространствах функций в анализе часто задаются выражениями типа

g{fl, f2}=\G(x)hix)f2{x)dx а

или (полуторалинейный случай)

g{h. f2)==\G{x)fAx)fAx)dx.

а

Разумеется, G, fi и /г должны удовлетворять каким-то условиям интегрируемости; в последующих примерах они будут выполнены автоматически.

Функция G называется весом формы g. Значение b ь

g(f, f)==\G(x)f{xrdx или \ G(x)\fix)fdx

а а

есть взвешенное квадратичное среднее функции / (с весом G); если G О, его можно рассматривать как некоторую интегральную меру уклонения / от нуля. Типичная задача аппроксимации функции / линейными комбинациями некоторого заданного набора функций fi, fn, ... состоит в поиске таких коэффициентов 1, ..., G , ..., которые при данном п минимизируют взвешенное среднее квадратичное функции

f-Yaih.

Позже будет видно, что коэффициенты а,- особенно просто находятся в случае, когда {/,} образуют ортогональную или орто-нормированную систему относительно скалярного произведения g. В этом параграфе мы ограничимся явным описанием нескольких важных ортогональных систем

6. Тригонометрические многочлены. Здесь G = l, {a,b) = = (0, 2л). Тригонометрическими многочленами (или многочленами