вившийся формализм линейных геометрий действительно обладает удивительной стройностью и компактностью. Но жизнеспособность этой ветви математики в значительной мере связана с ее многообразными естественнонаучными приложениями. Понятие скалярного произведения, лежащее в основе всей второй части курса, может служить для измерения углов в абстрактных евклидовых пространствах. Но математик, который не знает, что оно же измеряет вероятности (в моделях квантовой механики), скорости (в нространстве Минковского специальной теории относительности) и коэффициенты корреляции случайных величин (в теории вероятности), лишается не только общей широты кругозора, но и гибкости чисто математической интуиции. Поэтому мы сочли необходимым включить в курс сведения и об этих интерпретациях.

§ 2. Скалярные произведения

1. Полилинейные отображения. Пусть Li, L , М - линейные пространства над общим полем Ж. Полилинейным отображением (при п = 2 билинейным) называется отображение

f: L,X ... XL ->M, (А, .... / )Hf(Z ln)M,

которое линейно как функция любого из аргументов U е L; при фиксированных остальных IjLj, /=1, п, ji. Иными словами,

f{h.....ii + li ж. =

= /(/,....,/ ...,д-ь/(/....../;,...,/ ).

f(li, .... alt, h+u ln) = af{lu h, , )

для i = i,..., n; a Ж. В случае М=Ж полилинейные отображения называются также полилинейными функциями, или формами.

В первой части Мы уже встречались с билинейными отображениями

LXL-Ж: (f,l)f(l), SP{L,M)XL~>M: if,1)fit), fiL, М), lL.

Определитель квадратной матрицы полилинеен как функция от ее строк и столбцов. Еще один пример:

Ж'ХЖ - Ж: il у) Е giiiyi =

где G -любая матрица размера пХпг над Ж, векторы из Jf , Ж' представлены столбцами своих координат.

Общие полилинейные отображения мы будем изучать позже, в части, посвященной тензорной алгебре. Здесь же мы займемся важнейшим для приложений классом билинейных функций LXL-Ж, а также, при Ж = О., функций L X -С- С, где L - пространство, комплексно сопряженное с L (см. ч. 1, § 12). Каждая

такая функция называется также скалярным произведением или метрикой, на пространстве L, и пара (L, скалярное произведение) рассматривается как единый геометрический объект. Изучаемые в этой части метрики лишь в специальных случаях являются метриками в смысле определения п. 1 § 10 ч. 1, и читатель не должен смешивать эти омонимы.

Скалярное произведение LXi-C чаще всего рассматривают как полуторалинейное отображение g: LyCL-*-C, линейное по первому аргументу и полулинейное по второму: g{ali,bl2)=abg{li,l2).

2. Способы задания скалярного произведения, а) Пусть g: LY. У^Ь-Ж (или LXL-C)-некоторое скалярное произведение на конечномерном пространстве L. Выберем базис {е\, ...,(? } в L и определим матрицу

G = {g{ei, е,)); i, /=1, .... п.

Она называется матрицей Грама базиса {ei, е„} относительно g, а также матрицей g в базисе {ei, вп}. Задание {е,} и G вполне определяет g, потому что в силу свойства билинейности

Л ->

g{x,y) = gy L XiSi, L)i(i) = .L xiyjg {ei, e,) = xGy.

В случае полуторалинейной формы аналогичная формула приобретает вид

g(X, y) = g yY xiei, Z F j = -xiy,g(ei, e,) = хЮу.

Наоборот, если базис {ei, е„} фиксирован, а G -любая

матрица размера пХ над Ж, то отображение (х, y)-xGy (или ->,~

xGy в полуторалинейном случае) определяет скалярное произведение на L с матрицей С в этом базисе, как показывают очевидные проверки. Таким образом, наша конструкция устанавливает биекцию между скалярными произведениями (билинейными или полуторалинейными) на п-мерном пространстве с базисом и матрицами размера пУ.п.

Выясним, как меняется G при замене базиса. Пусть А - мат-

рица перехода к штрихованному базису. В координатах: х = Ах,

-> ->

где л: -столбец координат вектора в старом базисе, а х - столбец его же координат в новом. Тогда в билинейном случае

g it у) = Жу = (Лх/ G (Ар) = (жО A*GAp,

так что матрца Грама штрихованного базиса равна AGA. Аналогично, в полуторалинейном случае она равна AGA.

В первой части курса матрицы служили нам в основном для записи линейных отображений, и интересно выяснить, нет ли естественного линейного отображения, связанного с g и отвечающего

матрице Грама G. Оно действительно существует, и его конструкция дает равносильный способ задания скалярного произведения.

б) Пусть g: LXL-Ж - скалярное произведение. Поставим в соответствие каждому вектору /eL функцию gi: для ко-

торой

elitn) = g[l, w), me L.

Эта функция линейна по m в билинейном случае и антилинейна в полуторалинейном, т е. g; е L* или соответственно gi е L* для каждого /. Кроме того, отображение

g: L->L или L-L: lgt = g{J)

линейно, канонически построено по и однозначно определяет g по формуле

giU n) = {g{l), т),

где внешние скобки справа обозначают каноническое билинейное отображение Ь*ХЬ-Ж или L*XL-C.

Наоборот, по любому линейному отображению g: L-L* (или L-L*) однозначно восстанавливается билинейное отображение g: LXL-Ж (или g: LX С) по той же формуле

g{l, m) = (g(l), т).

Связь с предыдущей конструкцией такова: если в L выбран базис {ей вп} и g задается матрицей О в этом базисе, то g задается матрицей G* в базисах {е {е', е ), двой-

ственных друг другу.

Действительно, если g задано матрицей С, то соответствующее скалярное произведение g в двойственных базисах имеет вид

g Сх, у) = (g (), ) = (Я (х)) ? (или {g (ж))I) =

=-(С'ж)г/(или С'жУ у) = ОЙили x*Gy\

что доказывает требуемое. Здесь мы пользовались замечанием, сделанным в S 7 ч. 1, о том, что каноническое отображение L*X

У^Ь-Ж ъ двойственных базисах определяется формулой {х, у) =

3. Свойства симметрии скалярных произведении. Перестановка аргументов в билинейном скалярном произведении g определяет новое скалярное произведение g:

gil, m) = g{m, I).

В полуторалинейном случае эта операция также меняет местг линейного и полулинейного аргументов; если мы хотим, чтобы этого не произошло, то удобнее рассматривать g:

g{l. m) = g{m, I).

у линейный аргумент будет на нервом месте, если у g он был на первом месте, а полулинейный - соответственно на втором. Операция gg или g>~>g легко описывается на языке матриц Грама: она отвечает операции Gt-G* или G-G соответственно (предполагается, что g, g, f пишутся в одном и том же базисе L). Действительно,

g (X y) = g (t ) = pel = cyGlcY = xCJ,

g* cx, y) = g (y, x) IGx = (рСж) = xG.

Мы будем заниматься почти исключительно скалярными произведениями, которые удовлетворяют одному из следующих условий симметрии относительно этой операции:

g - g- Такие скалярные произведения называются симметричными, а геометрия пространств с симметричным скалярным произведением называется ортогональной геометрией. Симметричные скалярные произведения задаются симметричными матрицами Грама G.

б) g = -g- Такие скалярные произведения называются антисимметричными, или симплектическими, а соответствующие геометрии называются симплектическими. Им отвечают антисимметричные матрицы Грама.

Полуторалинейный случай:

в) g - g. Такие скалярные произведения называются эрмитово симметричными, или просто эрмитовыми, а соответствующие геометрии- эрмитовыми. Им отвечают эрмитовы матрицы. Грама. Из условия g*~g следует, что g{l, 1) = g(l, I) для всех lL, т.е. все значения g{l, I) веншственны.

Эрмитово антисимметричные скалярные произведения обычно не рассматриваются специально, ибо отображение g~>ig устанавливает биекцию между ними и эрмитово симметричными скалярными произведениями:

Геометрические свойства скалярных произведений, отличающихся друг от друга лишь множителем, практически одни и те же. Напротив, ортогональная геометрия во многом отличается от симн-лектической: редукция соотношений g = g и g- -g друг к другу таким простым способом невозможна.

4. Ортогональность. Пусть (L, g)-векторное пространство со скалярным про'л;*ведеиием. Векторы / kL называются ортого-нальньши (относительно g), если g{h, 12)= 0. Подпространства Li, L2CZL называются ортогональными, если g{li, l2) = 0 для всех UL\, /2SL2. Основная причина, по которой валшы лишь скалярные произведения с одним из свойств симметрии предыдущего пункта, состоит в том, что для них свойство ортогональности векторов или подпространств симметрично относительно этих векто-

ров или подпространств. Действительно: если g = ±g или g = g, то

g{l, m) = 0<=±gHl, m) = 0<=g{m, l) = Q

и аналогично в эрмитовом случае (по поводу обратного утверждения см. упражнение 3).

Если не оговорено обратное, в дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональные, симплектические или эрмитовы скалярные произведения. Первое применение понятия ортогональности содержится в следующем определении.

5. Определение, а) Ядром скалярного произведения g на пространстве L называется множество всех векторов I е L, ортогональных ко всем векторам L.

б) g называется невырожденным, если ядро формы g тривиально, т. е. состоит только из нуля.

Очевидно, ядро формы g совпадает с ядром линейного отображения

g: L->L (или L-Z*)

и потому является линейным подпространством в L. Поэтому задание невырожденной формы g можно заменить заданием изоморфизма LL* (или L*). Так как матрицей g служит транспонированная матрица Грама G базиса L, невырожденность g равносильна невырожденности матрицы Грама (любого базиса). В тензорной алгебре и ее приложениях к дифференциальной геометрии и физике очень широко используется то обстоятельство, что невырожденная ортогональная форма g определяет изоморфизм L->L: оно служит основой техники поднятия и опускания индексов .

Ранг g определяется как размерность образа g, или как ранг матрицы Грама G.

6. Задача классификации. Пусть {L\,gi), {L2, g2) - два линейных пространства со скалярными произведениями над полем Ж. Назовем их изометрией любой линейный изоморфизм f: ЕхЦ, который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

gdl. n = g2(f(l), аП) для всех

Назовем такие пространства изометричными, если между ними существует изометрия. Очевидно, тождественное отображение является изометрией, композиция изометрий есть изометрия и линейное отображение, обратное к изометрий, есть изометрия. В следующем параграфе мы решим задачу классификации пространств с точностью до изометрий, а затем изучим группы изометрий пространства с самим собой и покажем, что среди них содержатся классические группы, описанные в § 4 ч. 1.

Классическое решение задачи классификации состоит в том, что всякое пространство со скалярным произведением разлагается в прямую сумму попарно ортогональных подпространств малой размерности (один в ортогональном и эрмитовом случае, один или

два - в симплектическом). Поэтому мы закончим этот параграф непосредственным описанием таких маломерных пространств с метрикой.

7. Одномерные ортогональные пространства. Пусть dimL=l, g - ортогональное скалярное произведение на L. Возьмем любой ненулевой вектор /eL. Если g{l,l) = 0, то g О, так что g вырожденное и нулевое. Если д{1,1) = афО, то для любого х^Ж значение g{xl,xl) равно ах, так что все значения g{l,l) на ненулевых векторах в L составляют в мультипликативной группе Ж* =Ж\{0} поля Ж смежный класс по подгруппе, состоящей из квадратов: {ах\х^Ж*}Ж*/{Ж*). Этот смежный класс полностью характеризует невырожденное симметричное скалярное произведение на одномерном пространстве L: для {Lugi) и (2,2) два таких класса совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства изометричны. В самом деле, если gi{luh)=ax, g2{h, к)=ау, где hLi, то отображение f: ly - y-x определяет изометрию L\ с L2, что доказывает достаточность. Необходимость очевидна.

Так как R*/(R*) = {±1} и С*==(С*)2, мы получаем следующие важные частные случаи классификации.

Над R любое одАомерное ортогональное пространство изоме-трично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: ху, -ху, 0.

Над С любое одномерное ортогональное пространство изомет-рично одномерному координатному пространству с одним из двух скалярных произведений: ху, 0.

8. Одномерные эрмитовы пространства. Здесь рассуждения аналогичны. Основное поле равно С; вырожденность формы равносильна ее обращению в нуль. Если же форма невырождена, то множество значений g{l,l) для ненулевых векторов /eL есть смежный класс подгруппы R*+={л; е Р* л; > 6} в группе С*, ибо g{al, al)= aag{l, l) = \a\g{l,l), и \a\ пробегает все значения в R+, когда аеС*. Но каждое ненулевое комплексное число z однозначно представляется в виде ref, где гер+, а e ** лежит на единичной комплексной окружности, которую мы обозначим

Cf = {2SC2=l}.

На групповом языке это определяет прямое разложение С == R+X X Ct и изоморфизм C7R+ Ct- Таким образом, невырожденные нолуторалинейные формы классифицируются комплексными числами, по модулю равными единице. Однако мы еще не полностью учли свойвтва эрмитовости, которое означает, что g{l, 1) = g{l, I), т. е. что значения g{l,l) все вещественны. Поэтому эрмитовым формам отвечают.только числа ±1 в Ct, как и в ортогональном случае над R. Окончательный ответ:

Над С любое одномерное эрмитово пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: ху, - ху, 0.

Одномерные ортогональные пространства над R (или эрмитовы над С) со скалярными произведениями ху, -ху, О (или ху, -ху, 0) в подходящем базисе мы будем называть соответственно положительными, отрицательными и нулевыми. Скалярные произведения ненулевых векторов на себя в них принимают соответственно только положительные, только отрицательные или только нулевые значения.

9. Одномерные симплектические пространства. Здесь мы встречаемся с новой ситуацией: любая антисимметричная форма на одномерном пространстве над полем характеристики ф2 тождественно равна нулю, в частности, вырождена! Действительно,

g{l, l) = -S(U l)=2g(l, 0 = 0, g(al, bl) = abg{l, 0 = 0.

Что касается характеристики 2, то условие антисимметрии g{l,m) = = -g{tn,l) в этом случае равносильно условию симметрии g{l,m)== g(m, I), так что над такими полями симплектическая геометрия не отличается от ортогональной. Впрочем, у ортогональной геометрии также появляются свои особенности, й Мы обычно будем этот случай исключать из рассмотрения.

Ясно поэтому, что одномерные симплектические пространства не могут быть строительным материалом для конструкции общих симплектических пространств, и нужно пойти по крайней мере на шаг дальше.

10. Двумерные симплектические пространства. Пусть (,L,g) - двумерное пространство с кососимметрической формой g над полем Ж характеристики Ф2. Если форма g вырождена, то она автоматически нулевая. В самом деле, пусть /0 - такой вектор, что g(/, m)=iO, для всех m е L. Дополним / до базиса {1,1} в L и учтем, что g{l\l) = gU, 1) = 0 по предыдущему пункту. Тогда для любых а. В, а', Ь' еЖ имеем

g{al-al, bl~\-bl)

abg (I, О + abg (I. n - abg (I, I) -f bbg (I, I) 0.

Пусть теперь g ненулевая и, значит, невырожденная. Тогда существует пара векторов е\, е^ с g{e\,e2)=aфQ и даже с а== 1: g-(a-ei,e2)= а-а = 1.

Пусть g{e\,e2) = 1. Тогда векторы вх, еч линейно независимы и, значит, образуют базис L: если, скажем, в] = аег, тО giae%,e = = ag{e2,e2) = 0. В координатах относите.яьно такого базиса скалярное произведение g записывается в виде

g {ххвх + х^2, yiSi + У^е^) = Х1У2 - Х2Ух

и имеет матрицу Грама

Окончательно, получаем:

Над полем Ж характеристики ф2 любое двумерное симплек-тическое пространство изометрично координатному пространству со скалярным произведением Хууч - Х2У\ или 0.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть L, М - конечномерные линейные пространства над полем Ж и g: LyC М~>-Ж-билинейное отображение. Назовем левым ядром g множество 2.0= {/е Z,g(/, т) = о для всех т^М], правым ядром g множество Мв = = {meM\g(l,m)= Q для всех /sL}. Докажите следующие утверждения:

а) dim L/Lo = dim MIMo.

б) g индуцирует билинейное отображение g: L/Lo X Ml Mo Ж. g{l4-L.o, m-{-M(i)- fiC, f), у которого левое и правое ядра нулевые.

2. Докажите, что всякое билинейное скалярное произведение g: LY,L-Ж (над полем Ж характеристики ф2) однозначно разлагается в сумму симметричного и антисимметричного скалярного произведения.

3. Пусть g: L X - такое билинейное скалярное произведение, что свойство ортогональности пары векторов симметрично: из g(/i,/г)=0 следует, что g {к, h) - 0. Докажите, что тогда g либо симметричцо, либо антисимметрично. (Указания, а) Пусть т, п L. Докажите, что g(l,g(l,n)m - g(l,m)n)= 0. Пользуясь симметрией ортогона.чьиости, выведите отсюда, что g(l,n)g(m,l) =

OfiC. ) б) Положив п = выведите отсюда, что если g(l,n)g(m,l), то g(l,l)=0. в) Покажите, что g(n,n)=0 для любого вектора ne.L, если g несимметрично. С этой целью выберите I, т с g(l,m) ¥=g(m,l) и разберите отдельно случаи g(l,n) ф g(n,l), g(l,n) g(n,l). г) Покажите, что если g(n,n) = О для всех ne.L, то g антисимметрично.)

4. Дайте классификацию одномерных ортогональных пространств над конечным полем Ж характеристики ф2, показав, что Ж*1(Ж*У есть циклическая группа второго порядка. (Указание: Покажите, что ядро гомоморфизма Ж*-*-Ж*: х\-> имеет порядок 2, пользуясь тем, что любой многочлен над полем имеет не больше корней, чем его степень.)

5. Пусть (L, g) - линейное пространство размерности п с невырожденным

скалярным произведением. Докажите, что семейство векторов {ei.....вп} в L

Линейно независимо тогда и только тогда, когда матрица (fi (е,-, ej)) невырождена.

§ 3. Теоремы классификации

1. Основная цель этого параграфа - дать классификацию конечномерных ортогональных, эрмитовых и симплектических пространств с точностью до изометрии. Пусть {L,g) - такое пространство, LocrL -его подпространство. Ограничение g на Lo является скалярным произведением на Lq. Назовем Lo невырожденным, если ограничение g на Lo невырождено, и изотропным, если ограничение g на Lo равно нулю. Существенно, что если даже L невырождено, ограничения g на нетривиальные подпространства могут, быть вырожденными или нулевыми. Например, в симплектическом случае вырождены все одномерные подпространства, а в ортогональном пространстве с произведением Xipi - Х2У2 вырождено подпространство, натянутое на вектор (1,1).

Ортогональным дополнением к подпространству Lo а L называется множество

= L\g{lo, = а для всех /qsLo}

(не путать с введенным в первой части ортогональным дополне-102

нием к Lo, лежащим в L*, здесь мы им пользоваться не будем). Легко видеть, что является линейным подпространством в L.

2. Предложение. Пусть (L, g) конечномерно.

а) Если подпространство LocrL невырождено, то L = LqQ)Lq.

б) Если оба подпространства Lq и Lo невырождены, то

Доказательство, а) Пусть g: L-L* (или 1.*)-отображение, ассоциированное с g, как в предыдущем параграфе. Обозначим через 0 его ограничение на Lo, Lq-L* (или L*). Если Lo невырождено, то Кег^о = 0: иначе в Lo есть вектор, ортогональный ко всему L и тем более к Lo. Поэтому dim Imgo == dim Lo. Это означает, что когда /о пробегает Lo, линейные формы g{lo, ) от второго аргумента из L или L пробегают dimLo-мерное пространство линейных форм на L или С. Так как L есть пересечение ядер этих форм, dim L = dim L - dim Lq, t. e.

dim Lo -f dim Lq = dim L.

С другой стороны, из невырожденности Lo следует, что Lq П Z! = = {0}, ибо LoPL есть ядро ограничения g на Lo. Поэтому сумма L-f Lo прямая; но ее размерность равна dimL, так что Lo®L(f = = L.

б) Из определений ясно, что Lq <= (L). С другой стороны, если Lo, Lq невырождены, то по предыдущему

dim {LqY - dim L - dim L = dim Lo.

Это завершает доказательство.

3. Теорема. Пусть {L,g) - конечномерное ортогональное {над полем характеристики Ф2), эрмитово или симплектическое пространство. Тогда существует разложение L в прямую сумму попарно ортогональных подпространств:

L= L\@ ... ф L ,

одномерных в ортогональном и эрмитовом случае и одномерных вырожденных или двумерных невырожденных в симплектическом случае.

Доказательство. Проведем индукцию по размерности L. Случай dim L = 1 тривиа.пен; пусть dimL 2. Если g нулевая, доказывать нечего. Если g ненулевая, то в симплектическом случае имеется пара векторов 1\, kL с §(/!, 4)0. Согласно п. 10 предыдущего параграфа, натянутое на них подпространство Lq невырождено. По предложению п. 2 L=Lo®Lq, и по индуктивному предположению мы можем далее разложить Lo, как сформулировано в теореме. Это даст требуемое разложение L.

В ортогональном и эрмитовом случае мы покажем, что нз нетривиальности g следует существование невырожденного одномерного подпространства Lo; проверив это, мы сможем положить

L = L(,®Lq и применить прежнее рассуждение, т. е. индукцию по размерности L.

В самом деле, допустим, что g{l,l)= О для всех /eL, и покажем, что тогда = 0. Действительно, для всех li, hL имеем

0=-g{h + к, h + k) = g (lu h) + {lu k) + g (k, k) = 2gr {l Q или

0 = g{k + k, h+k) = g{lu k) + 2 4eg{lu k) + g(k. У = 2Re(/ k).

В ортогональном случае отсюда сразу следует, что g(/i,/2) = 0. В эрмитовом мы получаем лишь, что Reg{lu к) -О, т. е. g-(/i, /2) = = ia, а е R. Но если а =/= О, то также

О = Re g {{ia)- h, k) = Re {ia) g (Z Ql.

Получаем противоречив.

Это завершает доказательство.

Перейдем теперь к проблеме единственности. Само по себе разложение в ортогональную прямую сумму, существование которого утверждается в теореме п. 3, далеко не единственно, кроме тривиальных случаев размерности 1 (или 2 в симплектическом случае). Над общими полями в случае ортогональной геометрии неоднозначно определяется также и набор инвариантов / е eJf*/Jf* который характеризует ограничения g на одномерные подпространства Li. Точный ответ ita вопрос о классификации ортогональных пространств существенно зависит от свойств основного поля, и для Ж - Q, например, связан с такими довольно тонкими теоретико-числовыми фактами, как квадратичный закон взаимности. Поэтому в ортогональном случае мы ограничимся описанием результата для = R и С (дальнейшие подробности см. в § 14).

4. Инварианты пространств с метрикой. Пусть (L,g)-пространство со скалярным произведением. Положим п = dim L, ro = dimLo, где Lo - ядро формы g. Кроме того, введем два дополнительных инварианта, относящихся только к ортогональной для Ж = R и эрмитовой геометриям: г+ и г-, числа положительных и отрицательных одномерных подпространств L,- в некотором ортогональном разложении L в прямую сумму, как в теореме п. 3.

Очевидно, Го п и п = го г+ -\- г- для эрмитовой и ортогональной геометрии над R. Набор (го, г+, г ) называется сигнатурой пространства. При ,Го = 0 сигнатурой называют иногда также {г+, г ) или г+ - Г- (считая п = л+--г известным).

Теперь мы можем сформулировать теорему единственности.

5. Теорема, а) Симплектические пространства над произвольным полем, а также ортогональные пространства над С с точностью до изометрии определяются двумя целыми числами п, го, т. е. размерностями пространства и ядра скалярного произведения.

б) Ортогональные пространства над R и эрмитовы пространства над С с точностью до изометрии определяются сигнатурой