На все можно смотреть с разных точек зрения, предмет этой книги -не исключение. Для студента мехмата МГУ линейная алгебра - это то, что читают первокурсникам во втором семестре. Для професснонала-алгебраиста, воспитанного в духе Бурбаки, линейная алгебра -это теория алгебраических структур частного вида - линейных пространств и линейных отображений, или, в более новомодном стиле, теория линейных категорий.

С более широкой точки зрения, содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественнонаучных идей - идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых приращений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным камнем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.

Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таблицу Менделеева, зоологию элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.

Выбор материала для этого курса определялся желанием авторов не только изложить основы аппарата, почти завершенного к началу этого века, но и дать представление о его приложениях, обычно относимых к' другн.м дисциплинам. Традиции преподавания способствуют рассечению живого тела математики на изолированные органы, жизнеспособность которых приходится поддерживать искусственно. Особенно это относится к критическим периодам в истории нашей науки, которые характерны вниманием к логической стройности н детальной проработке оснований. Последние полвека были временем теоретико-множественной перестройки языка и фундаментальных понятий; единство математики стало рассматриваться преимущественно как единство ее логических принципов. Не отказываясь от замечательных достижений этого периода, мы хотели отразить в книге и намечающиеся тенденции к синтезу математики как орудия познания внешнего мира. (К сожалению, нам пришлось оставить в стороне теорию вычислительных аспектов линейной алгебры, выросшую в самостоятельную науку.)

По этим соображениям в предлагаемую книгу, как и во Введение в алгебру одного из авторов, включен не только материал для лекционного курса, ио и разделы для домашнего чтения, которые могут быть использованы также на семинарских занятиях. Жесткого разделения здесь не может быть. Все же в соответствии со стандартной программой лекционный курс (один семестр, по две лекции в неделю) должен включать основной материал § 1-9 части 1; § 2-8

части 2; § 1, 3, 5, 6 части 3 и § 1, 3-6 части 4. При этом под основным материалом мы понимаем не столько доказательства трудных теорем (которых в линейной алгебре немного), сколько систему понятий, которыми следует овладеть. Поэтому многие теоремы из этих разделов могут быть рассказаны в более простом варианте или вовсе опущены; по недостатку времени такие сокращения неизбежны. Как избежать при этом превращения лекций в унылый список определений, составляет серьезную заботу преподавателя. Мы надеемся, что остальные разделы курса помогут ему в этом.

При переиздании внесены исправления опечаток и мелких стилистических погрешностей, сообпхенных нам рядом читателей. В двух местах пришлось корректировать доказательства. Многочисленные ценные замечания были сделаны сотрудниками кафедры алгебры и теории чисел Ленинградского государствеииого университета. Конструктивная критика рецензентов, а также высококвалифицированная, тщательная работа редактора издания В. Л. Попова во многом способствовали улучшению качества книги. Мы выражаем им всем глубокую благодарность.

Все оставшиеся недочеты в книге авторы, разумеется, относят на свой счет.

СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. -М.: Наука, 1977.

2. Ленг С. Алгебра. -М.: Мир, 1968.

3. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1975.

4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.- М.: Наука, 1966.

5. Халмош П. Р. Конечномерные векторные пространства. - М.: Физматгиз, 1963.

6. Артин Э. Геометрическая алгебра.-М.: Мир, 1970.

7. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ. - М.: Наука, 1969.

8. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1977.

Часть 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§ 1. Линейные пространства

1. Векторы с началом в выбранной точке пространства можно умножать на числа и складывать по правилу параллелограмма. Это - классическая модель законов сложения перемещений, скоростей, сил в механике. В общем определении векторного, или линейного, пространства вещественные числа заменяются произвольным полем, а простейшие свойства сложения и умножения векторов постулируются в качестве аксиом. Никаких следов трехмерности физического пространства в определении ие остается. Понятие размерности вводится и изучается отдельно.

Из курса аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве известно много примеров геометрической интерпретации алгебраических соотношений между двумя или тремя переменными. Но, по выражению Н. Бурбаки, ...ограничение геометрическим языком, отвечающим пространству только трех измерений, было бы ярмом для современного математика, столь же неудобным, как то, которое мешало грекам распространить понятие числа на отношения несоизмеримых величин... .

2. Определение. Линейным (или векторным) пространством L над полем Ж называется множество, снабженное бинарной операцией LyiL-L, обычно обозначаемой как сложение: (h, h)

+12, и внешней бинарной операцией Ж')<.11, обычно обозначаемой как умножение: (a,l)i->al, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

а) Сложение элементов L, или векторов, превраш,ает L в коммутативную (абелеву) группу. Ее нулевой элемент обычно обозна чается 0; элемент, обратный к I, обычно обозначается -I.

б) Умножение векторов на элементы поля Ж, или скаляры, унитарно, т. е. 11 = 1 для всех /, и ассоциативно, т. е. a{bl) = {ab)l для всех а,Ь^Ж; lL.

в) Сложение и умножение связаны законами дистрибутивности, т. е.

а {к + 4) = сй\ + а^2. ( I + а2)1 = al -f а4

для всех а, ах, а^ е Ж; I, h, h L.

3. Вот некоторые простейшие следствия определения.

а) О/ = аО = О для всех а^Ж, lL. Действительно, О/ + О/ = = (0 + 0); = О/, откуда 0/ = 0 по свойству сокращения в абелевой группе. Аналогично, аО + аО = а (О -f 0) = аО, т. е. аО - 0.

б) (-I); = - Действительно, / + (-l)Z = I/ + (-1)/ = (14-4- (- 1)) / = О/ = О, так что вектор (- 1)1 обратен к /.

в) Если al = О, то либо а = О, либо 1 = 0. В самом деле, если а^О, тоО = а-Ча1) = {а-а)1=11 = 1.

г) Для любых оь ОпЖ; 1\, .... inl однозначно опре-

делено выражение a,/i + ... + aj = J] а,/,: благодаря ассоциа-

тивности сложения в абелевой группе можно не расставлять скобки, указывающие порядок вычисления попарных сумм. Аналогично, однозначно определено выражение 102 ... а„1.

п

Выражение вида X (ih называется линейной комбинацией

векторов и, .... / ; скаляры а,-- коэффициенты этой линейной комбинации.

Следующие примеры линейных пространств будут постоянно встречаться в дальнейшем.

4. Нульмерное пространство. Это - абелева группа L={0}, состоящая из одного нуля. Единственно возможный закон умножения на скаляры: аО==0 для всех а^Ж (убедитесь в справедливости аксиом!).

Предостережение: нульмерные пространства над разными полями- это разные пространства: задание поля Ж входит в определение линейного пространства.

5. Основное поле Ж как одномерное координатное пространство. Здесь l = Ж, сложение - это сложение в Ж, умножение на скаляры - это умножение в Ж. Справедливость аксиом линейного пространства следует из аксиом поля.

Более общо, если имеется поле К и его подполе Ж, то К можно рассматривать как линейное пространство над Ж. Например, поле комплексных чисел С является линейным пространством над полем вещественных чисел R, которое в свою очередь является линейным пространством над полем рациональных чисел Q.

6. п-мерное координатное пространство. Положим l - Ж = = ЖУ., ...ХЖ (декартово произведение п^\ множителей). Элементы l можно записывать в виде строк (Оь а„), а1Ж, или столбцов высоты п. Определим сложение и умножение на скаляр формулами:

(Оь .... a ) + (fei.....6 ) = (ai + 6,. .... а„ + 6 ),

а(а„ а„) = (аа,.....аа ).

При п - 1 получается предыдущий пример. Одномерные пространства над Ж называют прямыми, или J-прямыми; двумерные - Х-плоскостями.

7. Пространства функций. Пусть 5 - произвольное множество, f(S)-множество функций на 5 со значениями в Ж, или отображений S в Ж. Как обычно, если f: S- Ж -такая функция, то через f{s) обозначается значение / на элементе s eS.

Сложение и умножение функций на скаляр определяется поточечно:

if + g) (s) = f(s)-Te (s) для всех s e 5, {af) (s) == a (/ (s)) для всех а^Ж; s e S.

Если S={1, n}, TO F{S) можно отождествить с Ж': функции / ставится в соответствие вектор всех ее значений (Д1), ..., f (п)). Правила сложения и умножения согласованы относительно такого отождествления.

Каждому элементу sS можно поставить в соответствие важную дельта-функцию 8s, сосредоточенную на {s} , которая определяется так: 6s(s)=l, bs{t) = 0, если t¥s. Если S={1, .... п}, вместо 6i{k) обычно пишут б,* -это символ Кронекера.

Если множество 5 конечно, то всякую функцию из F{S) можно однозначно представить в виде линейной комбинации дельта-функ-

ций:/== X /(s)6s-B самом деле, это равенство следует из совпа-

дения значений левой и правой части в каждой точке s е 5. Наоборот, если / = X ag, то, беря значение в точке s, получаем

/(s)=a..

Если множество S бесконечно, то этот результат неверен, точнее говоря, не может быть сформулирован в рамках наших определений: суммы бесконечного числа векторов в общем линейном пространстве не определены! Некоторые бесконечные суммы можно определить в линейных пространствах, снабженных понятием предельного перехода, или топологией (см. § 10). Такие пространства составляют основной предмет изучения в функциональном анализе.

В случае S = {1, л} функция б,- представлена вектором е,= (0, .... О, 1,0, .... 0) (единица на i-m месте, нули на остальных), а равенство /= XI f{s)s превращается в равенство

п

(G .... oJ = Ydiei.

8. Линейные условия и линейные подпространства. В анализе прежде всего рассматриваются вещественнозначные функции, определенные на всем R или интервалах (а, 6)c:R. Для большинства приложений, однако, пространство всех таких функций слишком велико: полезно рассматривать непрерывные или дифференцируемые функции. После введения соответствующих определений обычно доказывается, что сумма непрерывных функций непрерывна и произведение непрерывной функции на скаляр непрерывно; то же для дифференцируемости.

Это означает, что только непрерывные или только дифференцируемые функции сами по себе образуют линейное пространство.

Более общо, пусть L - линейное пространство над полем Ж, а MczL - его подмножество, которое является подгруппой и

которое переходит в себя при умножении на скаляры. Тогда М вместе с операциями, индуцированными операциями в L (другими славами, ограничениями на М операций, оп{)еделенных в L), называется линейным подпространством в L, а условия, определяющие принадлежность к М общего вектора из L, называются линейными условиями.

Вот пример линейных условий в координатном пространстве Ж : фиксируем скаляры аи апЖ и определим McL:

п

{xi.....х„) MatXi = 0. (1)

Объединение любого числа линейных условий также является линейным условием. Иными словами, пересечение любого числа линейных подпространств также является линейным подпространством (проверьте это!). Позже мы докажем, что в Ж любое подпространство описывается конечным.числом условий вида (1).

Важный пример линейного условия дает следующая конструкция.

9. Двойственное линейное пространство. Пусть L - линейное пространство над Ж. Рассмотрим сначала линейное пространство F{L) всех функций на L со значениями в Ж. Назовем теперь функцию fF{L) линейной (иногда говорят линейный функционал ), если она удовлетворяет условиям

nii + l2) = f{U) + f{l2), f{al)af{l)

для всех I, h, hL, а^Ж. Индукцией по числу слагаемых отсюда получаем, что

Мы утверждаем, что линейные функции образуют линейное подпространство в F{L), или условие линейности является линейным условием . В самом деле, если f, f\ и fi линейны, то

(f 1 + /2) ih + к) == h ih + I2) + h ih + У =

= f 1 (h) + /. (/2) + f2 ih) + f2 (/2) = if I + /2) ih) + {fi + /2) {Q-

(Здесь последовательно используются: правило сложения функций, линейность fi и /2, коммутативность и ассоциативность сложения в поле и опять правило сложения функций.) Аналогично,

Ы ih + у = [/ ih +12)] =-ci[f (h) + f dl)] =

= a[f (/,)] + a [/ (/2)! = (af) (Z.) + (af) (I,).

Таким образом, fi -f 2 и af также линейны.

Пространство линейных функций на линейном пространстве L называется двойственным, или сопряженным к L пространством, и обозначается L*.

В дальнейшем мы встретимся со многими другими конструкциями линейных пространств.

10. Замечания относительно обозначений. Обозначать нуль и сложение в Ж и L одинаковыми значками не вполне последовательно, но очень удобно. Все формулы обычной школьной алгебры, которые осмысленны в этой ситуации, оказываются верными (см. образцы в п. 3).

Вот два примера, когда предпочтительнее другие обозначения.

а) Положим Z-== {хе Rx > 0}. Рассмотрим L как абелеву группу по умножению и введем на L умножение на скаляры из R по формуле (а,х)ь-Легко проверить, что все условия определения п. 2 выполнены, хотя принимают в обычной записи другой вид: нулевой вектор в L есть 1, вместо II ==1 мы имеем х^=х; вместо a{bl) = {ab)l - тождество {х') = x , вместо (a-j-6)/ = = al-\- - тождество = и т. д.

б) Пусть /- - векторное пространство над полем комплексных чисел С. Определим новое векторное пространство L с той же ад дитивной группой L, но другим законом умножения на скаляры:

{a,l)al.

где а - комплексно сопряженное число к а. Из формул а-\-Ь = = а + 5 и ab = ab без труда следует, что Г -векторное пространство. Если в какой-то ситуации нам приходится рассматривать одновременно Z, и L, то может оказаться удобно писать вместо al, скажем, а*/ или а°1.

П. Замечания о чертежах и наглядных образах. Очень многие общие понятия и теоремы линейной алгебры удобно иллюстрировать схематическими чертежами и картинками. Мы хотим сразу же предупредить читателя о некоторых опасностях таких изображений.

а) Малая размерность. Мы живем в трехмерном пространстве, и наши чертежи изображают обычно двух- или трехмерные образы. В линейной алгебре работают с пространствами любой конечной размерности, а в функциональном анализе-с бесконечномерными. Наша маломерная интуиция поддается очень серьезному развитию, но развивать ее нужно сознательно.

Простой пример: как представить себе общее расположение двух плоскостей в четырехмерном пространстве? Вообразите две пересекающиеся по прямой плоскости в R, которые отрываются вдоль этой прямой всюду, кроме начала координат, расходясь в четвертое измерение.

б) Вещественное поле. Физическое пространство R линейно над вещественным полем. Непривычность геометрии линейного пространства над Ж может быть связана со свойствами поля Ж.

Например, пусть Ж = С (важнейший для квантовой механики случай). Прямая над С -это одномерное координатное пространство С. Мы привыкли, что умножение точек прямой R на вещественное число а есть растяжение в а раз (при а > 1), сжатие в а- раз (при О < о < 1) или их комбинация с переворачиванием прямой (при о < 0).

И

Но умножение на комплексное число а, действующее на С, естественно представлять себе при геометрическом изображении С' в виде ( плоскость Аргана или комплексная плоскость -- не путать с С^!). При этом изображении числу z = x-\-iyC отвечает точка (ж,y)eR2, а умножение на афО соответствует растяжению в I а раз и повороту на угол arg а против часовой стрелки. Мы видим, в частности, что при а = - 1 вещественное переворачивание прямой R есть ограничение на R поворота С на 180°.

Вообще, п-мерное комплексное пространство С можно, и часто полезно, представлять себе как 2п-мерное вещественное пространство R2 (ср. § 12 о комплексификации и овеществлении).

Другим примером являются конечные поля Ж, в частности поле из двух элементов р2={0, 1}, важное в теории кодирования. Здесь конечномерные координатные пространства конечны, и иногда удобно связывать с линейной геометрией над Ж дискретные образы. Например, F часто отождествляют с вершинами -мерного единичного куба в R - множеством точек (еь е„), где

е, = 0 или 1. Покоординатное сложение в f -это операции Буля: 1+0 = 0+1 = 1;0 + 0=1 + 1=0. Подпространство, состоящее из точек с El + + Еп == О, определяет простейший код с обнаружением ошибок. Условившись, что точки (ei, 8 ) коди-

п

руют сообщения только при J] е; = 0, и приняв сигнал (ef, ..., е'п)

п

с bi Ф О, мы можем быть уверены, что помехи при передаче

привели к ошибочному приему.

в) Физическое пространство евклидово. Это значит, что в нем определены не только сложение векторов и умножение на скаляр, но также длины векторов, углы между ними, площади и объемы некоторых фигур и т. п. Наши чертежи несут принудительную информацию об этих метрических свойствах, и мы их машинально воспринимаем, хотя в общей аксиоматике линейных пространств они никак не отражены. Нельзя представлять себе, что один вектор короче другого, или что пара векторов образует прямой угол, до тех пор, пока пространство не наделено специальной дополнительной структурой, скажем, абстрактным скалярным произведением. Таким структурам посвящена вторая часть книги.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Образуют ли линейное пространство над Q следующие множества вещественных чисел:

&) положительные вещественные числа;

б) неотрицательные вещественные числа;

в) целые числа;

г) рациональные числа со знаменателем N;

д) числа вида а -- Ьп, где а, b - любые рациональные числа?

2. Пусть S -некоторое множество, f(S) - пространство функций со значениями в поле X. Какие из следующих условий являются линейными:

а) f обращается в нуль в данной точке S;

б) f обращается в единицу в дайной точке S;

в) f обращается в иулъ во всех точках подмножества So с S;

г) f обращается в нуль хотя бы в одной точке подмножества So сг S:

д) f(x) ->-0 при д; ->-со;

е) f(x)->-\ при a--)-oo;

ж) f имеет ие более конечного числа точек разрыва (в д) - ж) предполагаем S = R HJSf=R)?

3. Пусть L - линейное пространство непрерывных вещественных функций на отрезке [-1, 1]. Какие из следующих функционалов на L являются линейными:

а) fi- J f(x)dx-

-1 I

6} ft- J P{x)dx:

в) f I-> f (0) (это - дельта-фуикционал Дирака );

г) f н-> f (х) g (х) dx, где g - фиксированная непрерывная функция на [-1, 11?

4. Пусть L = 5Sf . Какие из следующих условий на {xi, .... Xn)eL являются линейными: п

а) aiX{ =1; ai, .... йпМ:

i = i п

? = о (разберите отдельно случаи: ,5 = R, X - С, Ж - поле из

двух элементов, или, более общо, поле характеристики два); в) Xi = 2x4?

5. Пусть Ж - конечное поле из q элементов. Сколько элементов имеется

п

в линейном пространстве JSf ? Сколько решений есть у уравнения cfjcj =0?

6. Пусть JSf°°-пространство бесконечных последовательностей (оьЯг,Оз ...), а,- S JSf, с покоординатным сложением и умножением. Какие из следующих условий на векторы из являются линейными:

а) только конечное число координат иа а,- отлично от нуля;

б) только конечное число координат а,- равно нулю;

в) среди координат а; никакая не равна 1;

г) условие Коши: для каждого 8 > О существует такое TV > О, что ат -а„ < е при т, п > N\

д) условие Гильберта: ряд а„

сходится:

е) (fli) образуют ограниченную последовательность, т.е. существует такая константа с, зависящая от (о;), что а, < с для всех i (в г) - е) предполагаем JSf = R или С)?

7. Пусть S -конечное множество. Докажите, что каждый линейный функционал на f(S) однозначно определяется семейством элементов {ass-sS поля X: функции f ставится в соответствие скаляр af (s).

Если п - число элементов в S и о, = 1/п для всех s, мы получаем функционал -среднее арифметическое значений функции.

Если X = R и. fls > О, flj = 1, функционал aj(s) называется

S е S S е S

взвешенным средним функции f (с весами Os).

§ 2. Базис и размерность

1. Определение. Семейство векторов {ei, ..., Сп) в линейном пространстве L называется (конечным) базисом L, если каждый вектор из L однозначно представляется в виде линейной комбина-

п

ции 1 = UiCi, ai е Ж. К^оэффиЦиенты а,- называются координатами вектора I относительно базиса {е,}.

2.Примеры, а) Векторы = (О,..., 1,..., 0), 1 / п, образуют базис Ж , б) Если множество 5 конечно, функции ftsFiS) образуют базис F{S). Оба эти утверждения были проверены в § 1.

Если в L выбран базис из и векторов и каждый вектор задается своими координатами в этом базисе, то сложение и умножение

п п

на скаляр выполняются покоординатно: J] ,-6 + б^е^ =

п п п

= S + i) я ael = аае^. Поэтому выбор базиса равносилен отождествлению L с координатным векторным простран-

ством. Вместо равенства /= X /i иногда пишут 1 = а, подразу--

мевая под о вектор-столбец

[щ, а„)= ;

V fln

или вектор-строку (oi, a ) = [ai, координат Я], ...

..., а„; в этих обозначениях явное указание базиса опущено.

3. Определение. Пространство L называется конечномерным, если оно либо нульмерно (см. § 1, п. 4), либо имеет конечный базис. Остальные пространства называются бесконечномерными.

Удобно считать, что базис нульмерного пространства образует пустое множество векторов. Поскольку для нульмерных пространств все наши утверждения тривиализируются, мы обычно будем ограничиваться рассмотрением непустых базисов.

4. Теорема. В конечномерном пространстве число элементов базиса не зависит от базиса.

Это число называется размерностью пространства L и обозначается dim L или 6ш\х L. Если dim L=n. пространство L называется п-мерным. В бесконечномерном случае мы пишем dimZ,==oo.

Доказательство. Пусть (fii, вп} - некоторый базис L. Мы докажем, что никакое семейство векторов {е\, . - , е'т) с т > п не может служить базисом L по следующей причине: существует