86 дБ, И с коэффициентом усиления при замкнутой петле обратной связи, равным 20 дБ. Граничная частота усилителя без обратной связи равна 2 кГц. Но, так как коэффициент усиления с замкнутой обратной связью ограничен уровнем 20 дБ и даже для частот, значительно превышающих 2 кГц, остается много меньшим, чем коэффициент усиления без обратной связи, оказывается, что описываемый выражением (4.6) действительный коэффициент усиления почти равен коэффициенту усиления на низких частотах при замкнутой петле обратной связи. Когда частота достигает 3,8 МГц, коэффициенты усиления с замкнутой обратной связью и без обратной связи становятся одинаковыми. Коэффициент усиления с замкнутой цепью обратной связи не может быть больше коэффициента усиления без обратной связи, поэтому теперь (начиная с этой частоты) усилитель с обратной связью имеет такую же скорость спада, какую этот усилитель имел бы без обратной связи. Следует отметить, что обратная связь не поднимает частотную характеристику операционного усилителя, а его эффективная полоса пропускания увеличивается за счет того, что обратная связь ограничивает коэффициент усиления более низким значением, за хгределы которого усилитель не выходит при работе на значительно более высоких частотах. В данном случае граничная частота увеличилась от /i = 2 кГц до fio. с = 3,8 МГц, т. е. получено очень значительное расширение полосы пропускания, но за это увеличение полосы пропускания потребовалось заплатить уменьшением коэффициента усиления с 86 до 20 дБ. Таким образом, для увеличения полосы пропускания с помощью обратной связи в принципе приходится уменьшать коэффициент усиления.

В гл. 2 произведение Лр было названо петлевым усилением. Из рис. 4.9 можно видеть, что петлевое усиление - это разность в децибелах между коэффициентом усиления без обратной связи и идеальным коэффициентом усиления при замкнутой цепи обратной связи, т. е.

Лр(дБ) = Л(дБ)-1/р(дБ), (4.8)

где Л - коэффициент усиления без обратной связи.

Это определение дает удобный способ находить петлевое усиление для расчета /ю. с- Чтобы осмыслить соответствующую зависимость, вспомним, что

коэффициент усиления 6e.s обратной связи идеальный^коэффициент усиления с замкнутой обратной связый'

= Л/(1/р) == Лр петлевое усилена©,

откуда, используя правила действий с логарифмами, получаем лр (дБ) = -Щ) = Л (дБ) - (1/р) (дБ).

Из этого выражения, в частности, видно, что петлевое усиление увеличивается при уменьшении коэффициента усиления с замкнутой обратной связью.

Пример 4.2. Для проверки результатов, полученных графически на рис. 4.9, где Д = 86 дБ, К = 20 дБ и /i = 2 кГц, рассчитаем /ю. с Решение: Л = 86 дБ = 19,953, == 166 дБ == 1995,3; поэтому Uo. с = fi(l -Ь -f Др) 2 кГц X 1995 3,999 МГц, что хорошо согласуется с графиком. Пример 4.3. Предположим, что надо узнать, чему равен максимально возможный коэффициент усиления с замкнутой обратной связью, если fio.c == = 300 кГц. По рис. 4.9 можно найти значение коэффициента усиления без обратной связи, которое соответствует частоте 300 кГц. Видно, что этот коэффициент усиления равен 43 дБ, или К = 141, если его выразить как числовое отношение.

С другой стороны, можно рассчитать К, используя соотношение fio. с = = fi(\ + Af)) и разрешая его относительно р. что дает

Р = (fio. с - fi)/f 1 = 298 кГц/39,9 МГц = 0,00747, = 1/Р = 1/0,00747 = 134.

что достаточно близко к ответу, который получен графически из диаграммы Боде.

4.4.3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ НА ПОЛОСУ ПРОПУСКАНИЯ

Если скорость спада усилителя составляет 6 дБ/октава, произведение коэффициента усиления на полосу пропускания постоянно: Kf\ = const. Чтобы убедиться в этом, умножим идеальный коэффициент усиления на низких частотах на верхнюю частоту среза того же усилителя при наличии обратной связи. . Тогда получим произведение усиления на полосу пропускания:

Kfxo, с = [Л/(1 -f лр)] /, (1 -f Лр) = Ah, (4.9)

где Л - коэффициент усиления без обратной связи на низких частотах.

В предыдущем разделе было показано, что для увеличения полосы пропускания с помощью обратной связи следует уменьшить коэффициент усиления. Теперь соотношение (4.9) дает возможность узнать, какой частью коэффициента усиления необходимо пожертвовать для получения желаемой полосы пропускания.

Пример 4.4. Пусть операционный усилитель имеет коэффициент усиления без обратной связи, равный 10 000, и верхнюю сопрягающую частоту 400 Гц. Рассчитаем максимально возможный коэффициент усиления с замкнутой обратной связью, если при этой обратной связи верхняя граничная частота составляет 150 кГц.

Решение: Afi = Kfio. с

Поэтому K = Afi/fio.c (10(400 Гц)/(15-10 Гц) =26,6.

Укажем, что тот же ответ можно получить из диаграммы Боде для частотной характеристики операционного усилителя, но тогда пришлось бы преобразовывать значение коэффициента усиления в децибелах в его числовое значение.

Далее важно понимать, что произведение усиления на полосу пропускания постоянно, а соответствующая зависимость К от fl линейна только при скорости спада 6 дБ/октава.

4.4.4. САМОВОЗБУЖДЕНИЕ

Обычно операционный усилитель используется с обратной связью. Применение в усилителе обратной связи выгодно в связи с тем, что она позволяет увеличить Rbx, уменьшить Явых, уменьшить искажения, увеличить стабильность и увеличить точность, с которой задается коэффициент усиления. Однако все эти преимущества могут быть обеспечены, только если обратная связь отрицательна; если же обратная связь окажется положительной, усилитель превратится в генератор, а все только что названные характеристики усилителя ухудшатся. Для возникновения самовозбуждения автоколебаний сигнал обратной связи должен быть достаточно большим, так, чтобы сигнал, возвращаемый на вход, оказался больше входного сигнала, и, кроме того, возвращаемый на вход сигнал должен быть в фазе со входным сигналом (сдвиг фазы на 360°). Если эти условия воз-ликновения положительной обратной связи выполнены, то для самовозбуждения автоколебаний оказывается достаточно шумов на входе усилителя.

Сказать, что подаваемый обратно на вход сигнал должен быть больше входного сигнала, можно еще одним способом - для этого надо просто указать, что петлевое усиление больше единицы. Обратившись к рис. 4.10, можно видеть, что любое напряжение, которое подается обратно на инвертирующий вход Бри отсутствии входного напряжения, синфазно с выходным сигналом и сдвинуто по фазе на 180° по отношению к [/д (напряжение сдвига или шум), т. е. к напряжению, которое является причиной появления сигнала на входе при Увх = 0. Для того чтобы самовозбуждение имело место. Но. с должно быть больше, чем (Уд. Напомним, что Uo. с = Uo = AU; поэтому рЛб'д > (Уд. Следовательно, условие рЛ > I является необходимым условием возникновения автоколебаний. Однако тот факт, что петлевой коэффициент усиления больше единицы, сам по себе еще не достаточен для того, чтобы автоколебания возникли. Для возникновения самовозбуждения необходимо, кроме того, чтобы напряжение, которое подается обратно на вход, было синфазно

со входным сигналом (что в нашем примере не соблюдается),. Таким образом, приходим к следующему критерию: для возникновения автоколебаний коэффициент петлевого усиления должен быть больше единицы при сдвиге фазы на 180°, т. е..

у4р > 1, 0 = 180 на частоте среза петлевого коэффициента усиления или на частоте прохождения диаграммой Боде разомкнутого усилителя коэффициента усиления с обратной связью.

Частотой прохождения коэффициента усиления при замкнутой цепи обратной связи будем называть ту частоту, на которой

о-i/Bx = OB

Рис. 4.10. Инвертирующий усилитель с обратной связью. Uj = и^ с-

коэффициент усиления с замкнутой обратной связью равен коэффициенту усиления без обратной связи. Например, на рис. 4.11 частота прохождения коэффициента усиления с обратной связью - это частота, при которой горизонтальная линия коэффициента усиления при замкнутой цепи обратной связи (/(= 38 дБ) пересекает частотную характеристику коэффициента усиления без обратной связи. На графике эта точка обозначена как fo. с Через fi, /2 и /3 на этом графике обозначены вер.чние частоты среза каскадов операционного усилителя.

Понять смысл этого условия, накладываемого на сдвиг фа-аы, можно еще и другим способом. Усилитель, такой, как изображен иа {.НС. 4.10, будет самовозбуждаться, если петлевой коэффициент усиления будет больше единицы и выходной сигнал будет подзват.ь.ся обратно иа вход в фазе со входным сиг-Ийлом. Напомним, что различные компоненты усилителя имеют емтсости, поэтому для прохождения сигнала через усилитель требуется некоторое конечное время. Это время задержки очень мало зависит от частоты. Если время задержки равно 1 мкс, то такая задержка соответствует половине периода, или сдвигу фазы на 180°, для сигнала с частотой 500 кГц. Если далее

) Иапомиим, что частота среза - это частота единичного усиления. На самом деле, точнее, G > 180° при Лр = 1 есть критерий самовозбуждения.- Прим. ргд.

инвертирование при усилении создает сдвиг фазы на 180°, а сдвиг фазы, связанный с задержкой распространения сигнала, также равен 180°, то суммарный сдвиг фазы составляет 360°, и усилитель самовозбудится на частоте, для которой половина периода равна времени задержки распространения сигнала. Для задержки, равной 0,25 мкс, такая частота равна 2 МГц. Если, однако, частотная характеристика данного усилителя такова.

6 дБ/октава

Частота

Рис. 4.11. Определение наклона частотной характеристики петлевого коэффициента усиления.

что ОН не может усиливать сигнал с частотой 2 МГц, то генерации не возникнет. Это значит, что автоколебания могут возникнуть только тогда, когда частота, для которой половина периода равна времени задержки, лежит в полосе пропускания операционного усилителя.

Ранее петлевой коэффициент усиления выражался через коэффициент усиления без обратной связи на низких частотах, но теперь придется выразить его через коэффициент усиления без обратной связи, зависящий от частоты, который обозначим A{f). Имеем

(f) Р = [Л/л/1 + (f/hf. 0 = - arctg if/h)] р =

= Лр/[1 + if/Urf, e = arctg(f/A). (4.10)

если усилитель, такой, например, как на рис. 4.4, имеет скорость спада 6 дБ/октава. Поскольку р есть отношение сопротивлений (1/Р = Л'), оно не вносит существенного сдвига фазы, и единственным источником сдвига фазы является сам усили-

тель. Из выражения (4.10) видно, что максимальный сдвиг фазы, который может появиться в усилителе со скоростью спада 6 дБ/октава, равен 90°. Это означает, что при скорости спада 6 дБ/октава на частоте fo. с усилитель не будет самовоз-бу-ждаться независимо от того, чему равен петлевой коэффициент усиления: для возникновения автоколебаний петлевой коэффициент усиления должен иметь сдвиг фазы, равный 180°,

Однако не все усилители имеют скорость спада 6 дБ/октава. Выше уже встречались примеры ситуаций (см. рис. 4.6 и 4.8), когда на одних частотах скорость спада составляла 6 дБ/октава, на других 12 дБ/октава и 18 дБ/октава на остальных частотах. Что же делать в таких случаях?

На частотах, для которых скорость спада равна 12 дБ/октава (т. е. в полосе частот между fi2 и fi3 на рис. 4.8), в выражение для петлевого коэффициента усиления будет входить два зависяших от частоты члена, и это выражение для усилителя, соответствуюшего рис. 4.6 и 4.8, будет в указанной полосе частот иметь вид

0 = -arctg (f/f )-arctg (f i2).

Отсюда видно, что максимальный сдвиг фазы, который возникает в полосе между этими двумя частотами, составляет 180°. Достигнет ли этот сдвиг фазы величины 180°, в данном случае зависит от конкретного соотношения между частотами среза fii и fi2 и частотой fo. с- Таким образом, усилитель, имеюший при частоте fo. с скорость спада 12 дБ/октава, может возбуждаться или не возбуждаться в зависимости от выполнения дополнительных условий, т. е. его состояние можно назвать мало устойчивым Ввиду того что каждая реальная схема имеет паразитные элементы (такие, например, как емкость проводников), которые могут приводить к дополнительному увеличению сдвига фазы, работы при скорости спада 12 дБ/октава на частоте fo. с лучше всего избегать.

Возвращаясь еще раз к усилителю, изображенному на рис. 4.6, и к его частотной характеристике на рис. 4.8, мы ви- ДИМ, что на частотах выше fia скорость спада составляет 18 дБ/октава. В полосе частот между fi3 и fc петлевой коэффициент усиления имеет вид

ло AiA ЛзР

\\ + (тиУ\ Ч^ + (flhY\ 4\ + ШЫУ] (4.11)

: е = - arctg (f/f ) - arctg (f/f ,2) - arctg (f/f ,3).

Ha самом деле, это зависит от влияния малых дополнительных сдвигов фазы в петле обратной связи, так как при таком спаде фаза достигает 180 только асимптотически. - Ярил. ред.

Отсюда видно, что максимально возможный сдвиг фазы в этом диапазоне частот составляет 270°. Схема, работающая в режиме, при котором скорость спада на частоте /о. с равна 18 дБ/октава, наверняка, самовозбудится и потому неработоспособна.

4.4.5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Требуется достойный доверия и легкий в употреблении способ определения устойчивой работы данного усилителя. Под. устойчивой работой здесь понимается работа без самовозбуждения. Поскольку в большинстве применений операционных усилителей используются петлевые коэффициенты усиления, большие единицы, искомый критерий устойчивости надо сформулировать в терминах угла сдвига фазы и петлевого коэффициента усиления. Для усилителя, частотная характеристика которого . дана на рис. 4.12, рассмотрим случаи, когда выполняется одно из трех условий: 1) fo. с попадает на спад с крутизной 6 дБ/октава; 2) fo. с попадает на спад с крутизной 12 дБ/октава; 3) fo.c попадает на спад с крутизной 18 дБ/октава.

Для вычисления угла сдвига фазы петлевого коэффициента усиления будем использовать ту информацию об углах сдвига фазы, которая содержится в общих выражениях для петлевого коэффициента усиления и фазового угла (4.11). Угол сдвига фазы петлевого коэффициента усиления будем обозначать, как. и выше, через 0. Амплитуду петлевого коэффициента усиления вычислять не будем, поскольку ее всегда можно получить из диаграммы Боде, и во всех трех случаях она окажется больше единицы.

Пример 4.5. Согласно рис. 4.12, частота fi операционного усилителя равна 2 кГц; я fs - сопрягающие частоты каких-то его каскадов (в данном случае нам безразлично, каких именно). Укажем, что /г = 40 кГц, fs = 160 кГц н fcp = 480 кГц. Определим, исследуя G, устойчив ли операционный усилитель при следующих значениях коэффициента усилении при замкнутой цепи.об- ратной связи:

Случай I. Коэффициент усиления при замкнутой цепи обратной связи равен 55 дБ, петлевой коэффициент усиления равен 24 дБ, что больше единицы, п fee ~ fio. с = 31 кГц. Отметим, что fo. с очень близка к fs. т. е. к частоте, на которой скорость спада становится равной 12 дБ/октава. Вычисляя сдвиг фазы петлевого коэффициента усиления, получим

в = - arctg (31 кГц/2 кГц) - arclg (31 кГц/40 кГц) - arclg (31 кГц/160 кГц) =

= - 86,3° -37,8°- 11° = - 135,1 < 180°-

Запас устойчивости по фазе в этом случае составляет 180°-135,Г = = 44,9°. Положительный запас по фазе при Лр 1 гарантирует устойчивость. Таким образом, усилитель устойчив. Заметим, что если коэффициент-усиления с замкнутой цепью обратной связи совпадает с амплитудно-частот-иой характеристикой разомкнутого усилителя в точке, где скорость спада. , равна 6 дБ/октава, то усилитель обязательно является устойчивым. Исходя.

3 5 6 7 8 10

20 30 Ф 60 60 ВО 100

200 300 т 6П0 700 ПОО 5 ср

Цаг.тпта кГц

Рис. 4.12. Частотная х^....,.эристика операционного усилителя (пример 4.5).

из этого, всегда можно по диаграмме Боде найти без каких-либо вычислений те значения коэффициента усиления с замкнутой цепью обратной связи, при которых усилитель обязательно устойчив. Например, усилитель, частотная характеристика которого показана на рис. 4.12, будет устойчивым при любом значении коэффициента усиления с замкнутой цепью обратной связи, лежащем в интервале между 53 и 79 дБ.

Случай 2. Б этом случае рассмотрим две возможности: а) /о. с чуть больше /г; б) fo. с лежит ближе к fs.

Случай 2а. К = 50 дБ, петлевой коэффициент усиления равен 29 дБ, что больше единицы, и fo. с = 43,5 кГц. Найдем 9:

е = - arctg (43,5 кГц/2 кГц) - arctg (43,5 кГц/40 кГц) - arctg (43,5 кГц/160 кГц) =

= - 87,37 ° - 47,4° - 15,2° = - 149,97 °.

Это состояние устойчиво, так как 9< 180°, и запас . устойчивости по фазе положителен.

Случай 26. К = 35 дБ, Л р = 44 дБ > 1 и fo. с = 115 кГц. Найдем в

е = -arctg (115 кГц/22 кГц) - arctg (115 кГц/40 кГц) - arctg (115 кГц/160 кГц)=

= - 89 ° - 71,8 ° -г- 35,8° = -196,6 °.

Б этом случае запас устойчивости по фазе (180°- 196,6° = -16,6°) отрицателен. Поскольку G > 180°, усилитель при К = 35 дБ будет самовозбуж* даться.

. ) Под звоном понимаются затухающие колебания на выходе при импульсном входном воздействии. - Ярил. ред.

Итак, если коэффициент усиления с замкнутой цепью обратной связи совпадает с амплитудно-частотной характеристикой разомкнутото операционного усилителя в точке, где коэффициент усиления операционного усилителя убывает со скоростью 12 дБ/октава, то усилитель может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Поэтому приходится вычислять G для всех значений К, которые попадают на этот участок характеристики. Лучше всего избегать режимов работы на участках с наклоном 12 дБ/октава.

Случай 3. К = 25 дБ, Лр = 54 дБ > 1 и fc с = 190 кГц. Иг/-ем

е= -arctg(190 кГц/2 кГц) - arctg(190 кГц/40 кГц) - arctg (190 кГц/160 кГц)=

= - 89,4 ° - 78,3 - 49,9 ° = -217,6 °

Б этом случае запас устойчивости по фазе равен 180° - 217,6° = -37,6°, т.е. отсутствует. Это означает, что, когда /о. с оказывается на участке со скоростью спада усилителя, равной 18 дБ/октава, G > 180° и самовозбуждение неизбежно. Этой ситуации следует всегда избегать.

Теперь можно коротко сформулировать условия устойчивости в терминах положения точки совпадения коэффициента усиления при замкнутой цепи обратной связи и амплитудно-частотной характеристики операционного усилителя. Ьсш в точке совпадения скорость спада равна:

а) -6 дБ/октава, то усилитель устойчив;

б) -12 дБ/октава, то усилитель близок к потере устойчивости;

в) г-18 дБ/октава, то усилитель неустойчив.

Вопрос. Каково наименьшее значение К, при котором устойчиво работает усилитель, частотная, характеристика которого дана на рис. 4.8 Ответ состоит в том, что минимальное К = 53 дБ, так как это наименьший коэффициент усиления, при котором скорость спада еще равна -6 дБ/октава.

4.4.6. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ПО ФАЗЕ

Часто критерий устойчивости выражают через запас устойчивости по фазе. Запас устойчивости по фазе равен Эзап = = 180°-Ь 0 = 180° -10. Положительный запас устойчивости по фазе является показателем устойчивости. Например, в случае 1 9зз = 180°- 135,1° = 44,9°, что указывает на устойчивость. Для получения максимально быстрого отклика на импульсный входной сигнал и одновременно исключения звона или неустойчивости желательно иметь запас устойчивости по фазе порядка 45°)

4.4.7. СКОРОСТЬ НАРАСТАНИЯ

Скорость нарастания определяется как максимальная скорость изменения выходного напряжения по времени:

V = скорость нарастания = (А(/вых/ДОмакс- (4-12)

Обычно скорость нарастания выражают в вольтах в микросекунду (В/мкс).

88 Глава 4

Ответить мгновенно на изменение входного напряжения усилитель не может из-за своих внутренних емкостей. Эти емкости надо успеть зарядить, но скорость их заряда ограничена, а тем -самым ограничена и скорость изменения выходного напряжения. Скорость нарастания отличается от частотных ограничений тем, что частота среза - это ограничение, относящееся к усилению слабых сигналов, в то время как скорость нарастания - это мера способности усилителя отрабатывать без искажений большие сигналы. Эта последняя способность зависит и от частоты.

Рис. 4.13. Результат превышения скорости нарастания.

а - искажение прямоугольного сигнала.----входной,- выходной сиг

нал; б - искажение синусоидального сигнала. - входной, -выходной

сигнал.

и от выходного напряжения. Эффекты, связанные со скоростью нарастания, приводят к изменениям коэффициента усиления и потому вызывают большие искажения. Характер искажений, вносимых в выходной сигнал, когда скорость изменения сигна--ла превышает скорость нарастания, показан на рис. 4.13.

Если требуется использовать полную полосу пропускания усилителя, то приходится иметь достаточно малое выходное напряжение, чтобы избежать превышения скорости нарастания. ..Для соблюдения этого правила надо знать, как связаны частота выходного напряжения и скорость нарастания.

Для синусоидального сигнала мгновенное значение напряжения можно записать в виде U = UaSin2nft, где Ua - амплитуда сигнала. Скорость нарастания определяется выражением V = {AU/At)макс, поэтому продифферснцируем мгновенное значение напряжения по времени и получим скорость его изменения dU/dt - 2nfUaCos2nft. Нас интересует значение {dU/dt)какс, которое функция dU/dt принимает при прохождении сигнала через нуль, если сигнал имеет синусоидальную форму. В точке пересечения нулевого уровня выполняется условие cos2nf<= I; следовательно, для определения б'а и f получим уравнение

{dU/dt), , = 2nfUa = V. (4.13)

пример 4.6. Рассчитать максимальную амплитуду синусоидального выходного напряжении, которое иа частоте 1 МГц можно получить без искажений на выходе усилители, имеющего скорость нарастания V = 20 В/мкс (предпала-.гается, что частота 1 МГц лежит в полосе пропускания усилителя).