4.02. Идеальный рабочий режим £С-фильтра

Как было показано в гл. 1, фильтры, построенные из конденсаторов н катушек индуктивности, могут иметь весьма заостренные характеристики. Примером этого может служить параллельный резонансный /,С-контур. Включение в конструкцию катушек индуктивности дает возможность создать фильтр с любой желаемой близостью участка

12 14 16 18 20 ZZ 24 Частота, т^Гц

Рис. 4.3.

Вверху: пассивный полосовой фильтр с хорошими параметрами, построенный нз конденсаторов и катушек индукгипносгн; емкость указана в пФ, индуктивность - в мГн. Внизу: экспериментально измеренная характеристика этого фильтра. (На основе рис. И н 12 из статьи Orchard Н. J., Sheahan D F IEEE Journal of soUd-state curcuits, SC-5, No. 3 (1970).)

характеристики в полосе пропускания к горизонтальной прямой в сочетании с резкостью перехода и крутизной спада вне полосы пропускания. На рис. 4.3. приведены в качестве примера телефонный фильтр и его характеристика.

Очевидно, введение катушек индуктивности в схему дает некий магический эффект, который без них не может быть достигнут. По терминологии теории цепей, эта магия заключается в применении внеосе-вых полюсов . Тем не менее сложность фильтра возрастает по мере возрастания требований к горизонтальности и ровности характеристики в полосе пропускания и к крутизне спада вне ее, приводя к увеличению числа компонент по сравнению с предыдущим фильтром. Переходная и фазовая характеристики, вообще говоря, ухудшаются по мере приближения амплитудной характеристики к идеальной прямоугольной фор.ме.

Синтез фильтров из пассивных эле.ментов {R, L, С) - хорошо разработанная область [см., например, авторитетный справочник Зверева (тематические ссылки в конце книги)]. Единственной проблемой-

является то, что катушки индуктивности в качестве элементов схемы часто оставляют желать лучшего. Они нередко бывают дорогими и громоздкими, далеки от идеала, поскольку ведут к потерям , т. е. имеют значительное сопротивление, равно как и другие патологии , такие, как нелинейность, паразитная емкость обмотки, чувствительность к магнитным помехам. Нужно найти способ построения фильтра без катушек индуктивности с характеристиками идеального RLC-фильтра.

4.03. Введение в активные фильтры: обзор

Используя в качестве элемента схемы фильтра ОУ, можно синтезировать характеристику любого RLC-филътра без применения катушек индуктивности. Такие безындукционные фильтры известны под названием активные фильтры благодаря включению в их схему активного элемента(усилител с).

Активные фильтры можно использовать в качестве фильтров низких частот, фильтров высоких частот, полосовых и полосоподавляющих фильтров, выбирая тип фильтра в зависимости от наиболее важных свойств характеристики, таких, как равномерность усиления в полосе пропускания, крутизна спада или независимость временного запаздывания от частоты (далее об этом подробнее). Добавим, что можно построить как фазовый фильтр с плоской амплитудной характеристикой, но сшитой фазой (он также известен как фазовыравниватель ), так и наоборот - фильтр с постоянным фазовым сдвигом, но со сшитой амплитудной характеристикой.

Преобразователи отрицательного полного сопротивления и гираторы. Есть два интересных схемных элемента, которые следует упомянуть в любом обзоре: это - преобразователь отрицательного полного сопротивления и гиратор. Эти устройства могут имитировать свойства катушек индуктивности, хотя в них используются только конденсаторы и резисторы совместно с ОУ. Раз это так, то мы можем делать безындукционные фильтры с идеальными свойствами RLC-фильтров - это по крайней мере один способ построения активных фильтров.

Преобразователь отрицательного полного сопротивления преобразует полное сопротивление в ему противоположное (т. е. с обратным знаком), в то время как гиратор преобразует полное сопротивле-

, . . п / ние в обратное (т. е. емкость в индук-

Рис. 4.4. Преобразователь (кон- S :,~

вертер) отрипательного полного тивность). Следующее упражнение помо-

сопротивления. жет уяснить, как это происходит.

Упражнение 4.1. Покажите, что схема, изображенная на рис. 4.4, есть преобразователь отрицательного полного сопротивления, в частности что Zgx=-Z. Указание: подайте на вход какое-нибудь напряжение и вычислите ток входа. Затем возьмите ия отношение, чтобы найти Z =UlI.

попе -{

I- попе -а

Ьо-1 , 1Z1

Рис. 4.5. Схема гиратора, построенная на основе преобразователей отрицательного полного сопротивления.

Упражнение 4.2. Покажите, что схема, изображенная на рис. 4.5, есть гиратор, в частности что Z=R4Z. Указание: эту схему можно рассматривать как набор делителей напряжения, начиная справа.

Таким образом, преобразователь отрицательного полного сопротивления превращает конденсатор в обратную катушку индуктивности:

Zc= 1 сйС Zbx = шС

в том смысле, что генерируемый ток запаздывает относительно приложенного напряжения, но его полное сопротивление имеет неправильную частотную зависимость (при возрастании частоты оно не растет, а убывает). Гиратор, напротив, превращает конденсатор в элемент о истинной индуктивностью:

индуктивность которого L=CR

Существование гиратора делает интуитивно ясным тот факт, что можно построить безындукционный фильтр, имитирующий любой фильтр, использующий катушки индуктивности: просто заменить каждую катушку гиратированным конденсатором. Это - вполне корректное применение гираторов, и ранее упомянутый телефонный фильтр построен именно таким способом. Кроме того, простая вставка гираторов в существующие /LC-схемы позволяет создавать много иных конфигураций фильтров. Проектирование активных безындукционных фильтров - весьма активно развивающаяся область, и описания новых конструкций появляются в журналах каждый месяц.

Фильтры Саллена и Кея. На рис. 4.6. приведен пример простого фильтра, построенного даже отчасти из интуитивных соображений. Он известен как фильтр Саллена и Кея, по имени изобретателей. В качестве усилителя с единичным коэффициентом усиления может быть взят ОУ, включенный в режиме повторителя, или просто эмиттерный

Напомним читателю, что 1 = /*= (-1)=-/.-Яриле. ред.

повторитель. Данный фильтр является двухполюсным фильтром верхних частот. Заметьте, что это был бы просто двухкаскадный RC-фильтр, если бы первый резистор не был соединен с выходом. Легко видеть, что на очень низких частотах спад характеристики такой же,

как у iC-фильтра, поскольку выходной сигнал практически равен нулю. Рост выходного сигнала при увеличении частоты приводит к уменьшению ослабления в результате действия этого соединения, и за счет этого заостряется излом характеристики. Конечно, такое объяснение на пальцах не может заменить полного расчета, уже, к счастью, проделанного для огромного числа хороших фильтров. Мы вернемся к схемам активных фильтров в разд. 4.06.

Рис. 4.6.

4.04. Критерии режима работы фильтра Кея

При анализе фильтров и при расчетах их параметров всегда используются некоторые стандартные термины. Имеет смысл придерживаться их с самого начала.

Частотная область. Наиболее очевидной характеристикой фильтра является зависимость коэффициента усиления от частоты; типичный случай - характеристика фильтра низких частот, показанная на рис. 4.7.

Полоса лро-пдскания

Размах туульсации

Полоса подавления

Частота (лог. масштаб)

Частота

Частота

Рис. 4.7. Частотные характеристики фильтров.

а - коэффициент усиления (логарифмический масштаб), бив дывание (линейный масштаб).

сдвиг фазы и временное запаз-

Полоса пропускания -область частот, которые сравнительно мало ослабляются фильтром. Чаще всего считается, что полоса пропускания простирается до точки, соответствующей значению -3 дБ, но для некоторых фильтров (среди них наиболее замечательны фильтры с постоянной неравномерностью или равновеликими пульсациями ) граница полосы пропускания может быть определена несколько

иначе. Внутри полосы пропускания характеристика может быть неравномерной, или пульсирующей, с определенной полосой пульсаций или неравномерностью характеристики, как это показано на рисунке. Частота среза есть конец полосы пропускания. Далее характеристика фильтра проходит через переходную область, известную также

0.5 1,0 1,5 Нормированная частота (лин. масштаб)

Рис. 4.8. Фазовая и амплитудная характеристики 8-полюсного фильтра Чебытева нижних частот. Размах пульсаций (неравномерность) 2 дБ.

как склон характеристики фильтра к полосе подавления - области значительного ослабления. Полоса подавления определяется некоторым минимальным ослаблением, т. е. 40 дБ.

Наряду с характеристикой коэффициента усиления в частотной области важен и другой параметр - сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входному. Другими словами, нас интересует комплексная характеристика фильтра, обозначаемая обычно Н (s), где s=/co; s и Я - комплексные величины. Фаза важна постольку, поскольку сигнал, целиком умещающийся по частоте в полосе пропускания, будет искажен, если временное запаздывание при прохождении через фильтр не будет постоянным для различных частот. Постоянное время задержки (для всех частот) соответствует линейному возрастанию сдвига фазы в зависимости от частоты, поэтому термин фильтр с линейной фазой применяется к идеальному в этом отношении фильтру. На рис. 4.8 показаны типичные графики сдвига фазы и коэффициента передачи для фильтра низких частот, который явно не являет-я линейно-фазовым. Графики сдвига фазы лучше всего строить в ли-Чейном по частоте масштабе.

Временная область. Свойства фильтров, как и любых схем пере-leHHoro тока, могут быть описаны заданием параметров во временной области: временем нарастания, выбросом, пульсациями (автоколебаниями) и временем установления. Эти свойства важны, в частности, м. где могут использоваться импульсные переходные процессы.

На рис. 4.9. показана типичная переходная характеристика фильтра низкой частоты. Время нарастания - это время, необходимое для достижения 90% конечного значения, в то время как время установления - это время, необходимое

Ьстановление 5%

Время-

Рис. 4.9.

i -Р™ ДЛЯ того, чтобы попасть в неко-

торую окрестность конечного значения и там остаться. Выброс и автоколебания - это нежелательные свойства фильтра, смысл которых ясен из их названий.

4.05. Типы фильтров

Предположим, что нам нужен фильтр низких частот с плоской характеристикой в полосе пропускания и резким переходом к полосе подавления. Окончательный наклон характеристики-скорость спада уже в полосе запирания - всегда будет 6 дБ/октава, где п - число полюсов . На каждый полюс понадобится один конденсатор или катушка индуктивности, поэтому требования к окончательной скорости спада, грубо говоря, определяют сложность фильтра.

Предположим, что вы решили использовать 6-полюсный фильтр низких частот. Ва.м гарантирован окончательный спад 36 дБ/октава на высоких частотах. Теперь можно оптимизировать схему фильтра в смысле выравнивания характеристики в полосе проггускания за счет уменьшения скорости перехода от полосы пропускания к полосе запирания. С другой стороны, допуская некоторую nepaBHOMepnoctb характеристики в полосе пропускания, можно добиться более крутого перехода от полосы пропускания к полосе подавления. Третий критерий, который может оказаться важным,- это способность фильтра пропускать сигнал со спектром, лежащим в полосе пропускания, без искажений его формы, вызываемых сдвигами фаз. Можно также интересоваться временем нарастания, выбросом и временем установления.

Существуют схемы фильтров, пригодные для оптимизации любой из этих характеристик или их комбинаций. На само.м деле разумный выбор фильтра происходит не так, как описано выше; как правило, сначала задается требуемая равномерность характеристики в полосе пропускания и необходимое ослабление на некоторой частоте вне полосы пропускания и т. д. После этого выбирается наиболее подходящая схема с количеством полюсов, достаточным для того, чтобы удовлетворялись все требования. В следующих нескольких разделах мы рассмотрим три широко применяемых типа фильтров: фильтр Баттерворта (наиболее плоская характеристика в полосе пропускания), фильтр Че-бышева (наиболее крутой переход от полосы пропускания к полосе подавления) и фильтр Бесселя (наибольшее постоянство временного за-

паздывания). Любой из этих фильтров может быть реализован с помощью различных схем; некоторые из них мы позже обсудим. Все они равным образом годятся для построения фильтров нижних частот, верхних частот и полосовых фильтров.

Фильтры Баттерворта и Чебышева. Фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой уменьшения крутизны спада от полосы пропускания к полосе подавления . Как будет показано дальше, у него также плохая фазовая характеристика. Амплитудная характеристика задается формулой

выx/вx=l/Гl+(Ш^ ]

где п - порядок фильтра (число полюсов). Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как показано на рис. 4.10.

0.1

0.01

0,001

Нормированная частота

Рис. 4.10. Нормированные характеристики фильтров нижних частот Баттерворта.

Обратите внимание иа увеличение крутизны спада характеристики с увеличевиеи порядка фильтра.

Применяя фильтр Баттерворта, мы ради максимально плоской характеристики поступаемся всем остальным. Его характеристика начинается горизонтально от нулевой частоты и резко спадает вниз на сопрягающей частоте - это частота, соответствующая значению -3 дБ.

В большинстве приложений самым существенным обстоятельством является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна превышать определенной величины, скажем 1 дБ.

ред. 9 ле, я(1л

При заданном порядке фильтра и по сравнению с другими их типами.- Прим,

Фильтр Чебышева отвечает этому условию, при этом допускается неравномерность характеристики во всей полосе пропускания, но сильно увеличивается острота ее излома. У фильтра Чебышева задаются число полюсов и неравномерность в полосе пропускания. Допуская увеличение неравномерности в полосе пропускания, получаем более острый излом. Амплитудная характеристика этого фильтра дается формулой

Bb,x/t/sx=l/[H-eC {flfc)Y\

где С„ - полином Чебышева первого рода степени /г, а 8 - константа, определяющая неравномерность характеристики в полосе пропускания. Фильтр Чебышева, как и фильтр Баттерворта, имеет фазовые характеристики, далекие от идеальных.

Нормированная частота

Нормированная частота

Рис. 4.11. Сравнение характеристик некоторых обычно применяемых 6-по-люсных фильтров нижних частот.

Характеристики одних и тех же фильтров изображены и в логарифмическом (слева), и в линейном (справа) масштабе. / - фильтр Бесселя; 2 - фильтр Баттерворта; 3 - фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ).

На рис. 4.11. представлены для сравнения характеристики 6-по-люсных фильтров нижних частот Чебышева и Баттерворта. Как легко заметить, и тот, и другой намного лучше 6-полюсного /?С-фильтра.

На самом деле фильтр Баттерворта с его ровной характеристикой в полосе пропускания не столь привлекателен, как это может показаться, поскольку в любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью характеристики в полосе пропускания (для ()ильтра Баттерворта это будет постепенное понижение характеристики возле /( а для фильтра Чебышева - пульсации, распределенные по всей полосе пропускания). Кроме того, активные фильтры, построенные из элементов, параметры которых выдержаны с некоторым допуском, будут иметь характеристику, отклоняющуюся от расчетной, а это значит, что в действительности на характеристике фильтра Баттерворта всегда будет иметь место некоторая неравномерность в полосе пропускания. На рис. 4.12 проиллюстрировано влияние наиболее нежелательных отклонений значения емкости конденсатора и сопротивления резистора на характеристику фильтра.

Частота, пин. масштаб

Рис. 4.12. Влияние изменений параметров элементов на характеристику активного фильтра.

В свете изложенного весьма рациональной конструкцией является фильтр Чебышева. Иногда его называют фильтром равных пульсаций, так как его характеристика в области перехода имеет большую крутизну за счет того, что по полосе пропускания распределено несколько равновеликих пульсаций, число которых возрастает вместе с порядком фильтра. Даже при сравнительно малых пульсациях порядка 0,1 дБ фильтр Чебышева обеспечивает намного большую крутизну излома характеристики, чем фильтр Баттерворта. Чтобы выразить эту разницу количественно, предположим, что нам нужен фильтр с неравномерностью характеристики в полосе пропускания не более чем 0,1 дБ и ослаблением 20 дБ на

частоте, отличающейся на 25% от конечной частоты полосы пропускания. Расчет показывает, что для этой цели требуется 19-полюсный фильтр Баттерворта или всего лишь 8-полюсный фильтр Чебышева.

Мысль о том, что можно мириться с пульсациями характеристики в полосе пропускания ради увеличения крутизны переходного участка, доводится до логического завершения в идее так называемого эллиптического фильтра (фильтра Койе), допускающего пульсации характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе подавления ради получения крутизны переходного участка большей, чем даже у характеристики фильтра Чебышева. С помощью ЭВМ можно проектировать эллиптические фильтры так же просто, как и классические фильтры Чебышева и Баттерворта.

Фильтры Бесселя. Как было указано ранее, амплитудная характеристика фильтра не дает о нем полной информации. Фильтр с плоской амплитудной характеристикой может иметь большие сдвиги фаз. В результате этого форма сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, будет искажена при прохождении через фильтр. В ситуации, при которой форма сигнала имеет первостепенную важность, желательно иметь в распоряжении линейно-фазовый фильтр (фильтр с постоянным временным запаздыванием). Требование линейного изменения сдвига фазы в зависимости от частоты эквивалентно требованию постоянства временного запаздывания для сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, т. е. отсутствия искажений формы сигнала. Наиболее плоский участок кривой временного запаздывания в полосе пропускания имеет фильтр Бесселя (также называемый фильт-

о <0

to о

ром Томсона), подобно тому как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую амплитудную характеристику. Чтобы понять, какое улучшение во временной области дает фильтр Бесселя, посмотрите на рис. 4.13, на котором изображены графики временного запаздывания для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя и Баттерворта. Плохая характеристика временного запаздывания фильтра Баттерворта является причиной эффектов 8г типа выброса при прохож-

дении через фильтр импульсных сигналов. С другой стороны, за постоянство временного запаздывания у фильтра Бесселя приходится расплачиваться тем, что его амплитудная характеристика имеет еще более пологий переходный участок между полосой пропускания и полосой запирания, чем характеристика 2.0 фильтра Баттерворта.

Существуют многочисленные схемы фильтров, в которых делаются попытки улучшить временную характеристику фильтра Бесселя, частично жертвуя постоянством временного запаздывания ради уменьшен ния времени нарастания и улучшения амплитудно-частотной характеристики. Гауссовы фильтры имеют почти столь же хорошие фазовые характеристики, как и фильтры Бесселя, но при улучшенной переходной характеристике. Другой интересный класс представляют собой фильтры, позволяющие добиться одинаковых по величине пульсаций кривой временного запаздывания в полосе пропускания аналогично пульсациям амплитудной характеристики фильтра Чебышева и обеспечивающие примерно одинаковое запаздывание для сигналов со спектром вплоть до полосы подавления. Еще один подход к созданию фильтров с постоянным запаздыванием - это применение фазовых фильтров, называемых иначе фазовыравнивающими. У этих фильтров амплитудно-частотная характеристика постоянна, а сдвиг фазы может меняться согласно конкретным требованиям. Поэтому их можно применять для выравнивания временного запаздывания любых фильтров, в частности фильтров Чебышева и Баттерворта.

Сравнение фильтров. Фильтр Бесселя, несмотря на высказанное замечание о его переходной характеристике, все же обладает очень хорошими свойствами в^ временной области по сравнению с фильтра-

0,2 0.4 0,G 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Частота, рад/с

Рис. 4.13. Сравнение временных запаздываний для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя (/) и Баттерворта (2).

Фильтр Весселя благодаря своим превосходным свойствам во времеиибй области дает наименьшее искажение формы сигнала.