Примечания редактора перевода 36Г

В силу данного определения точке поворота диаграммы стационарных решений отвечает бифуркация типа седло -узел (см. § 2.2).

l Векторы h°, ..., h -, как правило , линейно независимы, если у матрицы А все собственные числа Xk различны. Если А имеет кратные X, (без жордановых клеток), то А'* всегда линейно зависимы. Имеется два варианта придания точного смысла утверждению о маловероятности .

1) Предположить, что А не имеет кратных собственных значений. Тогда наугад выбранный вектор h° дает невырожденную систему (5.3.7): нужно, чтобы все коэффициенты разложения h° по собственным векторам А были отличны от нуля.

2) Считать, что матрица А тоже выбрана наугад . Тогда с вероятностью 1 все Я, (А) будут различны. Точный смысл последнего утверждения таков. В iV-MepHOM пространстве матриц {N = п^) матрицы с кратными собственными числами лежат на многообразиях размерности меньше N (при отсутствии в матрицах жордановых клеток эта размерность не более N - 3).

Авторы не касаются здесь вычислительных аспектов процесса интерполирования и ограничиваются предложением наблюдать за уклонением ац от 1. Отсылая заинтересованных читателей к учебникам [14*], [16*]*, отметим лишь, что прн больших п (п > 10) выбор равноотстоящих узлов So, .., s очень плох.

Повторяя сказанное ниже авторами, подчеркнем еще раз: название-этого параграфа шире его содержания. Речь идет здесь только о нахождении бифуркационного значения параметра (и соответствующих координат положения равновесия), а не о численном изучении самой бифуркации. См. также замечания авторов в конце п. 5.8.4 н примечание 13 ниже.

Целесообразно сохранить на этих линиях отдельные точки, отвечающие более сложным бифуркациям. Таким образом, имеет смысл изображать: а) линии кратности - совокупность всех точек (а, Р), для которых какое-нибудь нз положений равновесия имеет нулевое собственное число; б) линии нейтральности - совокупность всех точек (а, Р), для которых какое-нибудь положение равновесия имеет чисто мнимые собственные числа.

Последние несколько абзацев - единственное место в книге, где коротко затрагиваются основные алгоритмические вопросы, связанные с бифуркацией Андронова - Хопфа. А именно:

1) Как определить, при а < а* или при а > а* происходит рождение цикла из положения равновесия (здесь а' - критическое значение параметра)?

2) Как найти родившееся периодическое решение при а -а'=б<1? Существующие для этой цели программы используют асимптотику цикла

прн 60: определяют, в какой двумерной плоскости (приближенно) лежит родившийся цикл н к какому эллипсу он близок. Эти программы достаточно сложны.

Предлагаемый авторами эвристический подход много проще. Априорно судить об успешности этого подхода трудно, и здесь разумно положиться на вычислительный опыт авторов. Заметим лишь, что вполне независимо вь!- бирать 8 и б нельзя. Родившийся цикл имеет размеры ~ V6 ,h прн e>VS он не будет пересекать плоскость Х/ - х^ + е.

См. дополнительный список литературы.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

А Книги, близкие по теме к этой книге

За рубежом издано несколько таких книг, укажем здесь три из них, вышедшие в свет в последние годы [1*] Reinboldt, W С Numerical Analysis of Parametrized Nonlinear Equations - John Wiley, New York, 1986 [2*] Seydel, R From Equilibrium to Chaos Practical Bifurcation and Stabi

lity Analysis - Elsevier, New York/Amsterdam/London, 1988 [3] Roose, D, De Dier, B, Spence, A (eds) Continuation and Bifurcations Numerical Techniques and Applications - Kluwer Academic Publishers, Dodrecht/Boston/Londoii, 1990

fi Теория бифуркаций

[4*] Базыкии A Д, Кузнецов Ю А, Хибник А И Портреты бифурка ций -М Знание, 1989 (брошюра из научно-популярной серии Математика Кибернетика )

[5*] Арнольд В И Теория катастроф, 3 изд -М Наука, 1990 (п п 1, 5, 6 и дополнение) Обзор, рассчитанный более на математиков

[6*] Арнольд В И, Афраймович В С , Ильяшенко Ю С, Шильников Л П Теория бифуркаций В кн Современные проблемы математики Фундаментальные направления , т 5 -М Изд во ВИНИТИ, 1986

В Хаотические режимы в системах малой размерности

Сложное ( хаотическое ) поведение простых систем в последние годы интенсивно изучалось математиками и физиками По этой теме написано уже много Ниже указаны несколько публикаций (разных жанров) В некоторых из них имеется обширная библиография [7*] а) Гапонов Грехов А В , Рабинович М И Хаотическая динамика про стых систем Природа , 1981, Я 2, с 54 б) Синай Я Г Случайность неслучайного Природа , 1981, Я 3, с 72

Шустер Г Детерминированный хаос Введение -М Мир, 1988 Анищенко В С Сложные колебания в простых системах - М Наука, 1990

[10*] Неймарк Ю И, Ланда П С Стохастические и хаотические колебания - М Наука, 1987

[11*] Holden, А. (ed.) Chaos. - Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1986.

[12*] Афраймович В. С, Рейман А. М. Размерность и энтропия в многомерных системах. В кн.: Нелинейные волны. Динамика и эволюция - М.: Наука, 1989, с. 238.

Г. Книги по вычислительной математике.

Дополнительно к учебникам и монографиям, названным в списках литературы к отдельным главам, укажем несколько книг на русском языке. Они рассчитаны на читателей, имеющих разную подготовку и разные интересы: от введения в предмет, предназначенного студентам разных специальностей, до монографии, рассчитанной на математиков.

13*] Самарский А. А. Введение в численные методы.-М.: Наука, 1987. 14* Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. 15* Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. 16*] Бахвалов Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.- М.: Наука, 1987.

[17*] Бабенко К. И. Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986.

Специально численным методам рещения обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены книги, вышедшие недавно в русском переводе: [18*] Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. [19*] Хайрер 3., Нёрсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.-М.: Мир, 1990. Вычислительные методы изучения хаотического поведения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, рассматриваются-в монографии:

[20*] Parker, Т. S., Chua, L. О. Practical Numerical Algorithms for Chaotic-Systems. - Springer-Verlag, New York, 1989. (Издательством Наука готовится русский перевод.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода ....... ........ 5

Предисловие....................... 9

Глава 1. Введение.....................11

Литература.....................19

Глава 2. Бифуркации в нелинейных динамических системах ..... 20

2.1. Введение..................... 20

2.2. Бифуркации положений равновесия........... 30

2.3. Бифуркации периодических решений.......... 39

2.4. Предельные множества траекторий . .......... 52

2.5. Показатели Ляпунова................ 55

2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными ... 62 Литература......................71

Глава 3. Ветвление состояний равновесия иа диаграмме решений ... 73

3.1. Диаграмма стационарных решений........... 73

3.2. Ветвление в точках бифуркации. Одномерный случай .... 76

3.3. Ветвление в точках бифуркации. Многомерный случай ... 78

3.4. Заключительные замечания.............. 81

Литература...................... 83

Глава 4. Математические модели ..............84

4.1. Построение математических моделей.......... 84

4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами........93

4.3. Задачи С распределенными параметрами.........ПО

Литература...................... 125

Глава 5. Численные методы и алгоритмы, используемые для анализа нелинейных систем с сосредоточенными параметрами ........ 128

5.1. Стационарные решения...............129

5.2. Зависимость стационарных решений от параметра - диаграмма решений...................134

5 3 Исследование устойчивости стационарных решений 149 5 4 Точки ветвления стационарных решений Вешественная бифуркация . . ..... ...... 156

5 5 Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа) . ... 177

5 6 Бифуркационная диаграмма 187

5 7 Методы моделирования динамических систем...... 195

5 8 Вычисление периодических решений в автономном случае . 205

5 9 Хаотические аттракторы .......... 238

5 10 Квазистационарное поведение динамических моделей . 247 5 11 Расчет и анализ периодических решений в неавтономных

случаях ........... 256

5 12 Задачи . ............ 264

Литература ...............270

Глава 6. Численные методы и алгоритмы, используемые для анализа систем с распределенными параметрами . . 272

6 1 Стационарные решения (методы решения нелинейных крае-

вых задач) . . ...... ... 273

6 2 Зависимость стационарных решений от параметра . . . 291

6 3 Нахождение точек ветвления ...... ... 312

6 4 Методы динамического моделирования параболических уравнений . . . ..... ... .328

6 5 Периодические решения в распределенных системах . . 340 6 6 Квазистационарное поведение распределенных систем . . . 352

6 7 Задачи ............... 355

Литература . . .............357

Примечания редактора перевода....................359

Дополнительная литература......................362