2. Можно рассматривать одиночную частицу катализатора-с коэффициентами формы а = 0, 1,2.

3. Концентрация исследуемой компоненты остается постоянной на всей внешней поверхности частицы; мы будем обозначать эту концентрацию как Cs. Аналогично, соответствующую-постоянную температуру мы обозначим Т^. Концентрация и температура в ядре текущей жидкости (св и Гв) также считаются постоянными. Тепло- и массообмен на внешней поверхности частицы может быть описан с помощью постоянных коэффициентов теплоотдачи а и массоотдачи kc- При указанных предположениях уравнения баланса массы и энтальпии принимают вид

= ОУс-г{с,Т), (Р16-1)

Ср = куТ + {-АН,)-г{с, Т). (Р16-2>

Здесь Ср - теплоемкость на единицу объема псевдогомогенной реагирующей среды катализатор-реакционная смесь и (-АЯг) - теплота реакции.

Рассмотрим теперь каталитическую реакцию с соотношением для скорости реакции, задаваемым в форме

r = kcexp{-E/RT).

Если рассматривать введенные выше формы частиц катализатора, то уравнения баланса (Р16-1) и (Р16-2) можно переписать в виде

рЖ=={ + Т^) + (-А-) (-W). (Р16-4)

Граничные условия, описывающие перенос тепла и массы на внешней поверхности частицы, имеют вид (R может обозначать, например, радиус частицы)

x = R: kAcB-c) = D,. (Р16-5)

а(П-Т) = К^, (Р16-6)

При этом соответствующие профили концентрации и температуры считаются симметричными относительно центра частицы (х =0) и, следовательно,

i-н^cD Ik к

(PI 6-9)

Б этих переменных уравнения баланса в безразмерной форме перепишутся так:

f = + ff+ V.exp(). (Р.6.,1,

Граничные условия при этом принимают вид />0, г=1: +

0-64-

/>0, г = 0: -,= = 0. (Р16-13)

Если интенсивность тепло- и массообмена на внешней поверхности частицы оказывается высокой (Sh-oo, Nu-oo, Cs = Cb, 7s = 7b), to граничные условия (P16-13) переходят в условия

y(l,t)=l, 0(1,0 = 0. (Р16-14)

Формула Пратера (Р16-8) в этом случае приобретает вид

@ = Ут-у). (Р16-15)

Задача 16 имеет в общем случае 7 параметров: у, р, Ф, а, Lw, Sh, Nu.

Применяя уравнения (Р16-3), (Р16-4) к случаю установившегося состояния, можно получить соотношение между концентрацией и температурой внутри частицы

Г-Гs = (-AЯг)-(cs-c), (PI6-8)

которое принято называть формулой Пратера [Ts и Cs -соответственно температура и концентрация на поверхности частицы).

Введем безразмерные переменные

r = xlR, у^с/св, в = -(Г-Гв), Y = -J-.

г dr dz

Мы будем считать, что один из дисков располагается в плоскости 2 = 0 и вращается с угловой скоростью Q. Другой диск лежит в плоскости 2 = d и вращается с угловой скоростью SQ, где 5е[-1, 1].

Граничные условия для уравнений (Р17-1) - (Р17-4) ( условия прилипания ) записываются в виде

2 = 0: ы = О, y = Qr, ау = 0, (Р17-5а)

z = d: и = 0, v = SQr, w = 0. (P17-5b)

Введем предположения, приводящие задачу (Р17-1) - (Р17-5) к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Будем искать решение, у которого осевая составляющая скорости зависит только от осевой координаты, т. е.

ш = ау(2). (Р17-6)

4.3.5. Задача 17. Уравнения Навье - Стокса

для случая течения жидкости между двумя бесконечными соосными вращающимися дисками

Рассмотрим установившееся, вращательное и осесимметрич-ное течение вязкой несжимаемой жидкости. Пусть область, в которой перемещается жидкость, ограничена двумя бесконечными вращающимися дисками. Соответствующие уравнения Навье- Стокса в цилиндрических координатах (г, в, z) можно записать в виде [4.52]

dv , dv , uv / 2 \ /т-> 1 т л\

dw i dw I dp , <f /пл-у o\

Здесь {u,v,w) - составляющие скорости по координатам (г, в, z), р - давление, р - плотность и v - кинематическая вязкость. Оператор в цилиндрических координатах имеет вид

~ dr г dr dz

К уравнениям (Р17-1) -(Р17-3) добавляется уравнение неразрывности

1 д{ги) (pj7.4

= P(2)-f-f(Q2 + ?). (Р17-14)

Далее предположим, что при г = 0 составляющая скорости и имеет конечное значение. Тогда, интегрируя уравнение (Р17-4) по переменной г, мы получаем (/4(2)-постоянная интегрирования)

ru + A{z) = -!w{z).

Подставив г = О, получаем Л (2) = О и, следовательно,

u = -w{z). (Р17-7)

-Из уравнения (Р17-3) имеем

.k,(2)=-i---f vk; (2).

после чего, интегрируя по 2, находим (5(г)-постоянная интегрирования)

=-f+ v(2) + B(r). (Р17-8)

Дифференцирование соотношения (Р17-8) по г дает

Из уравнения (Р17-1) после подстановки формул (Р17-7) и .(Р17-9) получаем

- = гф(2). (Р17-10)

Интегрирование (Р17-10) с учетом граничных условий (Р17-5) дает

B{r) = rQ+\rq + c, (Р17-11)

где q и с - некоторые постоянные величины. Сравнивая теперь формулы (Р17-9) и (Р17-10), имеем

v = rg{z), (Р17-12)

а комбинируя формулы (Р17-8) и (Р17-11), находим

4 = 4-v (2) + 4( + ?) + c. (Р17-13)

Соотношения (Р17-7), (Р17-12) и (Р17-14) определяют вид соответствующих функций для составляющих скорости и для давления. Принимая во внимание эти соотношения, воспользуемся подстановкой

l = z/d, (Р17-15а)

u = rQFil), (PI 7-15b)

v = rQG{l), (P17-15C)

w = {vQfH(l), (P17-15d)

- = vQP(g) + y№l (P17-15e)

Здесь k - не определенная пока постоянная.

Обозначим T{e = Qd!/v и преобразуем уравнения (Р17-1),

(Р17-2) и (Р17-4) с помощью формул (Р17-15а).....(Р17-15е)

F = RHF-{-Re(F~G-{-k), (Р17-16)

G = 2ReFG +VRёЯG (Р17-17)

H = -2JЯ^F. (Р17-18)

Функции F, G и Н являются безразмерными. Функцию р, выраженную с помощью функций F и Н, мы можем найти из уравнения (Р17-3). Используя формулы (Р17-15), граничные условия (Р17-5) представим в безразмерном виде

g = 0: / = Я = 0, G=l, (Р17-19)

=1: = Я = 0, G = 5. (Р17-20)

Если значения параметров Re и 5 заданы, то система уравнений (Р17-16) - (Р17-18) (с соответствующими граничными условиями) представляет собой краевую задачу пятого порядка с одной неизвестной постоянной k. Соотношения (Р17-19), (Р17-20) определяют шесть граничных условий. Тем самым задача поставлена полностью.

ЛИТЕРАТУРА

[4.1] Abraham R. Н., Shaw Ch. D.: Dynamics - The Geometry of Behavior.

Part I. Periodic Behavior, Aerial Press, Inc., Santa Cruz. 1983. [4.2] Smith C. L., Pike R. W., Murrill P. W.: Formulation and Optimization

of Mathematical Models. International Textbook Company, New York,

1970.

[4.3] Launder B. E., Spalding D, В.: Mathematical Models of Turbulence.

Academic Press, New York, 1972. [4.4] Himmelblau D. M., Bischoff K. В.: Process Analysis and Simulation.

John Wiley. New York, 1968.

[4.5] Slattery J. С: Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua.. McGraw-Hill. New. York, 1972.

[4.6] Astarita G.: An Introdu*tion to Non-Linear Continuum Thermodynamics.-Societe Editrice de Chimica, Milano, 1975.

[4.7] Braun M., Coleman C. S., Drew O. A., eds.: Models in Applied Mathematics.: Vol. 1., Differential Equation Models, Springer, Berlin, 1982.. Brams S. J., Lucas W. F., Straffin P. O.., Jr., eds.: ibid, Vol. 2, Political and Related Models. Springer, Berlin, 1982.

Lucas W. F., Roberts F. S., Thrall R. M.: ibid. Vol. 3., Discrete and! System Models. Springer, Berlin, 1983.

Marcus-Roberts H., Thompson M.: ibid. Vol. 4, Lite Science Models.-

Springer, Berlin, 1983, [4.8] Bird R. В., Stewart W. E., Lightfoot N. E., Transport Phenomena.

J. Wiley, New York, 1960. [4.9] Aris R.: Method in the Modelling of Chemical Engineering Systems,.

in Control and Dynamic Systems*. Academic Press, New York,.

1979.

[4.10] Kauschus W., Demont J., Hartmann K.: Chem. Engng. Sci. 33 (1978),. 1283.

[4.11] Schneider P., Mitschka P.: Coll. Czech. Chem. Commun. 31 (1966) 3677.. Aris R.: The Mathematical Theory of Diffusion and Reaction in Permeable Catalysts, Clarendon Press, Oxford, 1975.

4.12 Zeldovic Ja. V., Zysin Y. A.: J. Technical Physics 11 (1941) 502.

4.131 Golubitsky M., Keyfitz B. L.: Siam J. Math. Anal. 11 (1980), 316.

4.14] Uppal A., Ray W. H., Poore A.: Chem. Engng. Sci. 31 (1976), 805.

4.15] Balakotaiah V., Luss D.: Chem. Eng. Commun. 13 (1981), 111.

4.16 Denn M. M.: Stability of Reaction and Transport Processes. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1974.

4.17] Liljenroth F. G.: Chem. Met. Eng. 19 (1918), 287.

4.18 Франк-Каменецкий Д. A. Фнффузия н теплопередача в химической:

кинетике. - М.: Наука, 1987. [4.19] Hottel Н. С, Williams G. С, Bonnell А. М.: Comb. & Flame 2 (1958) 13.

[4.20] Baddour R. F., Brian P. L. Т., Logeais B. A., Eymery J. P.: Chem. Engng. Sci. 20 (1965), 281.

[4.21] Denn M. M.: Modeling for Process Control, in Control and Dynamics-Systems*. Academic Press, 1979.

[4.22] Freudenthal H., ed.: The Concept and the Role ot the Model in Mathematics and Natural and Social Science. Reidel Publ. Co., Dordrecht,. 1961.

[4.23] Lin C. C, Segel L. A.: Mathematics Applied to Deterministic Problems

in the Natural Sciences, Macmillan, New York, 1975. [4.24] Tyson J. J.: The Belousov-Zhabotinskii Reaction. Lecture Notes in

Biomathematics. Springer, Berlin, 1976. [4.25] Vidal C, Pacault A.: Non-Linear Phenomena in Chemical Dynamics

Springer, Berlin, 1981. 4.26] Field R. J.. Koros E., Noyes R. M.: J. Am. Chem. Soc. 94 (1975), 864. Ч.27 Field R. J., Noyes R. M.: J. Chem. Phys. 60 (1974), 1877. 4.28] Edelson D., Field R. Y., Noyes R. M.: Int. J. Chem. Kinei 7 (1975).

417.

4.29] Tyson J. J.: J. Phys. Chem., 86 (1982), 3006.

4.30] Березнн И. В., Мартинек К. Основы физической химии ферментативного анализа.- М.: Высшая школа, 1977.

[4.31] Wiseman А. W., Ed.: Handbook ot Enzyme Biotechnology. Ellis Hor-wood, Chichester 1975.

[4.32] Сельков E. E. Биофизика 15 (1970), 1065.

,£4.33] Klass D. L., Waterman W. W., eds.: Energy from Biomass and Wastes. Symposium Papers. Washington D. C. Institution of Gas Technology, 1978.

14.34] Graef S. P., Andrews Y. F.: J. Water Pol.jContr. Fed. 46 (1974), 666.

[4.35] Kubicek M., Holodniok M., Marek M., Luteha J.: Anaerobic Digester-Steady States, Transients and Control, 6th IFAC/IFIP Conference on Digital Computer Applications to Process Control*, Diisseldorf, 1980.

14.36] Nicolis G., Prigogine I.: Self-Organization in Nonequilibrium Systems. J. Wiley, New York, 1977. [Имеется перевод: Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979.]

4.37 Tomita К., Tsuda М.: Phys. Lett. 71А (1979), 489 4.38] Leray J.: Acta Math. 63 (1939), 193.

Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988. [4.39] Ruelle D., Takens F: Comm. Math. Phys. 20 (1971), 167; 23 (1971),

343.

[4.40] Lorenz E. N.: J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130.

Sparrow C. T. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors, Springer, New York, 1982. [4.41] Samohyl I.: Racionalni termodynamika chemicky reagujicich smesi.

Academia, Praha, 1982. [4.42] Mimura M., Nishiura Y., Yamaguti M.: Some Diffusive Prey and Predator Systems and their Bifurcation Problems. Ann. New York Acad. Sci. 316 (1979), 490. [4.43] Hustak P., Kubicek M., Marek I., Marek M.: Bifurcation in Reaction-Diffusion Systems. In: Theory of Nonlinear Operators*, Academie Verlag, Berlin (1978), 117. 4.44 Gierer A., Meinhardt W.: Kybernetik, 12 (1972), 30. 4.45] Meinhardt H.: J. Cell Sci 23 (1977), 117. 4.461 Marek M., Kubfcek M.; Bull Math. Biol. 43 (1981), 259. 4.47 Marek M., Kubicek M.: Z. Naturforsch. 35a (1980), 556. ;4.48 Hlavacek V., Marek M.: Chem. Engng. Sci. 29 (1966), 501. 4.49] Aris R., Varma N.: Chemical Reactor Theory (Lapidus, L., Amund-son, N. R. eds.). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (1977), 79.

4.50 Liu S. L, Amundson N. R.: lEC Fundls 1 (1962), 200; 2 (1963), 183.

4.51 Karanth N. G., Hughes R.: Cat Rev. - Sci. Eng. 9 (1974), 169.

4.52 McLaughlin J. В., Martin P. C: Phys. Rev. A 12 (1975), 186.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Кафаров В. В., Дорохов И. Н., Лиятов Л. Н. Системный анализ процессов химической технологии. В 3-х кн. Кн. 3 - М.: Наука, 1982.

Азаров В. Л., Луничев Л. Н., Таврнзов Г. Д. Математические методы исследования физических систем. - М.: Наука, 1976.

Системы с сосредоточенными параметрами, с которыми мы встречаемся в технике и в естественных науках, чаще всего описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда используются не только линейные аппроксимации рассматриваемых процессов, эти системы оказываются нелинейными. В этой главе мы рассмотрим совокупность численных алгоритмов и методов, которые позволяют анализировать поведение систем нелинейных дифференциальных уравнений в зависимости от изменений характерных параметров модели.

Вначале мы опишем методы отыскания стационарных решений (§ 5.1) и способы построения соответствующих диаграмм решений (§ 5.2). Затем обсудим исследование устойчивости этих стационарных решений (§ 5.3). В § 5.4 последовательно рассматриваются алгоритмы нахождения точек поворота и точек ветвления, а также точек возникновения изол Далее в § 5.5 описываются методы нахождения точек комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа), когда возникают решения типа предельного цикла.

В § 5.6 исследуются проблемы построения полной бифуркационной диаграммы, а следующий за ним параграф посвящен описанию наиболее употребительных методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые новые численные подходы к построению зависимости периодических решений от параметра рассмотрены в § 5.8. Далее в параграфе 5.9 приведены некоторые численные методы, используемые при изучении неупорядоченного (хаотического) поведения решений обыкновенных дифференциальных

См. определение в гл. 3.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

где использованы обозначения

Х={Хх, Х2, Хп), f = (/i, /о.....In), = ( 1. 2.....Km).

Здесь Xi - это переменные состояния, / - время, а а - вектор-параметров системы. В большинстве случаев мы будем рассматривать свойства системы в зависимости от одного скалярного параметра (т = 1). Это означает, что значения оставшихся параметров фиксированы и, следовательно, такие параметры являются составной частью функции f. Кроме того, мы будем считать систему автономной, т. е. будем считать, что время t не входит явным образом в правые части уравнений (5.1.1). Неавтономным задачам будет посвящен § 5.11. Мы предполагаем, что правые части системы (5.1.1) представляют собой непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.

Стационарное решение уравнений (5.1.1) удовлетворяет системе нелинейных уравнений

fi{x лгг, а: , а) = 0, г=1, 2, п. (5.1.3)

Для решения этой системы (при фиксированном а) мы можем в принципе использовать любые методы решения систем нелинейных уравнений. Читатель, который более глубоко заинтересуется этой проблемой, может найти обзор соответствующих методов в книге [5.1]. Если функции можно продифференцировать аналитически, то удобнее всего воспользоваться методом

9 М. Холодниок и др.

уравнений. Системам, в которых параметры медленно меняются со временем, посвящен § 5.10. Наконец, в § 5.11 описываются методы, используемые при анализе неавтономных систем. Численные подходы иллюстрируются с помощью задач 1 -10, формулировка которых приведена в гл. 4. Результаты численного анализа представлены в тексте в виде графиков или таблиц. В заключение в § 5.12 приведено несколько задач, которые могут быть использованы для вычислительного практикума.

5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ

Динамическая модель с сосредоточенными параметрами может быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

-fiixu Х2, .. ., X , . .., а.т), /=1,2,..., п. (5.1.1) Систему (5.1.1) можно записать также в векторной фор1Че

=f(x, а), (5.1.2)

типа метода Ньютона, представляющим собой один из вариантов метода итераций. Для этого построим последовательность {х*} в соответствии с рекуррентной формулой вида

х*+ = х* + сйАх*, k = 0,\,2,..., (5.1.4)

где Ах* для данного k находится из решения системы линейных алгебраических уравнений

J(x*, a)Ax*=-f(x*). (5.1.5)

Здесь через J обозначена матрица Якоби для системы (5.1.3), т. е. матрица 3 = [dfi/dxj]. Параметр сйе(0, 1] выбирается обычно так, чтобы

f(x*+i)<f(x*). (5.1.6)

В окрестности решения системы 5.1.3 условие (5.1.6) выполняется при (0=1, что соответствует классическому методу Ньютона; на большем удалении от решения иногда оказывается полезным выбирать меньшую величину со, с тем чтобы условие (5.1.6) было выполнено. Указанная модификация классического метода Ньютона позволяет расширить область сходимости метода по отношению к выбору начального приближения х°.

Метод Ньютона обладает определенными достоинствами в отношении его сходимости, однако слабым местом этого метода является необходимость дифференцирования функций ft. Если аналитическое дифференцирование оказывается затруднительным, то часто используется вариант метода Ньютона с матрицей Якоби, приближенно вычисляемой с помощью разностных отношений

df.jx) f.(x + Ae)-f.(x) j

где h - достаточно малый шаг, а е,- - единичный вектор с единицей на j-M месте. Таким образом, для проведения одной итерации нам в общем случае потребуется вычислять вектор f (п+ 1) раз.

Сходимость метода Ньютона (равно как и других методов) существенно зависит от выбора начального приближения решения х°. При этом уравнения (5.1.3) часто имеют не одно, а несколько решений. Тем самым возникает вопрос, как отыскать все решения данной системы. Такого рода задача разрешима, вообще говоря, лишь в некоторых специальных случаях, например при п=1 и для функции fl в виде полинома. В случае функций fi общего вида чаще всего выбирается несколько различных начальных приближений х°, после чего для каждого из них последовательно применяется схема Ньютона. При этом для