Здесь X, Y-безразмерные концентрации S - Н и S - S групп, / - время, а а, р, у, б, vo - положительные параметры, причем р, у > 1.

Уравнения (Р4-1) -(Р4-2) можно записать в форме (4.2.1), положив X = (J, У), р = (а, р, у, 6, vo).

4.2.5. Задача 5. Модель анаэробного разложения

Рассмотрим теперь пример реальной задачи с большим числом параметров. По нему читатель сможет составить себе представление о сложности достаточно реалистических моделей.

Нерастворимые органические беш,ества

Межклеточные знзиг1Ы

РостворимьгЕ органические вЕШ,ества

Микроорганизмы, бырабатывающие кислоты

МихроЛа/гьные к/гет.ки

Летучие кислоты (уксусная и др.)

Аругие продукты

Метанпродуцирующие (бактерии

Микробная масса Рис. 4.6. Схема анаэробного разложения органических веществ.

Обычно принято считать, что анаэробное разложение органических веществ происходит по схеме, представленной на рис. 4.6 [4.33]. Подробная модель этого процесса была разработана Эндрюсом и его сотрудниками [4.34]. В указанной модели в качестве управляющего звена используется последняя ступень анаэробного процесса (получение метана). Предполагается, что в резервуаре, содержащем газовую и жидкую фазы, происходит полное перемешивание смеси. Недиссоциирующие летучие кислоты (представленные на схеме уксусной кислотой) рассматриваются, с одной стороны, как субстрат (вещество, потребляемое бактериями), ограничивающий рост микроорганизмов, а с другой стороны, как ингибитор, причем их превращение представляет собой элементарную стадию реакции, лимитирующую скорость всего процесса. Кроме того, предполагается, что в постоянном потоке смеси на входе F содержатся

Здесь

Cho = Czo - CsO, Ch = Cz - Cs, (Р5-7)!

Функция роста микроорганизмов p, выражается при этом в виде-

Определения отдельных параметров вместе с их характерными для лабораторной практики значениями приведены в табл. 4.1 (эти значения используются в примерах гл. 5). Характеристики переменных представлены в табл. 4.2.

Систему уравнений (Р5-1) - (Р5-6), учтя определения (Р5-7) - (Р5-9), можно записать в форме (4.2.1), подожиш

катионы. Объемы жидкой смеси V и газовой смеси Va в реакторе также считаются постоянными. При указанных допущениях уравнения баланса (вещества) для концентрации субстрата в жидкой фазе Cs, концентрации двуокиси углерода в жидкой (Сс) и газовой (рс) фазах, концентрации микроорганизмов Сх, концентрации катионов Cz и концентрации токсичных веществ Ст в жидкой фазе можно записать в следующем виде (точка означает здесь дифференцирование по времени, *=d/<iO:

Сх = -f - (СхО - Сх) + ЦСх - /Стст, (Р5-1>

Съ=у- (CsO - Cs) - JiCx/Sxs, (Р5-2>

Сс = :y-(СсО - Сс) + fACxScx + Y ~ + Cs - Cz + Кьа(Крс - Cc),.

(P5-3).

Pc = -pSp Кьа {Kpc - Cc) - Pc [5р1/5мхЦСх -

- SVKLa (Kpc - Cc)]/Fg, (Р5-4У

Cz = (czo - Cz), (P5-5>

CT-YicTa-c-c). (PS-e)

x = (Сх, Cs, Сс, Рс Сг, Ст) И ВЗЯВ В качествб компонент вектора р параметры, перечисленные в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Задача 5. Параметры

Подобные нелинейные задачи с большим числом параметров обычно исследуют, выбирая некоторый основной (эталонный) вариант задачи и затем оценивая влияние изменений отдельных параметров; при этом мы всегда меняем лишь один или несколько параметров. Эталонный вариант может соответствовать, к примеру, условиям полупромышленного эксперимента.

Таблица 4.2. Задача 5. Переменные

4.2.6. Задача 6. Упрощенная модель анаэробного разложения

При рассмотрении предыдущей задачи мы видели, что модельные уравнения, описывающие процесс анаэробного разложения в двухфазной системе (жидкость - газ), достаточно сложны и содержат большое число различных параметров. Поэтому для получения предварительных выводов о поведени системы обычно используется упрощенная модель, учитывающая лишь жидкую фазу. При этом модельные уравнения имеют вид

Сх = 4 (<хО - Сх) -f рСх (Р6-1>

Cs = -тГ (CsO - Cs) - pCx/Sxs.

(Р6-2)

Уравнения (Р6-1) и (Р6-2) представляют собой уравнения баланса микроорганизмов и субстрата, причем влиянием катионов в растворе мы пренебрегаем. Функция роста ц имеет вид, аналогичный представлению (Р5-9), т. е.

(Р6-3)<

Формула (Р6-3) получается из соотношения для скоростш роста микроорганизмов в виде

0. = ooJ{KocllK,).

=A-{B+l)X + XY, (Р7-1)

= ВХ- XY. (P7-2)

Обратите внимание на то, что в приведенных уравнениях баланса не учитываются входные и выходные потоки. Тем самым мы предполагаем, что в реактор поступают только

Физический смысл параметров здесь тот же, что в предыдущей задаче. При записи системы (Р6-1), (Р6-2) в форме (4.2.1)

X = (Сх, Cs), р = {V/F, Схо, Cso, А, Кь, Ки Sxs).

присутствующие в системе микроорганизмы, откликаясь на изменяющиеся внешние условия, например на изменение концентрации субстрата, реагируют на них не сразу, а с некоторым запаздыванием. Подобная реакция с временным запаздыванием th может быть описана с помощью модифицированной функции роста [4.35]

Замечание. Уравнения (Р6-1), (Р6-2) описывают также реактор проточного типа с полным перемешиванием в случае ферментативной реакции, ингибируемой субстратом.

4.2.7. Задача 7. Реактор с модельной реакцией типа брюсселятор

В теории диссипативных структур в качестве теоретического примера нелинейной химической реакции чаще всего используется схема реакции типа брюсселятор [4.36]. В этой схеме исходные вещества А и В превращаются в продукты реакции D и Е с возникновением промежуточных продуктов X и Y:

А-Х, В + Х- Y + D, 2Х +Y-3X, Х-Е.

Если концентрации входных веществ (А и В) постоянны, а константы скоростей реакций ki, i= 1, 2, 3, 4, равны единице, то изменение концентраций промежуточных продуктов в реакторе проточного типа с перемешиванием описывается соотношениями

компоненты А н В, концентрацнн которых остаются постоянными, а выводятся из реактора продукты D и Е, которые не вхо-. дят в уравнения из-за необратимости реакций.

Два дифференциальных уравнения (Р7-1), (Р7-2) можно> записать в форме (4.2.1), положив x - {X.,Y) и р = (Л,В).

4.2.8. Задача 8. Каскад реакторов с взаимным массообменом и реакцией типа брюсселятор

Рассмотрим N изотермических реакторов проточного типа с полным перемешиванием в случае наличия взаимного массо-обмена между соседними реакторами. Тогда уравнение баланса массы для системы, в которой происходит R независимых реакций между S компонентами {S> R), можно представить в виде

d R N

Здесь t= 1, 2, .... R, k:=l, Л^, У*- постоянный объем k-го реактора, Fk - постоянный расход, дсй-концентрация i-й компоненты на входе k-ro реактора, v,-/ - соответствующий стехиометрический коэффициент, rik - скорость i-й реакции в fe-M реакторе, huk - коэффициент массопередачи i-й компоненты между /-М и k-M. реактором.

Для реакции типа брюсселятор , где = 2, обычно предполагается, что результирующие приток и отток промежуточных продуктов равны нулю {Fk = 0), а концентрация поступающих компонентов поддерживается постоянной [4.36].

Рассмотрим каскад из двух одинаковых реакторов (Л^ = 2, Vi = V2) и пусть huk = const = D, hzik = const = D2 (рис. 4.7a)-Тогда уравнения баланса массы для промежуточных продуктов X и У можно представить в виде { =d/dt)

Xi = Л - (S -f 1) Z, -f Z?y, -f D, (Z2 - Z,), (P8-2>

y, = BX, - X?y, + D2 (У2 - У1), (P8-3>

X2 = Л - (S + 1) X2 + Х|У2 + D, (X. - X2). (P8-4>

У2 = ВХ2-Х|У2-1-02(У1-У2). (P8-5>

В качестве начальных условий можно взять, например, при t = О Xi = Хг = У1 = У2 = 0.

Эти четыре дифференциальных уравнения можно записать в форме (4.2.1), положив

x = (Xi, У„ Х2, У2), р = (Л, В, D2). (Р8-6>

Два реактора с взаимным массообменом можно рассматривать также в случае потока, текущего лишь в одном направлении, из реактора 1 в реактор 2 (рис. 4.76). При этом уравнения (Р8-4), (Р8-5) сохранят свой вид, а уравнения (Р8-2) и (Р8-3) заменятся следующими:

X, = A-{B+\)X, + X]Yv Yx = ВХх

X\Yx-

(Р8-2а) (Р8-За)

Аналогичным образом, если рассматривать линейную цепочку из одинаковых реакторов {N = 4), схема которой показана на

Рис. 4.7. Каскад реакторов с взаимным массообменом.

рис. 4.7с, то уравнения баланса массы можно записать в виде

Xi = A-{B+\)Xi + X\Yi + Di (Х2 - ;i), (Р8-7)

Yi = BXi-X,Yi + D2(Y2-Yi), (P8-8)

X2 = A - {B + \)X2 + XlY2 + Di {Xi - 2X2 + Хз), (P8-9)

Y2 = BX2 - X\Y2 + D2 (F, - 2Y2 + Гз), (P8-I0)

J3 = Л - (В + 1) 3 + ХзГз + Вх (Х2 - 2Хз + X,), (Р8-11)

Гз = ВХз - XlYs + D2 {Y2 - 2Гз + Yi), (Р8-12)

J4 = Л - (S + 1) 4 + XlYi + Di {Хз - Xi), (Р8-13)

Yi = BXi-XlYi + D2{Y3-Yi). (P8-14)

Эти дифференциальные уравнения можно представить в форме (4.2.1), положив

Х = (;ь Yx, Х2, Y2, Хз, Гз, Xi, Yi), р = (Л, В, Dx, D2). (Р8-15)

или

=:f{t, X, p), x = {X, У), р = {Л, в, a, и). (P9-4)

4.2.10. Задача 10. Модель Лоренца

Рассмотрим слой жидкости, изображенный на рис. 4.8. В направлении вертикальной оси слой имеет толщину Я, в горизонтальных направлениях размеры слоя считаются бесконечными. Будем предполагать, что жидкость имеет свободную поверхность и что тепло, возникающее за счет внутреннего трения в жидкости, пренебрежимо мало. Будем предполагать, далее, что распределения скоростей и температуры, возникающие из-за разности температур AT, могут быть описаны системой дифференциальных уравнений с частными производными в приближении Буссинеска (в частности, являются постоянными плотность, коэффициенты вязкости и теплопроводности, см.

Совершенно аналогично можно построить модели для систем реакторов, соединенных различными способами, например, для линейной цепочки из пяти и более реакторов, для замкнутого кольца из реакторов, для гексагональной структуры из шести реакторов, расположенных по окружности с одним центральным реактором, и т. д. Читатель может легко вывести соответствующие уравнения, используя формулу (Р8-1).

4.2.9. Задача 9. Система типа брюсселятор с изменяющимся во времени впуском

Схема модельной реакции брюсселятор может быть использована при исследовании свойств нелинейных неавтономных систем, т. е. систем, для которых время входит в правые части соответствующих дифференциальных уравнений явным образом [4.37].

Будем предполагать, что концентрация исходного вещества А не постоянна, а меняется во времени по следующему закону:

Сд = Л-f а sin <oi. (Р9-1)

Тогда изменение концентраций промежуточных продуктов X и У в одном реакторе описывается уравнениями, аналогичными (Р7-1) и (Р7-2):

= Х^-{В-\.\)Х+ A + asinwt, (Р9-2)

== вх - Х2У, (Р9-3)

[4.38, 4.40, 4.52]). Эту систему можно аппроксимировать системой обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых в результате разложения полей температур и скоростей течения в ряды Фурье [4.52]. Лоренц [4.40] применил очень простую аппроксимацию, в которой используется всего три

Рис. 4.8. Слой жидкости, нагреваемый снизу (к модели Лоренца).

члена этих разложений. При этом он получил следующую систему уравнений:

х = ау - ох,

y = -xz + rx-y, (Р10-1)

z = xy - bz.

Здесь переменная х отвечает одной из компонент скорости, а переменные у, z соответствуют членам разложения температуры в ряд Фурье. Параметр о представляет собой число Прандтля, а параметр г - число Рэлея. В векторной форме (4.2.1) мы имеем

х = {х, у, z), р-=(ст, г, Ь).

Тривиальное стационарное решение системы (Р10-1), а - = г/ = 2 = О, соответствует случаю передачи тепла с помощью теплопроводности, когда жидкость покоится и температурный профиль оказывается линейным. Два других стационарных решения системы (Р10-1) имеют вид

л:=г/=± [6(г-1)], 2 = /--1. (Р10-2)

Эти решения соответствуют простому конвективному течению, изображенному на рис. 4.8.

За последние десять лет модель Лоренца превратилась в наиболее изученную модель возникновения хаотического движения жидкости [4.40]. При этом в большинстве работ исследуется обычно изменение характера решения (возникновение периодического решения определенного типа или же появление хаотического решения) в зависимости от изменения параметра г (числа Рэлея).

4.3. ЗАДАЧИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом параграфе будут сформулированы нелинейные задачи, приводящие к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными, которые в дальнейшем, в гл. 6, используются для иллюстрации различного рода численных подходов. Принимая во внимание сложности численного анализа, мы будем рассматривать только системы с одной пространственной координатой (параметрические исследования для систем с большим числом пространственных переменных много труднее и в настоящее время только начинают широко применяться на практике).

4.3.1. Системы типа реакция - диффузия

Рассмотрим s компонент, реагирующих между собой в ходе R независимых реакций при постоянной температуре. Изменение концентрации во времени и пространстве может быть описано системой локальных уравнений баланса массы для s выбранных компонент

+ divh = /.. (4.3.1)

Здесь с, - молярная концентрация компоненты i, fi описывает возникновение i-й компоненты в результате R независимых

реакций (при этом /, = vr;, где v - стехиометрический

коэффициент i-й компоненты в /-й реакции и г, - скорость

/-Й реакции^, j,- -молярная плотность потока компоненты i.

Если учитывать только диффузионные и конвективные составляющие потока, то имеет место соотношение

j. = jd. + vc (4.3.2)

где V - вектор локальной мгновенной скорости смеси; в дальнейшем мы будем полагать v = 0.