Бурное развитие моделирования разнообразных естественнонаучных и технических задач за последние двадцать лет породило необходимость разработки систематической методики качественного и количественного анализа моделей.

Модель в самом общем понимании может иметь вид словес- ого описания или физической опытной установки (например, с упрощенным и уменьшенным оборудованием или с меньшим числом протекающих процессов). Далее она может иметь графическую [1.2] или, наконец, математическую форму. Здесь мы ограничимся обсуждением математических моделей, описываемых системами уравнений. Такие модели можно подразделять, например, на детерминистские и вероятностные (стохастические), эмпирические и механистические, дискретные и непрерывные, с сосредоточенными и с распределенными параметрами [1.3-1.10]. В этой книге будет рассматриваться стохастическое поведение детерминистских систем, однако заниматься анализом вероятностных моделей мы не будем. Дискретные модели здесь также подробно не рассматриваются. Наше внимание будет сосредоточено на непрерывных детерминистских моделях, большей частью механистических (основанных на представлениях о механизмах процессов). Будут рассмотрены как модели с сосредоточенными параметрами (независимой переменной в этом случае часто является время), так и модели с распределенными параметрами (здесь обычно независимые переменные - время и одна или несколько пространственных координат).

Математическая механистическая модель исследуемого процесса представляется обычно системой соотношений, описывающих отдельные элементарные явления, из которых складывается рассматриваемый процесс. Типичный подход к построению и анализу модели можно представить в виде следующих этапов:

*> Здесь подразумевается теоретическое описание в физических терминах. - Прим. ред.

- анализ процесса, определение элементарных явлений; создание физической модели на основе оиисания элементарных явлений);

- представление физической модели в виде математической модели;

- цреобразованне математической модели к удобному (например, безразмерному) виду;

- анализ и исследование математической модели;

- интерпретация решения в терминах физической модели;-

- сравнение результатов (в терминах физической модели) с исследуемым процессом.

Для линейных моделей указанная методика разработана практически полностью (см., например, [1.1]). Иначе обстоит дело в случае нелинейных моделей. Это объясняется прежде всего рядом новых явлений, с которыми мы здесь встречаемся. Так, нелинейные модели часто имеют не одно, а несколько стационарных решений; далее, для них возможно существование колебательных решений типа предельного цикла, появление хаотических решений и, наконец, критическое поведение решения в зависимости от параметров. Характерными признакам нелинейных задач являются: богатый набор различных типов поведения; специфичность определенного типа поведения для определенной задачи (модели) или в определенном диапазоне изменения параметров; необходимость применения численных подходов для нахождения характеристик решения.

В настоящее время уже существует целый ряд методов, которые мы можем в более или менее стандартной форме использовать при анализе динамического поведения нелинейных моделей. Подробное изложение этих общих подходов, которые рассчитаны главным образом на численные методы, реализуемые на ЭВМ, и является предметом данной книги. Это подробное изложение дополняется как простыми примерами, так и результатами анализа типичных нелинейных моделей более сложных физических, химических и технических задач.

В данной книге используются термины системы с сосредоточенными параметрами (англ. lumped parameter systems) и системы с распределенными параметрами (англ. distributed parameter systems). Системы с сосредоточенными параметрами описываются с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих от времени переменных состояния; пространство состояний имеет здесь конечную размерность. В противоположность этому под системами с распре-

деленными параметрами в этой книге мы будем понимать системы, описываемые конечным числом дифференциальных уравнений в частных производных (чаще всего параболического типа). Здесь переменные состояния в каждый момент времени суть функции одной или нескольких (пространственных) переменных. Пространство состояний имеет в этом случае бесконечную размерность.

Рассмотрим теперь вкратце содержание отдельных глав книги.

В первой, вводной главе читатель найдет краткую характеристику отдельных глав и рекомендации, каким образом изучать отдельные части книги.

При этом предполагается, что читатель прослушал стандартный вузовский курс дифференциальных уравнений. В частности, предполагаются известными понятия траектории, состояния равновесия, фазового портрета, устойчивости и классификации состояний равновесия (например, седло, узел, фокус).

Во второй главе описываются основные типы бифуркаций положений равновесия и замкнутых траекторий (стационарных и периодических решений) систем обыкновенных дифференциальных уравнений (§§ 2.1-2.3). Кроме того, в § 2.3 приведены математические сведения, необходимые для численного анализа устойчивости периодических решений. Параграф 2.4 посвящен специальным типам траекторий и их предельным множествам. Описание инвариантных множеств и поведения общих траекторий, характеризуемых показателями Ляпунова, содержится в § 2.5. Там же описывается явление Фейгенбаума, представляющее собой один из механизмов, приводящих к возникновению хаотических аттракторов. В § 2.6 показано, как некоторые методы, используемые для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, можно перенести на случай уравнений в частных производных параболического типа.

Третья глава должна облегчить читателю изучение последующих частей книги. Здесь вводится ряд понятий, используемых в дальнейшем. Это касается в особенности диаграмм стационарных и периодических решений (отражающих зависимости этих решений от параметра). Здесь же обсуждается ветвление решений на указанной диаграмме как для простых, так и для более сложных ситуаций. Далее разъясняются понятия точки бифуркации, предельной точки (точки поворота), ветви решений и т. п. В заключительной части этой главы описывается способ определения направлений ветвей решений, выходящих из точки бифуркации. Материал второй и третьей глав дополняется рядом иллюстраций, которые помогают читателю усвоить вводимые понятия.

Четвертая глава посвящена описанию математических моделей ряда технических задач, которые используются в двух последующих главах для иллюстрации применения тех или иных численных подходов. Во введении к этой главе описание моделей проводится с помощью обобщенных переменных состояния и параметров. В последующих параграфах от этого общего уровня описания мы переходим к конкретным переменным состояния и параметрам задачи (температура, концентрация и т. д.). Обычно для каждой конкретной задачи мы стараемся придерживаться обозначений переменных состояния и параметров, которые согласуются с обозначениями, используемыми в специальной технической литературе. Смысл такого согласования заключается в том, чтобы читатель, который уже сталкивался с какой-либо из приведенных задач (или собирается работать с литературой, указанной в ссылках), не терял бы время на переписывание задачи в других обозначениях.

В § 4.2 анализируется группа задач, которые можно рассматривать как системы с сосредоточенными параметрами. Подробно обсуждается модель реактора проточного типа с перемешиванием, методы приведения этой модели к безразмерному виду, а также описываются свойства решений в случае протекания экзотермической реакции первого порядка. Аналогичным образом формулируются модели реактора с перемешиванием для случая кинетических соотношений различного вида, модель реактора каскадного типа и реактора с взаимным массообме-ном, модель биологического реактора (математическая модель анаэробного брожения), а также предложенная Лоренцом модель конвекции Бенара. Далее (в § 4.3) исследуются задачи с распределенными параметрами. Рассмотрены модели реакция-диффузия , описывающие перенос и превращение реагирующих компонентов в одномерных системах (с одной пространственной координатой). Такого рода модели применяются, с одной стороны, для описания реакций и процессов переноса (тепла, массы и т. д.) внутри частицы пористого катализатора, а с другой-для описания диффузии морфогена в модели морфогенеза Гирера-Мейнхардта и классической модели возникновения и развития диссипативных структур--кинетической модели брюсселятора . При этом используются граничные условия 1, 2 и 3 рода, сокращенно обозначаемые как ГУ1, ГУ2, ГУЗ. Рассмотрена также модель, описывающая продольный перенос тепла и массы в трубчатом контактном аппарате, а также гидродинамическая задача о течении жидкости между двумя бесконечными соосными вращающимися дисками. В дальнейшем изучаемые модели обозначаются словом задача с соответ-

гjwna I 15

ствующим номером - именно так мы ссылаемся на них в гл. 5 и 6.

Наибольший интерес у большинства читателей, несомненно, вызовут пятая и шестая главы книги. Обе эти главы посвящены описанию численных методов и алгоритмов, используемых для анализа нелинейных систем. При этом в пятой главе исследуются системы с сосредоточенными параметрами, а в шестой- системы с распределенными параметрами. Рассмотренные в этих главах численные подходы иллюстрируются на конкретных примерах - задачах из гл. 4: для главы 5 - это задачи 1-10, а для гл. 6 - задачи 11-17.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основными сведениями из области численных методов (линейная алгебра, системы нелинейных уравнений, задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и т. д.). Кроме того, желательно наличие у читателя определенных навыков алгоритмизации задач и программирования.

В пятой главе сначала описываются методы анализа стационарных решений для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений - их отыскание и построение зависимости от параметров (построение диаграммы решений). Здесь же обсуждаются методы определения устойчивости, нахождения точек ветвления решений (вещественных и комплексных бифуркаций), а также методы построения бифуркационных диаграмм. Далее рассматриваются способы вычисления и определения устойчивости периодических решений, построение зависимостей периодических решений от параметра; проанализированы также механизмы ветвления периодических решений. Заключительная часть главы посвящена исследованию хаотических аттракторов, построению эволюционных диаграмм и методам нахождения периодических решений неавтономных систем. Здесь же кратко описаны стандартные численные методы моделирования динамических систем.

Шестая глава книги посвящена описанию методов решения нелинейных краевых задач - разностных методов и метода стрельбы. Далее читатель найдет здесь способы построения зависимостей стационарных решений от параметров и методы определения точек ветвления (вещественных и комплексных бифуркаций). Заключительная часть главы посвящена методам динамического моделирования (см. прим. 1) уравнений с частными производными параболического типа, исследованию

Имеются в виду методы численного решения задачи Коши. - Прим.

Ни одно из этих слов ие заменяет, конечно, термина бифуркационная диаграмма (означающего совокупность бифуркационных линий на плоскости двух параметров). -Яр л4, перев.

периодических решений, решений волнового характера и построению эволюционных диаграмм.

В этой книге мы часто используем термины бифуркация , точка бифуркации и бифуркационная диаграмма . Вместо этих терминов (обшепринятых в научной литературе на английском и русском языках) во многих случаях мы можем подставить соответствуюшие эквивалентные термины ветвление , разветвление , ответвление и т. д. > Аналогичное терминологическое замечание можно сделать и для понятия особой точки векторного поля или особой точки системы дифференциальных уравнений. В литературе часто используются термины положение равновесия или стационарное решение . В гл. 2 и 3 мы будем употреблять преимушественно словосочетание положение равновесия , а в гл. 5 и 6, где речь идет уже о динамических системах и зависимости их решений от времени, мы чаше будем пользоваться термином стационарное решение . Термин особая (сингулярная) точка будет применяться нами для обозначения другого понятия. В гл. 5 и 6 мы будем использовать термин проварьированное уравнение (а также проварьированная переменная ) для обозначения линейного дифференциального уравнения, характеризующего изменения переменных состояний при малом изменении начальных условий или параметров (вместо термина уравнение в вариациях , который используется обычно в качественной теории дифференциальных уравнений). Систему нелинейных уравнений в R мы иногда будем называть системой нелинейных алгебраических уравнений , с тем чтобы отличить эти уравнения от уравнений дифференциальных, хотя, конечно, речь будет идти не только о полиномиальных уравнениях.

В конце книги помешен перечень использованных математических терминов (со ссылками на место первого применения или определения). При выборе типа шрифта для отдельных переменных или параметров авторы стремились облегчить читателю понимание текста. Так, матрицы (А, В, С ...), векторы (х, у, Z, ©, ...), операторы (А, В, С, ...) и т. д. обозначаются полужирным шрифтом. Там, где необходимо, векторы могут представлять собой вектор-столбцы, а для операции транспонирования применяется символ При использовании представления вектора через отдельные составляюшие, например, х = = {xi,X2, Хп), символ операции транспонирования в отдельных случаях опускается.

Книга разделена на главы, параграфы и пункты. Так, например, 5.7.1.1 представляет собой один из пунктов параграфа 5.7 главы 5. Формулы в каждом параграфе нумеруются отдельно; при этом номер формулы состоит из трех чисел: первое из них указывает номер главы, второе - номер параграфа, а третье - порядковый номер формулы в пределах данного параграфа. Так, например, формула (6.1.37) представляет собой формулу 37 параграфа 1 главы 6.

Данная книга задумана прежде всего как справочное пособие. Поэтому читатель не обязан стремиться изучить ее си-етематически от первой страницы до последней. Нам представляется, что если читатель хочет лишь использовать конкретные подходы для анализа данной конкретной задачи, то он может пропустить при чтении некоторые главы или параграфы (или просто просмотреть их). Исходя из этого, некоторые основные определения мы повторяем в разных главах книги. Так сделано, например, при формулировке условий суш,ествования точки комплексной бифуркации (бифуркации Андронова-Хопфа), и при изучении гл. 5 не нужно отыскивать эти условия в гл. 2. Из-за ограниченности объема книги полностью соблюсти это правило не удалось, и потому ряд понятий и терминов в тек-<;те приводится со ссылками на соответствующую главу, где это понятие вводится. В принципе каждую главу книги можно прорабатывать независимо от других. Для того чтобы читатель мог лучше ориентироваться, на рис. 1.1 представлена схема, на которой перечислены основные методы, описываемые в данной книге, с указанием номеров параграфов и пунктов, в которых эти методы рассматриваются (и зависимостей между ними). Для проверки усвоения некоторых методов, описываемых в гл. 5 и 6, в конце этих глав приведены задачи.

В заключение мы хотим привести краткие советы по изучению материала книги для основных групп читателей.

Для читателя с инженерным образованием, интересующегося проблемами математического моделирования и численного анализа полученных моделей, мы порекомендовали бы следующую схемы чтения книги: он может пропустить гл. 2, 3 и 4 и приступить прямо к изучению гл. 5 или 6. При чтении этих глав встретится ряд понятий, которые он сможет найти в гл. 2 и 3.

Иначе должен отнестись к книге читатель, интересующийся математической стороной дела. Он должен изучить главы 2 и 3 (чтение этих глав может побудить его обратиться к специальной литературе), затем пропустить гл. 4 и перейти к гл. 5 и 6. В этих главах он обнаружит много решенных задач из гл. 4. В случае необходимости он сможет обращаться к гл. 4,

2 М. Холодниок и др.

Нелинейная динамическая система

Стационарный анализ

Анализ Зин омического тдвдения

Стаи,ианариые

решения (§§5.1,6.1)

Устойчивость стаи,ионарнь/х решении Ч§5.3)

Диаграмма решений 1 ига параметру) 3.1,5.2,6.2)

Периодические шения

§5.8,5.11,6.5)

Анализ точек ветдления (§12.2,3,2-3.4)

Устойчивость периодических решений

(§2.3,/7.5.8.3,§5.11)

Диаграмма периодических решений {по параметра) (/7.5.8.4,§5.11,/7,Б.5.1)

Кбазаотаидонар-ное подеаение, эво/1юи,ианная диаграмма (§§ 5.10, Б.Б)

Техника

интегрирования (l§5.7,G.4)

Комплексная

Хопдза)

С§2.2, 2.6,5,5,

/7.6.3.3)

Анализ точек ветвления (&2.3,л5.8.5)

Квазипериадические, хаотичеакие решения (§§5.Э,Б;5)

Показатели /7япино8а (§2.5,/7.5.9.1)

Отображение Пуанкаре (§2.5, 5.9.2)

Ри(. 1.). Ирслдовани поведения н^инйных динамических систем.

HanpHiviep по поводу конкретного вида уравнений, переменных состойния и параметров.

Еще одну группу читателей могут составить лица, заинтересованные в решении какой-либо из задач гл. 4 (а при случае и своей конкретной задачи). Им, очевидно, следует начать с изучения соответствующих параграфов гл. 4, а затем, используя предметный указатель, найти подходящие параграфы в гл.5 или 6, где данная задача используется для иллюстрации численных подходов. Хотя, конечно, в гл. 5 и 6 не содержится полного анализа всех задач, представленных в гл. 4. Такой анализ можно провести, используя подходы, изложенные в этих главах. Аналогично должен поступить читатель, который хочет проанализировать какую-нибудь другую свою задачу. Задачи, которые разобраны в главах 5 и 6, несомненно, послужат ему достаточным ориентиром для проведения расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

[l.lj Casti Y. L.: Dynamical Systems and Their Applications. Linear Theory,

Academic Press, New Yorit, 1977. [1.2] Abraham R. H., Shaw Ch. D.: Dynamics -The Geometry of Behavior,

Part I, Periodic Behavior. Aerial Press, Inc., Santa Cruz, 1983. [1.3] Smilh C. L., Pilte R. W., Murrill P. W.: Formulation and Optimization

of Mathematical Models. International Textbook Company, New York,

1970.

[1.4] Launder B. E., Spalding D. В.: Mathematical Models of Turbulence.

Academic Press, New York, 1972. [1.5] Himmelblau D. M., Bischoff K. В.: Process Analysis and Simulation.

John Wiley, New York, 1968. ,[1.6] Slattery J. C: Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua,

McGraw-Hill, New York, 1972. [Имеется перевод: Слеттери Д. С.

Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах.-

М.: Энергия, 1978. -448 с] [1.7] Astarita G.: An Introduction to Non-Linear Continuum Thermodynamics.

Societa Editrice de Chimica, Milano, 1975. .[1.8] Braun M., Coleman C. S., Drew O. A., eds.: Models in Applied Mathematics; Vol. I., Differential Equation Models. Springer. Berlin, 1982.

Brams S. j., Lucas W. F., Straffin P. O. Jr., eds,; ibid, Vol. 2, Political

and Related Models. Springer, Berlin, 1982.

Lucas W. F., Roberts F. S., Thrall R. M.: ibid. Vol. 3., Discrete and System Models. Springer, Berlin, 1983.

Marcus-Roberts H., Thompson, M.: ibid, Vol. 4, Life Science Models. Springer, Berlin, 1983. 11.9] Freudenthal H., ed.: The Concept and the Role of the Model in Mathematics and Natural and Social Sciences. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1961. [1.10] Lin C. C, Segel L. A.; Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan, New York, 1975.

Глава 2

БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

2.1. ВВЕДЕНИЕ

Систему п обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

X2 - f2(l< 2, Хп), 2 J

Xn - fnili Х2, Х^

МЫ будем записывать также в векторной форме как

x = f(x). (2.1.2)

Векторное поле в правой части равенства (2.1.2) определено на пространстве R или на его части. Независимую переменную, которой обычно является время, будем обозначать буквой t; кроме того, выше использованы обозначения xi = dxi/dt,. i=l,2, п. (Эти обозначения будут использоваться и далее.) Решением системы (2.1.1) является совокупность, функций

Ф,(0, Ф2(0, Фп(0, (2.1.3)

которые удовлетворяют исходным уравнениям. Для простоты в дальнейшем будем предполагать, что решение определено для всех е R (это условие не всегда выполняется в приводимых ниже примерах. - Ред.) и что функции, стоящие в правых частях уравнений (2.1.1), достаточно гладкие.

Решение (2.1.3) можно записать также в векторной форме

Ф(0 = (Ф.(0, Ф2(0.....фЛ)). (2.1.4>

уравнения xx = (i{t), Х2 = ф2(0. = фл(0. R представляют собой параметрические уравнения кривой в R . Эту кривую мы называем траекторией системы ОДУ; в случае п ==